基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成：模型與案例①

劉春艷 馮啟磊

(北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100044)

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)提出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)．其中數(shù)學(xué)抽象位于六大學(xué)科核心素養(yǎng)之首，是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)．從數(shù)學(xué)內(nèi)容來看，數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，概念是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，因此，獲得數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)之一，數(shù)學(xué)概念的形成也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的重要載體．在實(shí)際教學(xué)中，如何從情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)．為此，很多學(xué)者開展了大量研究．

關(guān)于概念學(xué)習(xí)，杜賓斯基(Ed Dubinsky)等人提出APOS理論，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)要經(jīng)歷4個(gè)心理建構(gòu)階段，即操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Scheme)．奧蘇貝爾(D.P. Ausubel)提出與概念形成的最高發(fā)展形式有關(guān)的心理過程，大致有八個(gè)環(huán)節(jié)．結(jié)合此結(jié)論，曹才翰與章建躍兩位學(xué)者提出了概念形成的過程模式(如圖1)．

圖1 概念形成的一般過程(曹才翰，章建躍，2006)

為了更精確地刻畫數(shù)學(xué)領(lǐng)域中抽象性的含義，徐利治教授給出了弱抽象、強(qiáng)抽象和廣義抽象的概念，并指出弱抽象的過程依據(jù)“特征分離概括化原則”，強(qiáng)抽象的過程依據(jù)“關(guān)系定性特征化原則”[1]．對于具體數(shù)學(xué)概念的抽象過程，史寧中教授根據(jù)抽象程度的不同，分為三個(gè)階段，或者說三個(gè)層次：一是簡約階段，把握事物關(guān)于數(shù)量或圖形的本質(zhì)，把繁雜問題簡單化，給予清晰表達(dá)；二是符號階段，去掉具體內(nèi)容，利用符號和關(guān)系術(shù)語，表述已簡約化的事物；三是普適階段，通過假設(shè)和推理，建立法則或者模型，能在一般意義上描述一類事物的特征或規(guī)律．[2]李昌官老師按照學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)認(rèn)知的先后順序，把數(shù)學(xué)抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構(gòu)、定義與表征、系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化5個(gè)階段．

上述相關(guān)理論和結(jié)論，對于一般意義上的數(shù)學(xué)概念的抽象過程具有指導(dǎo)意義．徐利治教授對每類抽象給出了工作原則，史寧中教授提出的三個(gè)階段,指明了數(shù)學(xué)概念抽象過程的基本框架，在具體操作時(shí)都需要細(xì)化；曹才翰和章建躍等學(xué)者給出的認(rèn)知過程具有一種等級結(jié)構(gòu)或順序結(jié)構(gòu)．但是在學(xué)習(xí)具體概念時(shí)，由于數(shù)學(xué)概念的復(fù)雜性和不同階段學(xué)生的差異等原因，學(xué)生認(rèn)知過程是否一定遵循線性順序？教學(xué)中如何更加清晰地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念呢？以上問題都需要進(jìn)一步探討．

2 基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型

在概念教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念是研究對象，教學(xué)流程與認(rèn)知過程緊密相連．首先，要對數(shù)學(xué)研究對象的特點(diǎn)進(jìn)行分析．一般地，數(shù)學(xué)概念來源于兩方面：一是對客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象；二是在已有數(shù)學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)[3]．相應(yīng)地，數(shù)學(xué)概念分為兩類：一類是對現(xiàn)實(shí)對象或關(guān)系的直接抽象而成的概念，如三角形的概念，定義包含了組成要素(三條線段)和要素之間的位置關(guān)系(首尾順次相接)；另一類是純數(shù)學(xué)抽象得到的，是抽象邏輯思維的產(chǎn)物，如三角形的中線概念，是在“三角形”基礎(chǔ)上生成的，具有主從關(guān)系．三角形的中線定義中的邏輯關(guān)系是通過臨近的屬概念(三角形)加上種差(連接頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的線段)來體現(xiàn)的．因此，數(shù)學(xué)概念是由要素和要素之間的邏輯關(guān)系構(gòu)成的，概念形成過程“實(shí)質(zhì)上是抽象出某一類對象或事物的共同本質(zhì)特征的過程”[4]，也就是抽象出概念包含的要素，以及要素之間邏輯關(guān)系的過程．

其次，基于認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于概念學(xué)習(xí)的相關(guān)理論，在大量課堂觀察與訪談分析的基礎(chǔ)上，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知過程非常復(fù)雜．在實(shí)際教學(xué)中，教師需要根據(jù)學(xué)生的具體表現(xiàn)，或重復(fù)已有的過程，或轉(zhuǎn)換表達(dá)方式，或補(bǔ)充新的實(shí)例等等，概念的建構(gòu)過程并非一定遵循線性關(guān)系．基于以上分析，我們建構(gòu)了基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型，如圖2．

圖2 基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型

2.1 簡約階段

簡約階段的操作過程，就是對于情境中的原型進(jìn)行識別，把某個(gè)或某類數(shù)學(xué)特性分離出來，也就是教學(xué)中的概念引入．通過具體的、直觀的、典型的、豐富的案例，結(jié)合長時(shí)記憶中的相關(guān)信息，在情境中辨認(rèn)出數(shù)學(xué)特性，舍棄非數(shù)學(xué)的特征和屬性，形成進(jìn)一步研究的“范本”，這是概念形成的基礎(chǔ)．如關(guān)于多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念，教材中提供了紙杯、紙箱、腰鼓、金字塔、茶葉盒、籃球、鉛錘等大量生活中物體的圖片，請學(xué)生描述它們的形狀，這些情境可以和后續(xù)概念(如棱柱、棱錐、線面的平行與垂直等)的理解與應(yīng)用相呼應(yīng)，為概念的系統(tǒng)化做一些鋪墊．

2.2 符號階段

符號階段是對簡約階段識別出的要素，通過分析與建構(gòu)、歸納與概括、定義與表征的認(rèn)知過程，得到概念的定義和名稱等，也就是教學(xué)中的概念形成．

(1)分析與建構(gòu)

分析是將材料分解成它的組成部分，并確定各部分之間的相互關(guān)系，以及各部分與總體結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系[5]．建構(gòu)是通過數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯建立起系統(tǒng)的、內(nèi)在一致的關(guān)系，使其構(gòu)成一個(gè)整體．對于每個(gè)情境中識別出的要素，通過觀察、比較等進(jìn)行區(qū)分，選擇與概念相關(guān)的、重要的、關(guān)鍵的要素，進(jìn)一步明確需要研究的問題，也就是從哪些角度建立要素之間的邏輯關(guān)系．

對于代數(shù)的相關(guān)概念主要是從數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，如等差數(shù)列的概念，通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行分析；對于幾何的相關(guān)概念主要從圖形關(guān)系進(jìn)行分析，如棱柱的概念，通過觀察每個(gè)面的形狀和兩個(gè)面之間的位置關(guān)系進(jìn)行分析；對于函數(shù)的相關(guān)概念主要從對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行分析，如函數(shù)的單調(diào)性，分析兩個(gè)變量間的大小關(guān)系，通過對應(yīng)關(guān)系得到的兩個(gè)函數(shù)值之間大小關(guān)系是否具有規(guī)律性．

(2)歸納和概括

先對不同情境中分析得到的要素及其之間的關(guān)系進(jìn)行比較，得到共同特征，這也是知覺表象階段的感性歸納和概括．再把共同特征推廣到范圍更廣的包含研究對象的同類事物中，實(shí)現(xiàn)從個(gè)別到一般的過程．揭示事物本質(zhì)特征與聯(lián)系的過程，是在頭腦中進(jìn)行的思維水平的概括．比如等差數(shù)列的概念，在對每個(gè)情境中的數(shù)列分別進(jìn)行運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)行歸納和概括發(fā)現(xiàn)取值規(guī)律，再一般化得到“每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”．分析和構(gòu)建、歸納和概括是符號化表達(dá)的重要基礎(chǔ)．

(3)定義和表征

定義有兩種，一種是描述性定義，一種是說明性定義．比如集合的概念就是無法說明的基礎(chǔ)性概念，只能描述性定義；有理數(shù)的概念鑒于初中學(xué)生的理解水平，只能采用描述性定義；而函數(shù)的概念是說明性定義，揭示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系．對于描述性定義主要以文字語言的形式進(jìn)行表達(dá)．對于說明性定義需要揭示事物本質(zhì)的邏輯關(guān)系，需要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表示概念的要素、要素之間的相互聯(lián)系相互制約的關(guān)系，如高中學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時(shí)用“集合—對應(yīng)”的語言進(jìn)行表達(dá)．

在概念的形成過程中，上述認(rèn)知過程之間不是嚴(yán)格的線性順序結(jié)構(gòu)，常常是相互交疊和多次反復(fù)．比如，在定義的表征過程中，常常需要回到情境中，結(jié)合具體情境解釋抽象的定義，幫助學(xué)生建立抽象的數(shù)學(xué)符號與概念本質(zhì)內(nèi)容之間的聯(lián)系．另外，不同概念的認(rèn)知過程各有側(cè)重，比如對于描述性定義，更關(guān)注對情境中識別的要素進(jìn)行歸納與概括．

2.3 普適階段

給概念下定義之后，進(jìn)入概念的精致化與系統(tǒng)化階段．通過對正例和反例的辨析、解釋，以及運(yùn)用概念解決問題，實(shí)質(zhì)上是在一個(gè)更大范圍內(nèi)對概念進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的理解，建立此概念與已經(jīng)熟悉的相關(guān)概念之間的聯(lián)系，逐步將新概念納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成新的結(jié)構(gòu)體系．這個(gè)過程在后續(xù)的學(xué)習(xí)中持續(xù)進(jìn)行，如通過判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同等問題，提升對函數(shù)概念的理解，通過具體函數(shù)、從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識方程和不等式、函數(shù)應(yīng)用等內(nèi)容，理解函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，體會函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線．

3 基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型的教學(xué)案例——高中“函數(shù)概念”

函數(shù)概念強(qiáng)調(diào)了三個(gè)方面：函數(shù)是實(shí)數(shù)集合A與B間的對應(yīng)關(guān)系；對于實(shí)數(shù)集合A中的元素是處處定義的(即任意性)；對于實(shí)數(shù)集合B中的元素是單值定義的(即唯一性)．這三個(gè)方面就構(gòu)成了函數(shù)的本質(zhì)屬性．常見的函數(shù)三種表示方法只是對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式，形式不是函數(shù)的本質(zhì)，符號也不是函數(shù)的本質(zhì)，比如同一個(gè)函數(shù)既可以用f(x)表示，也可以用g(t)表示．根據(jù)函數(shù)的本質(zhì)屬性，聚焦函數(shù)概念的三要素，教學(xué)的主要過程如下：

3.1 概念的引入

設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧初中函數(shù)的概念，同時(shí)體會到進(jìn)一步研究函數(shù)概念的必要性．初中是從運(yùn)動變化的角度，用兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系來描述函數(shù)的．對于“y=1是函數(shù)嗎？”，有的學(xué)生認(rèn)為解析式中沒有自變量，所以y=1不是函數(shù)；有的學(xué)生認(rèn)為y是常數(shù)，不是變量，所以y=1不是函數(shù)．對于判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，學(xué)生沒有任何經(jīng)驗(yàn)，初中學(xué)習(xí)的是三類具體函數(shù)，很多學(xué)生對此無從下手．通過這些問題引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引入研究對象．

3.2 概念的形成

情境1： 某高速列車加速到300km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí)．[6]

問題1.1： 這段時(shí)間內(nèi)，列車行進(jìn)的路程與運(yùn)行時(shí)間之間是函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

問題1.2： 這段時(shí)間內(nèi)，設(shè)列車行進(jìn)的路程為S(單位：km)，運(yùn)行時(shí)間為t(單位：h)，S與t之間的關(guān)系如何表示？

問題1.3： 列車勻速運(yùn)行1小時(shí)前進(jìn)了多少km？為什么？

問題1.4： 列車運(yùn)行時(shí)間t的取值范圍如何表示？S的取值范圍呢？S與t之間是如何對應(yīng)的？

情境2： 某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天300元，而且每周付一次工資．[6]

問題2.1： 一個(gè)工人的工資是他工作天數(shù)的函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

問題2.2： 設(shè)某工人的工作天數(shù)為d，工資為w元，w與d之間的關(guān)系如何表示？

問題2.3： 工作天數(shù)d的取值范圍如何表示？w的取值范圍呢？w與d之間是如何對應(yīng)的？

情境3： 右圖是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index，簡稱AQI)變化圖．[6]

問題3.1： 北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)與這一天內(nèi)任意時(shí)刻t之間是函數(shù)關(guān)系？為什么？

問題3.2： 如何確定這一天內(nèi)任意時(shí)刻的空氣質(zhì)量指數(shù)？

問題3.3： 請仿照前面的方法，描述I與t之間的對應(yīng)關(guān)系.

表1 我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

問題4.1：恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么？

問題4.2：如何知道該城鎮(zhèn)居民某一年的恩格爾系數(shù)？

問題4.3：請仿照前面的方法，描述r與y之間的對應(yīng)關(guān)系.

問題5：根據(jù)上述分析，進(jìn)行歸納概括．

問題5.1：拋開實(shí)際背景，上述四個(gè)實(shí)例中的函數(shù)都有哪些共同特征？

問題5.2：這些共同特征是否適用一般函數(shù)？

問題5.3：由此能否概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征？

問題5.4嘗試?yán)谩凹稀獙?yīng)”的語言給函數(shù)下個(gè)定義.

預(yù)設(shè)：學(xué)生下定義出現(xiàn)困難時(shí)，(1)先用口頭語言描述函數(shù)的三要素，再進(jìn)行符號化表達(dá)；(2)回顧已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念，體會定義的一般結(jié)構(gòu)．如初中函數(shù)概念，先描述大背景條件(一個(gè)變化過程中)，指明兩個(gè)要素(兩個(gè)變量x和y)，然后說明兩個(gè)要素之間的對應(yīng)關(guān)系(對于變量x的每一個(gè)值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng))，最后給出定義名稱(稱y是x的函數(shù))．

設(shè)計(jì)意圖這個(gè)過程是數(shù)學(xué)抽象的符號階段，學(xué)生經(jīng)歷了分類與識別、分析與建構(gòu)、歸納與概括的過程，具體結(jié)構(gòu)如下：

(1)體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的基本過程．

在對具體情境中的變量及其對應(yīng)關(guān)系分析的基礎(chǔ)上，拋開背景情境，聚焦變量與變量之間的關(guān)系，歸納概括共性，推廣至一般，并用“集合—對應(yīng)”的語言表達(dá)得到函數(shù)的定義，實(shí)現(xiàn)從理性具體到理性一般的抽象過程．

(2)情境凸顯概念的本質(zhì)特征．

根據(jù)函數(shù)的本質(zhì)特征以及學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)四個(gè)情境，具體如下：

情境對應(yīng)關(guān)系說明情境1現(xiàn)實(shí)情境(行程問題)解析式情境2現(xiàn)實(shí)情境(工資問題)解析式兩個(gè)情境中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同,情境1中的函數(shù)是連續(xù)型函數(shù),情境2中的函數(shù)是離散型函數(shù)情境3科學(xué)情境(空氣質(zhì)量指數(shù))圖象函數(shù)是連續(xù)型函數(shù)情境4科學(xué)情境(恩格爾系數(shù))表格函數(shù)是離散型函數(shù)

(3)系列問題聚焦函數(shù)三要素．

問題是學(xué)生思維的“路標(biāo)”，應(yīng)緊密圍繞概念的要素及要素之間的邏輯關(guān)系展開．函數(shù)的三要素是函數(shù)概念的核心，通過系列問題幫助學(xué)生逐步厘清函數(shù)三要素，并用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)．四組問題整體結(jié)構(gòu)“相似“，具體表述略有差異，如問題3.3和問題4.3是仿照前面的方法，描述兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，相對于問題1.4和問題2.3更開放．

(4)下定義的過程注重概念定義結(jié)構(gòu)的一般化．

對函數(shù)概念下定義是教學(xué)的難點(diǎn)，在實(shí)例歸納概括的基礎(chǔ)上，一方面對于表達(dá)形式，可以從口頭語言直觀解釋再到符號語言抽象表示；另一方面類比已有定義的結(jié)構(gòu)，表達(dá)各要素之間的邏輯關(guān)系．可以借助初中函數(shù)定義，體會定義也是命題，命題包括條件和結(jié)論，函數(shù)定義也是類似的，先指明條件，也就是函數(shù)的三要素，即非空實(shí)數(shù)集合A和B，以及對應(yīng)關(guān)系f，再說明三個(gè)要素之間的關(guān)系，即對于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，集合B中有唯一實(shí)數(shù)y=f(x)與x對應(yīng)．通過這個(gè)過程幫助學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)中下定義的方法．

3.3 概念的精致化與系統(tǒng)化

問題6：利用今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容，解決下列問題：

問題6.1：對于熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，它們的定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域分別是什么？請用函數(shù)定義描述這些函數(shù)．

問題6.2：今天學(xué)習(xí)的函數(shù)定義與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)定義之間的聯(lián)系？

問題6.3：請分析函數(shù)y=x(10-x)的定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域；并嘗試構(gòu)建一個(gè)問題情境，使其中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系為y=x(10-x)．[6]

問題6.4：再次思考引入中的問題．

小結(jié)等略．

設(shè)計(jì)意圖利用新知識再次解釋學(xué)生熟悉的三類函數(shù)，進(jìn)一步理解函數(shù)概念的三要素．通過與初中函數(shù)概念的對比分析，讓學(xué)生體會函數(shù)概念的兩個(gè)抽象層次，初中函數(shù)的“變量—對應(yīng)”說，與運(yùn)動變化背景緊密相連，比較形象、直觀，高中函數(shù)的“集合—對應(yīng)”說，抽象為兩個(gè)實(shí)數(shù)集元素之間的對應(yīng)關(guān)系，更聚焦函數(shù)的本質(zhì)特征，拓展了函數(shù)的研究視野與應(yīng)用的范圍[7]．利用函數(shù)解析式構(gòu)建問題情境，實(shí)現(xiàn)從抽象到具體的過程．通過系列問題，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的函數(shù)概念，促進(jìn)函數(shù)概念的系統(tǒng)化．

4 模型應(yīng)用中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注的幾個(gè)方面

(1)重點(diǎn)關(guān)注概念的本質(zhì)屬性．

概念的本質(zhì)屬性是概念教學(xué)的核心內(nèi)容．概念教學(xué)的目標(biāo)就是理解概念，理解的認(rèn)知過程包括解釋、舉例、分類、總結(jié)、推斷、比較和說明，比如舉例涉及辨認(rèn)概念的定義特征，并利用這些特征去選擇或構(gòu)建一個(gè)具體例子[5]．這些過程都需要明確概念的本質(zhì)屬性，明確構(gòu)成概念的要素以及要素之間的邏輯關(guān)系．

概念教學(xué)的核心問題指向概念的本質(zhì)屬性．通過問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察歸納、直觀感知，對構(gòu)成概念的要素進(jìn)行分類與識別，對要素之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析與建構(gòu)．比如三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，與前面學(xué)習(xí)的其它函數(shù)不同，三角函數(shù)反映的是“幾何元素之間的對應(yīng)”，其本質(zhì)是單位圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)與以O(shè)P為終邊的旋轉(zhuǎn)角之間的對應(yīng)關(guān)系．在概念抽象過程中，人教A版教材借助具體特殊角，經(jīng)歷“從角的終邊位置的確定，到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，再到交點(diǎn)坐標(biāo)與角之間的對應(yīng)關(guān)系”的過程，明確三角函數(shù)的三要素，建構(gòu)幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這是概念抽象過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．因此，概念的本質(zhì)屬性是概念抽象過程中的“路標(biāo)”，支撐起概念教學(xué)的內(nèi)在邏輯，也是基于數(shù)學(xué)抽象的概念形成模型應(yīng)用的關(guān)鍵．

(2)重點(diǎn)關(guān)注概念形成認(rèn)知過程的非線性．

對于概念的數(shù)學(xué)抽象過程，簡約階段是概念抽象的起點(diǎn)，符號階段是概念抽象的重點(diǎn)，普適階段是概念抽象的延伸，認(rèn)知過程包括分類與識別、分析與建構(gòu)、歸納與概括、定義與表征，以至精細(xì)化系統(tǒng)化．對于具體概念，上述認(rèn)知過程不是絕對的線性關(guān)系，比如在函數(shù)概念案例中，分類識別與分析建構(gòu)兩個(gè)認(rèn)知過程是交疊在一起的，后續(xù)具體函數(shù)、函數(shù)應(yīng)用等內(nèi)容的學(xué)習(xí)也是概念系統(tǒng)化的過程；對于函數(shù)單調(diào)性，人教A版教材采用了“規(guī)-例”法，先用符號語言表達(dá)二次函數(shù)f(x)=x2的單調(diào)性，然后讓學(xué)生模仿，描述兩個(gè)熟悉的函數(shù)的單調(diào)性，再給出一般化嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)，更具有概念同化的特點(diǎn)，淡化了歸納與概括的過程．在實(shí)際教學(xué)中，描述性的概念更注重分類與識別的過程，說明性的概念更強(qiáng)調(diào)對邏輯關(guān)系的分析與建構(gòu)．因此，概念抽象的認(rèn)知過程不是嚴(yán)格線性的，每個(gè)過程也不是嚴(yán)格“均勻分布”的，在應(yīng)用模型的過程中需要根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整．

(3)重點(diǎn)關(guān)注概念形成的整體設(shè)計(jì)．

由于數(shù)學(xué)概念的抽象性、概念表征的多元性，以及概念形成過程中思想方法的豐富性，對概念教學(xué)要進(jìn)行整體設(shè)計(jì)．一方面，概念形成是以系統(tǒng)化為標(biāo)志．系統(tǒng)化是指新獲得的概念納入已有概念體系中，與相關(guān)概念建立起邏輯關(guān)系，也就是杜賓斯基的APOS模型中的圖式階段．概念系統(tǒng)化主要是通過概念應(yīng)用來實(shí)現(xiàn)的．學(xué)生在明確概念的定義、名稱、屬性之后，就進(jìn)入概念系統(tǒng)化階段，通過概念的應(yīng)用，不斷完善優(yōu)化已有概念系統(tǒng)，這個(gè)過程需要持續(xù)比較長的時(shí)間，涉及更多的概念．如函數(shù)的概念，得到定義之后，就進(jìn)入概念的精致化與系統(tǒng)化的過程，這個(gè)過程將在后續(xù)的函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)等內(nèi)容中逐步完成．

另一方面，概念抽象過程中蘊(yùn)含著豐富的思想方法，如從特殊到一般，從具體到抽象，以及分類、歸納、類比等．這些方法是連接數(shù)學(xué)概念的暗線，具體概念的數(shù)學(xué)抽象過程，既是運(yùn)用這些方法的過程，又是進(jìn)一步理解這些方法的過程．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的理解需要學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從模糊到嚴(yán)謹(jǐn)、從膚淺到深刻、從模仿到應(yīng)用、從感性到理性、不斷反思、反復(fù)提煉的過程．因此，概念教學(xué)需要整體設(shè)計(jì)，使得概念形成過程成為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體，實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)》提出的“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展．”