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    基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成:模型與案例①

    2021-08-06 01:38:18劉春艷馮啟磊
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2021年6期
    關(guān)鍵詞:定義概念函數(shù)

    劉春艷 馮啟磊

    (北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100044)

    1 問題提出

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)提出,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).其中數(shù)學(xué)抽象位于六大學(xué)科核心素養(yǎng)之首,是數(shù)學(xué)的基本思想,是形成理性思維的重要基礎(chǔ).從數(shù)學(xué)內(nèi)容來看,數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象,概念是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,因此,獲得數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)之一,數(shù)學(xué)概念的形成也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的重要載體.在實(shí)際教學(xué)中,如何從情境中抽象出數(shù)學(xué)概念,既是重點(diǎn)也是難點(diǎn).為此,很多學(xué)者開展了大量研究.

    關(guān)于概念學(xué)習(xí),杜賓斯基(Ed Dubinsky)等人提出APOS理論,強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)要經(jīng)歷4個(gè)心理建構(gòu)階段,即操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Scheme).奧蘇貝爾(D.P. Ausubel)提出與概念形成的最高發(fā)展形式有關(guān)的心理過程,大致有八個(gè)環(huán)節(jié).結(jié)合此結(jié)論,曹才翰與章建躍兩位學(xué)者提出了概念形成的過程模式(如圖1).

    圖1 概念形成的一般過程(曹才翰,章建躍,2006)

    為了更精確地刻畫數(shù)學(xué)領(lǐng)域中抽象性的含義,徐利治教授給出了弱抽象、強(qiáng)抽象和廣義抽象的概念,并指出弱抽象的過程依據(jù)“特征分離概括化原則”,強(qiáng)抽象的過程依據(jù)“關(guān)系定性特征化原則”[1].對于具體數(shù)學(xué)概念的抽象過程,史寧中教授根據(jù)抽象程度的不同,分為三個(gè)階段,或者說三個(gè)層次:一是簡約階段,把握事物關(guān)于數(shù)量或圖形的本質(zhì),把繁雜問題簡單化,給予清晰表達(dá);二是符號階段,去掉具體內(nèi)容,利用符號和關(guān)系術(shù)語,表述已簡約化的事物;三是普適階段,通過假設(shè)和推理,建立法則或者模型,能在一般意義上描述一類事物的特征或規(guī)律.[2]李昌官老師按照學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)認(rèn)知的先后順序,把數(shù)學(xué)抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化5個(gè)階段.

    上述相關(guān)理論和結(jié)論,對于一般意義上的數(shù)學(xué)概念的抽象過程具有指導(dǎo)意義.徐利治教授對每類抽象給出了工作原則,史寧中教授提出的三個(gè)階段,指明了數(shù)學(xué)概念抽象過程的基本框架,在具體操作時(shí)都需要細(xì)化;曹才翰和章建躍等學(xué)者給出的認(rèn)知過程具有一種等級結(jié)構(gòu)或順序結(jié)構(gòu).但是在學(xué)習(xí)具體概念時(shí),由于數(shù)學(xué)概念的復(fù)雜性和不同階段學(xué)生的差異等原因,學(xué)生認(rèn)知過程是否一定遵循線性順序?教學(xué)中如何更加清晰地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程,建構(gòu)數(shù)學(xué)概念呢?以上問題都需要進(jìn)一步探討.

    2 基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型

    在概念教學(xué)中,數(shù)學(xué)概念是研究對象,教學(xué)流程與認(rèn)知過程緊密相連.首先,要對數(shù)學(xué)研究對象的特點(diǎn)進(jìn)行分析.一般地,數(shù)學(xué)概念來源于兩方面:一是對客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象;二是在已有數(shù)學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)[3].相應(yīng)地,數(shù)學(xué)概念分為兩類:一類是對現(xiàn)實(shí)對象或關(guān)系的直接抽象而成的概念,如三角形的概念,定義包含了組成要素(三條線段)和要素之間的位置關(guān)系(首尾順次相接);另一類是純數(shù)學(xué)抽象得到的,是抽象邏輯思維的產(chǎn)物,如三角形的中線概念,是在“三角形”基礎(chǔ)上生成的,具有主從關(guān)系.三角形的中線定義中的邏輯關(guān)系是通過臨近的屬概念(三角形)加上種差(連接頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的線段)來體現(xiàn)的.因此,數(shù)學(xué)概念是由要素和要素之間的邏輯關(guān)系構(gòu)成的,概念形成過程“實(shí)質(zhì)上是抽象出某一類對象或事物的共同本質(zhì)特征的過程”[4],也就是抽象出概念包含的要素,以及要素之間邏輯關(guān)系的過程.

    其次,基于認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于概念學(xué)習(xí)的相關(guān)理論,在大量課堂觀察與訪談分析的基礎(chǔ)上,我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知過程非常復(fù)雜.在實(shí)際教學(xué)中,教師需要根據(jù)學(xué)生的具體表現(xiàn),或重復(fù)已有的過程,或轉(zhuǎn)換表達(dá)方式,或補(bǔ)充新的實(shí)例等等,概念的建構(gòu)過程并非一定遵循線性關(guān)系.基于以上分析,我們建構(gòu)了基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型,如圖2.

    圖2 基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型

    2.1 簡約階段

    簡約階段的操作過程,就是對于情境中的原型進(jìn)行識別,把某個(gè)或某類數(shù)學(xué)特性分離出來,也就是教學(xué)中的概念引入.通過具體的、直觀的、典型的、豐富的案例,結(jié)合長時(shí)記憶中的相關(guān)信息,在情境中辨認(rèn)出數(shù)學(xué)特性,舍棄非數(shù)學(xué)的特征和屬性,形成進(jìn)一步研究的“范本”,這是概念形成的基礎(chǔ).如關(guān)于多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念,教材中提供了紙杯、紙箱、腰鼓、金字塔、茶葉盒、籃球、鉛錘等大量生活中物體的圖片,請學(xué)生描述它們的形狀,這些情境可以和后續(xù)概念(如棱柱、棱錐、線面的平行與垂直等)的理解與應(yīng)用相呼應(yīng),為概念的系統(tǒng)化做一些鋪墊.

    2.2 符號階段

    符號階段是對簡約階段識別出的要素,通過分析與建構(gòu)、歸納與概括、定義與表征的認(rèn)知過程,得到概念的定義和名稱等,也就是教學(xué)中的概念形成.

    (1)分析與建構(gòu)

    分析是將材料分解成它的組成部分,并確定各部分之間的相互關(guān)系,以及各部分與總體結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系[5].建構(gòu)是通過數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯建立起系統(tǒng)的、內(nèi)在一致的關(guān)系,使其構(gòu)成一個(gè)整體.對于每個(gè)情境中識別出的要素,通過觀察、比較等進(jìn)行區(qū)分,選擇與概念相關(guān)的、重要的、關(guān)鍵的要素,進(jìn)一步明確需要研究的問題,也就是從哪些角度建立要素之間的邏輯關(guān)系.

    對于代數(shù)的相關(guān)概念主要是從數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析,如等差數(shù)列的概念,通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行分析;對于幾何的相關(guān)概念主要從圖形關(guān)系進(jìn)行分析,如棱柱的概念,通過觀察每個(gè)面的形狀和兩個(gè)面之間的位置關(guān)系進(jìn)行分析;對于函數(shù)的相關(guān)概念主要從對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分析,如函數(shù)的單調(diào)性,分析兩個(gè)變量間的大小關(guān)系,通過對應(yīng)關(guān)系得到的兩個(gè)函數(shù)值之間大小關(guān)系是否具有規(guī)律性.

    (2)歸納和概括

    先對不同情境中分析得到的要素及其之間的關(guān)系進(jìn)行比較,得到共同特征,這也是知覺表象階段的感性歸納和概括.再把共同特征推廣到范圍更廣的包含研究對象的同類事物中,實(shí)現(xiàn)從個(gè)別到一般的過程.揭示事物本質(zhì)特征與聯(lián)系的過程,是在頭腦中進(jìn)行的思維水平的概括.比如等差數(shù)列的概念,在對每個(gè)情境中的數(shù)列分別進(jìn)行運(yùn)算的基礎(chǔ)上,進(jìn)行歸納和概括發(fā)現(xiàn)取值規(guī)律,再一般化得到“每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”.分析和構(gòu)建、歸納和概括是符號化表達(dá)的重要基礎(chǔ).

    (3)定義和表征

    定義有兩種,一種是描述性定義,一種是說明性定義.比如集合的概念就是無法說明的基礎(chǔ)性概念,只能描述性定義;有理數(shù)的概念鑒于初中學(xué)生的理解水平,只能采用描述性定義;而函數(shù)的概念是說明性定義,揭示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.對于描述性定義主要以文字語言的形式進(jìn)行表達(dá).對于說明性定義需要揭示事物本質(zhì)的邏輯關(guān)系,需要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表示概念的要素、要素之間的相互聯(lián)系相互制約的關(guān)系,如高中學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)用“集合—對應(yīng)”的語言進(jìn)行表達(dá).

    在概念的形成過程中,上述認(rèn)知過程之間不是嚴(yán)格的線性順序結(jié)構(gòu),常常是相互交疊和多次反復(fù).比如,在定義的表征過程中,常常需要回到情境中,結(jié)合具體情境解釋抽象的定義,幫助學(xué)生建立抽象的數(shù)學(xué)符號與概念本質(zhì)內(nèi)容之間的聯(lián)系.另外,不同概念的認(rèn)知過程各有側(cè)重,比如對于描述性定義,更關(guān)注對情境中識別的要素進(jìn)行歸納與概括.

    2.3 普適階段

    給概念下定義之后,進(jìn)入概念的精致化與系統(tǒng)化階段.通過對正例和反例的辨析、解釋,以及運(yùn)用概念解決問題,實(shí)質(zhì)上是在一個(gè)更大范圍內(nèi)對概念進(jìn)行檢驗(yàn)和修正,進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的理解,建立此概念與已經(jīng)熟悉的相關(guān)概念之間的聯(lián)系,逐步將新概念納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,形成新的結(jié)構(gòu)體系.這個(gè)過程在后續(xù)的學(xué)習(xí)中持續(xù)進(jìn)行,如通過判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同等問題,提升對函數(shù)概念的理解,通過具體函數(shù)、從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識方程和不等式、函數(shù)應(yīng)用等內(nèi)容,理解函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具,體會函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.

    3 基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型的教學(xué)案例——高中“函數(shù)概念”

    函數(shù)概念強(qiáng)調(diào)了三個(gè)方面:函數(shù)是實(shí)數(shù)集合A與B間的對應(yīng)關(guān)系;對于實(shí)數(shù)集合A中的元素是處處定義的(即任意性);對于實(shí)數(shù)集合B中的元素是單值定義的(即唯一性).這三個(gè)方面就構(gòu)成了函數(shù)的本質(zhì)屬性.常見的函數(shù)三種表示方法只是對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式,形式不是函數(shù)的本質(zhì),符號也不是函數(shù)的本質(zhì),比如同一個(gè)函數(shù)既可以用f(x)表示,也可以用g(t)表示.根據(jù)函數(shù)的本質(zhì)屬性,聚焦函數(shù)概念的三要素,教學(xué)的主要過程如下:

    3.1 概念的引入

    設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧初中函數(shù)的概念,同時(shí)體會到進(jìn)一步研究函數(shù)概念的必要性.初中是從運(yùn)動變化的角度,用兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系來描述函數(shù)的.對于“y=1是函數(shù)嗎?”,有的學(xué)生認(rèn)為解析式中沒有自變量,所以y=1不是函數(shù);有的學(xué)生認(rèn)為y是常數(shù),不是變量,所以y=1不是函數(shù).對于判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同,學(xué)生沒有任何經(jīng)驗(yàn),初中學(xué)習(xí)的是三類具體函數(shù),很多學(xué)生對此無從下手.通過這些問題引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,引入研究對象.

    3.2 概念的形成

    情境1: 某高速列車加速到300km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).[6]

    問題1.1: 這段時(shí)間內(nèi),列車行進(jìn)的路程與運(yùn)行時(shí)間之間是函數(shù)關(guān)系嗎?為什么?

    問題1.2: 這段時(shí)間內(nèi),設(shè)列車行進(jìn)的路程為S(單位:km),運(yùn)行時(shí)間為t(單位:h),S與t之間的關(guān)系如何表示?

    問題1.3: 列車勻速運(yùn)行1小時(shí)前進(jìn)了多少km?為什么?

    問題1.4: 列車運(yùn)行時(shí)間t的取值范圍如何表示?S的取值范圍呢?S與t之間是如何對應(yīng)的?

    情境2: 某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超過6天.如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天300元,而且每周付一次工資.[6]

    問題2.1: 一個(gè)工人的工資是他工作天數(shù)的函數(shù)關(guān)系嗎?為什么?

    問題2.2: 設(shè)某工人的工作天數(shù)為d,工資為w元,w與d之間的關(guān)系如何表示?

    問題2.3: 工作天數(shù)d的取值范圍如何表示?w的取值范圍呢?w與d之間是如何對應(yīng)的?

    情境3: 右圖是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡稱AQI)變化圖.[6]

    問題3.1: 北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)與這一天內(nèi)任意時(shí)刻t之間是函數(shù)關(guān)系?為什么?

    問題3.2: 如何確定這一天內(nèi)任意時(shí)刻的空氣質(zhì)量指數(shù)?

    問題3.3: 請仿照前面的方法,描述I與t之間的對應(yīng)關(guān)系.

    表1 我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

    問題4.1:恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎?為什么?

    問題4.2:如何知道該城鎮(zhèn)居民某一年的恩格爾系數(shù)?

    問題4.3:請仿照前面的方法,描述r與y之間的對應(yīng)關(guān)系.

    問題5:根據(jù)上述分析,進(jìn)行歸納概括.

    問題5.1:拋開實(shí)際背景,上述四個(gè)實(shí)例中的函數(shù)都有哪些共同特征?

    問題5.2:這些共同特征是否適用一般函數(shù)?

    問題5.3:由此能否概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征?

    問題5.4嘗試?yán)谩凹稀獙?yīng)”的語言給函數(shù)下個(gè)定義.

    預(yù)設(shè):學(xué)生下定義出現(xiàn)困難時(shí),(1)先用口頭語言描述函數(shù)的三要素,再進(jìn)行符號化表達(dá);(2)回顧已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念,體會定義的一般結(jié)構(gòu).如初中函數(shù)概念,先描述大背景條件(一個(gè)變化過程中),指明兩個(gè)要素(兩個(gè)變量x和y),然后說明兩個(gè)要素之間的對應(yīng)關(guān)系(對于變量x的每一個(gè)值,變量y都有唯一的值與它對應(yīng)),最后給出定義名稱(稱y是x的函數(shù)).

    設(shè)計(jì)意圖這個(gè)過程是數(shù)學(xué)抽象的符號階段,學(xué)生經(jīng)歷了分類與識別、分析與建構(gòu)、歸納與概括的過程,具體結(jié)構(gòu)如下:

    (1)體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的基本過程.

    在對具體情境中的變量及其對應(yīng)關(guān)系分析的基礎(chǔ)上,拋開背景情境,聚焦變量與變量之間的關(guān)系,歸納概括共性,推廣至一般,并用“集合—對應(yīng)”的語言表達(dá)得到函數(shù)的定義,實(shí)現(xiàn)從理性具體到理性一般的抽象過程.

    (2)情境凸顯概念的本質(zhì)特征.

    根據(jù)函數(shù)的本質(zhì)特征以及學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ),設(shè)計(jì)四個(gè)情境,具體如下:

    情境對應(yīng)關(guān)系說明情境1現(xiàn)實(shí)情境(行程問題)解析式情境2現(xiàn)實(shí)情境(工資問題)解析式兩個(gè)情境中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同,情境1中的函數(shù)是連續(xù)型函數(shù),情境2中的函數(shù)是離散型函數(shù)情境3科學(xué)情境(空氣質(zhì)量指數(shù))圖象函數(shù)是連續(xù)型函數(shù)情境4科學(xué)情境(恩格爾系數(shù))表格函數(shù)是離散型函數(shù)

    (3)系列問題聚焦函數(shù)三要素.

    問題是學(xué)生思維的“路標(biāo)”,應(yīng)緊密圍繞概念的要素及要素之間的邏輯關(guān)系展開.函數(shù)的三要素是函數(shù)概念的核心,通過系列問題幫助學(xué)生逐步厘清函數(shù)三要素,并用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá).四組問題整體結(jié)構(gòu)“相似“,具體表述略有差異,如問題3.3和問題4.3是仿照前面的方法,描述兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系,相對于問題1.4和問題2.3更開放.

    (4)下定義的過程注重概念定義結(jié)構(gòu)的一般化.

    對函數(shù)概念下定義是教學(xué)的難點(diǎn),在實(shí)例歸納概括的基礎(chǔ)上,一方面對于表達(dá)形式,可以從口頭語言直觀解釋再到符號語言抽象表示;另一方面類比已有定義的結(jié)構(gòu),表達(dá)各要素之間的邏輯關(guān)系.可以借助初中函數(shù)定義,體會定義也是命題,命題包括條件和結(jié)論,函數(shù)定義也是類似的,先指明條件,也就是函數(shù)的三要素,即非空實(shí)數(shù)集合A和B,以及對應(yīng)關(guān)系f,再說明三個(gè)要素之間的關(guān)系,即對于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x,集合B中有唯一實(shí)數(shù)y=f(x)與x對應(yīng).通過這個(gè)過程幫助學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)中下定義的方法.

    3.3 概念的精致化與系統(tǒng)化

    問題6:利用今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容,解決下列問題:

    問題6.1:對于熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù),它們的定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域分別是什么?請用函數(shù)定義描述這些函數(shù).

    問題6.2:今天學(xué)習(xí)的函數(shù)定義與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)定義之間的聯(lián)系?

    問題6.3:請分析函數(shù)y=x(10-x)的定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域;并嘗試構(gòu)建一個(gè)問題情境,使其中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系為y=x(10-x).[6]

    問題6.4:再次思考引入中的問題.

    小結(jié)等略.

    設(shè)計(jì)意圖利用新知識再次解釋學(xué)生熟悉的三類函數(shù),進(jìn)一步理解函數(shù)概念的三要素.通過與初中函數(shù)概念的對比分析,讓學(xué)生體會函數(shù)概念的兩個(gè)抽象層次,初中函數(shù)的“變量—對應(yīng)”說,與運(yùn)動變化背景緊密相連,比較形象、直觀,高中函數(shù)的“集合—對應(yīng)”說,抽象為兩個(gè)實(shí)數(shù)集元素之間的對應(yīng)關(guān)系,更聚焦函數(shù)的本質(zhì)特征,拓展了函數(shù)的研究視野與應(yīng)用的范圍[7].利用函數(shù)解析式構(gòu)建問題情境,實(shí)現(xiàn)從抽象到具體的過程.通過系列問題,幫助學(xué)生構(gòu)建完整的函數(shù)概念,促進(jìn)函數(shù)概念的系統(tǒng)化.

    4 模型應(yīng)用中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注的幾個(gè)方面

    (1)重點(diǎn)關(guān)注概念的本質(zhì)屬性.

    概念的本質(zhì)屬性是概念教學(xué)的核心內(nèi)容.概念教學(xué)的目標(biāo)就是理解概念,理解的認(rèn)知過程包括解釋、舉例、分類、總結(jié)、推斷、比較和說明,比如舉例涉及辨認(rèn)概念的定義特征,并利用這些特征去選擇或構(gòu)建一個(gè)具體例子[5].這些過程都需要明確概念的本質(zhì)屬性,明確構(gòu)成概念的要素以及要素之間的邏輯關(guān)系.

    概念教學(xué)的核心問題指向概念的本質(zhì)屬性.通過問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察歸納、直觀感知,對構(gòu)成概念的要素進(jìn)行分類與識別,對要素之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析與建構(gòu).比如三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念,與前面學(xué)習(xí)的其它函數(shù)不同,三角函數(shù)反映的是“幾何元素之間的對應(yīng)”,其本質(zhì)是單位圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)與以O(shè)P為終邊的旋轉(zhuǎn)角之間的對應(yīng)關(guān)系.在概念抽象過程中,人教A版教材借助具體特殊角,經(jīng)歷“從角的終邊位置的確定,到角的終邊與單位圓的交點(diǎn),再到交點(diǎn)坐標(biāo)與角之間的對應(yīng)關(guān)系”的過程,明確三角函數(shù)的三要素,建構(gòu)幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系,這是概念抽象過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn).因此,概念的本質(zhì)屬性是概念抽象過程中的“路標(biāo)”,支撐起概念教學(xué)的內(nèi)在邏輯,也是基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型應(yīng)用的關(guān)鍵.

    (2)重點(diǎn)關(guān)注概念形成認(rèn)知過程的非線性.

    對于概念的數(shù)學(xué)抽象過程,簡約階段是概念抽象的起點(diǎn),符號階段是概念抽象的重點(diǎn),普適階段是概念抽象的延伸,認(rèn)知過程包括分類與識別、分析與建構(gòu)、歸納與概括、定義與表征,以至精細(xì)化系統(tǒng)化.對于具體概念,上述認(rèn)知過程不是絕對的線性關(guān)系,比如在函數(shù)概念案例中,分類識別與分析建構(gòu)兩個(gè)認(rèn)知過程是交疊在一起的,后續(xù)具體函數(shù)、函數(shù)應(yīng)用等內(nèi)容的學(xué)習(xí)也是概念系統(tǒng)化的過程;對于函數(shù)單調(diào)性,人教A版教材采用了“規(guī)-例”法,先用符號語言表達(dá)二次函數(shù)f(x)=x2的單調(diào)性,然后讓學(xué)生模仿,描述兩個(gè)熟悉的函數(shù)的單調(diào)性,再給出一般化嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá),更具有概念同化的特點(diǎn),淡化了歸納與概括的過程.在實(shí)際教學(xué)中,描述性的概念更注重分類與識別的過程,說明性的概念更強(qiáng)調(diào)對邏輯關(guān)系的分析與建構(gòu).因此,概念抽象的認(rèn)知過程不是嚴(yán)格線性的,每個(gè)過程也不是嚴(yán)格“均勻分布”的,在應(yīng)用模型的過程中需要根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整.

    (3)重點(diǎn)關(guān)注概念形成的整體設(shè)計(jì).

    由于數(shù)學(xué)概念的抽象性、概念表征的多元性,以及概念形成過程中思想方法的豐富性,對概念教學(xué)要進(jìn)行整體設(shè)計(jì).一方面,概念形成是以系統(tǒng)化為標(biāo)志.系統(tǒng)化是指新獲得的概念納入已有概念體系中,與相關(guān)概念建立起邏輯關(guān)系,也就是杜賓斯基的APOS模型中的圖式階段.概念系統(tǒng)化主要是通過概念應(yīng)用來實(shí)現(xiàn)的.學(xué)生在明確概念的定義、名稱、屬性之后,就進(jìn)入概念系統(tǒng)化階段,通過概念的應(yīng)用,不斷完善優(yōu)化已有概念系統(tǒng),這個(gè)過程需要持續(xù)比較長的時(shí)間,涉及更多的概念.如函數(shù)的概念,得到定義之后,就進(jìn)入概念的精致化與系統(tǒng)化的過程,這個(gè)過程將在后續(xù)的函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)等內(nèi)容中逐步完成.

    另一方面,概念抽象過程中蘊(yùn)含著豐富的思想方法,如從特殊到一般,從具體到抽象,以及分類、歸納、類比等.這些方法是連接數(shù)學(xué)概念的暗線,具體概念的數(shù)學(xué)抽象過程,既是運(yùn)用這些方法的過程,又是進(jìn)一步理解這些方法的過程.?dāng)?shù)學(xué)思想方法的理解需要學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從模糊到嚴(yán)謹(jǐn)、從膚淺到深刻、從模仿到應(yīng)用、從感性到理性、不斷反思、反復(fù)提煉的過程.因此,概念教學(xué)需要整體設(shè)計(jì),使得概念形成過程成為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體,實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)》提出的“整體把握教學(xué)內(nèi)容,促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展.”

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