利用幾何圖形建立直觀通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)規(guī)律
——“空間向量與立體幾何”內(nèi)容分析與教學(xué)思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

在必修課程中，學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念、運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，并用向量方法探索三角形的邊角關(guān)系，推出了余弦定理、正弦定理等重要公式.本單元將幫助學(xué)生類比平面向量的內(nèi)容、過(guò)程和方法，學(xué)習(xí)空間向量并用于解決立體幾何中的問(wèn)題，包括證明立體幾何初步中未加證明的直線、平面位置關(guān)系的判定定理，利用空間向量進(jìn)行空間距離、角度的計(jì)算等.

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)提出：本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量的共性和差異；運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會(huì)向量方法和綜合幾何方法的共性和差異；運(yùn)用向量方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，感悟向量是研究幾何問(wèn)題的有效工具.本單元內(nèi)容：空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算、向量基本定理及坐標(biāo)表示、空間向量的應(yīng)用.

分析課程標(biāo)準(zhǔn)的上述表述，可以得出如下認(rèn)識(shí)：

第一，本單元的內(nèi)容與平面向量“同構(gòu)”，包括空間向量的概念與運(yùn)算、空間向量基本定理與空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示和用空間向量解決立體幾何問(wèn)題等三個(gè)子單元，按空間向量知識(shí)的準(zhǔn)備、建立空間向量與立體圖形的橋梁和用空間向量解決問(wèn)題順次展開(kāi).

第二，正因?yàn)榕c平面向量“同構(gòu)”，所以本單元的學(xué)習(xí)要強(qiáng)調(diào)類比，充分調(diào)動(dòng)平面向量學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)基本思想、積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)類比建立本單元的整體架構(gòu)，形成研究思路，獲得研究方法，并且要注意維數(shù)的變化所產(chǎn)生的差異性.

第三，用向量方法解決空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系有明顯優(yōu)勢(shì)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量方法的重要性，并通過(guò)適當(dāng)?shù)妮d體(問(wèn)題)引導(dǎo)學(xué)生感悟向量方法的特點(diǎn)，在對(duì)向量方法和綜合幾何方法的比較中，體會(huì)它們的共性和差異.

2 本單元內(nèi)容與要求

1.空間直角坐標(biāo)系

(1)在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置.

(2)借助特殊長(zhǎng)方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式.

2.空間向量及其運(yùn)算

(1)經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過(guò)程,了解空間向量的概念.

(2)經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)程.

3.向量基本定理及坐標(biāo)表示

(1)了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.

(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示.

(4)了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.

4.空間向量的應(yīng)用

(1)能用向量語(yǔ)言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.

(2)能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系.

(3)能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.

(4)能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.

從課程標(biāo)準(zhǔn)的上述要求可以看到，讓學(xué)生經(jīng)歷由平面向量的概念、運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)程，是學(xué)習(xí)本單元的基本要求.實(shí)際上，由于“向量是自由的”，所以空間任意兩個(gè)向量都是共面的，所以空間向量的概念、運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)與平面向量有很強(qiáng)的可類比性，但空間向量是三維的，平面向量是二維的，這是有本質(zhì)差別的.

直線的方向向量、平面的法向量是兩個(gè)重要的概念，也是向量法中的關(guān)鍵工具；位置關(guān)系的本質(zhì)是方向的關(guān)系，這里要求用向量法證明直線、平面的位置關(guān)系的判定定理；距離、夾角是兩個(gè)最基本的幾何量，這里要求用向量法解決之，并要從中掌握向量法的解題程序.

與以往的課程內(nèi)容比較，空間“向量投影”和“投影向量”是課程標(biāo)準(zhǔn)作出的明確區(qū)分.向量投影是一種幾何變換，其結(jié)果是一個(gè)向量.

3 核心內(nèi)容的理解和教學(xué)思考

3.1 本單元的研究路徑

與平面向量的內(nèi)容類似，本單元按照“背景→空間向量及其運(yùn)算→空間向量基本定理→空間直角坐標(biāo)系→空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示→空間向量的應(yīng)用”的線索展開(kāi).

“空間向量及其運(yùn)算”是基礎(chǔ)，人教A版引導(dǎo)學(xué)生類比平面向量及其運(yùn)算，經(jīng)歷向量由平面向空間推廣的過(guò)程.因?yàn)槠矫嫦蛄颗c空間向量具有一致性，因此空間向量及其運(yùn)算的學(xué)習(xí)可以非常簡(jiǎn)捷.

“空間向量基本定理”揭示了空間中三個(gè)不共面的向量構(gòu)成三維空間的一個(gè)“基底”，這是用向量法解決幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).人教A版將這一內(nèi)容單設(shè)一節(jié)，在學(xué)習(xí)空間向量基本定理的過(guò)程中邊學(xué)邊用，以突出空間向量基本定理的承上啟下作用，使學(xué)生更好地體會(huì)“基底法”，為后續(xù)學(xué)習(xí)坐標(biāo)表示奠定基礎(chǔ).

“空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示”包含空間直角坐標(biāo)系和空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，前者是后者的基礎(chǔ).為了幫助學(xué)生更深入地感悟“基”的思想，人教A版在空間向量基本定理之后，類比利用平面單位正交基底建立平面直角坐標(biāo)系，安排利用空間單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，在充分發(fā)揮向量基本定理作用的同時(shí)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)其本質(zhì)，以及向量在空間圖形與實(shí)數(shù)之間的橋梁作用.在此基礎(chǔ)上，類比平面向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，就可以由學(xué)生獨(dú)立完成空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示，從而讓學(xué)生切實(shí)經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面推廣到空間的過(guò)程.

“空間向量的應(yīng)用”主要是利用向量方法解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題，包括用空間向量描述空間直線、平面間的平行、垂直關(guān)系，證明直線、平面位置關(guān)系的判定定理，用空間向量解決空間距離、夾角問(wèn)題等，向量方法是這部分的重點(diǎn).這里，人教A版注意了如下幾點(diǎn)：(1)選擇典型的立體幾何問(wèn)題；(2)讓學(xué)生在歸納“三步曲”的過(guò)程中體會(huì)向量方法的作用；(3)引導(dǎo)學(xué)生歸納向量法、綜合法與坐標(biāo)法的特點(diǎn)，根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的方法.

3.2 關(guān)于本單元內(nèi)容處理的幾點(diǎn)思考

與平面向量一樣，空間向量既是代數(shù)研究的對(duì)象，也是幾何研究的對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，因此在構(gòu)建本單元內(nèi)容框架時(shí)始終以聯(lián)系性、整體性為主旋律，努力突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，通過(guò)形數(shù)結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解.具體地，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)方面的問(wèn)題.

1.以向量空間理論為指導(dǎo)

無(wú)論是教材編寫(xiě)還是課堂教學(xué)，除了確保知識(shí)之間邏輯關(guān)系合理、每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)講解正確，還要注意以相關(guān)的數(shù)學(xué)理論為指導(dǎo)，這樣才能體現(xiàn)好內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法，從而提高教材和教學(xué)的品味.本單元所呈現(xiàn)的從空間向量的概念到線性運(yùn)算再到數(shù)量積運(yùn)算的過(guò)程，其內(nèi)容展開(kāi)的路徑遵循了向量空間理論.

首先，以位移、速度等為背景，抽象出空間向量的概念，定義空間向量的線性運(yùn)算，給出線性運(yùn)算的運(yùn)算性質(zhì)，這時(shí)空間中的向量所組成的集合就構(gòu)成了一個(gè)實(shí)數(shù)域上的向量空間.

其次，在實(shí)數(shù)域上的向量空間里定義“數(shù)量積”運(yùn)算并給出其性質(zhì)，那么這個(gè)向量空間就是一個(gè)有度量概念的歐氏向量空間.歐氏空間中，空間向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算建立了空間向量與立體幾何中的位置關(guān)系與度量問(wèn)題之間的聯(lián)系.(建議老師們查閱有關(guān)文獻(xiàn)，了解“實(shí)數(shù)域上的向量空間”、“歐氏向量空間”的有關(guān)內(nèi)容.)

2.使學(xué)生理解空間向量基本定理的“基本性”

在建立了歐氏向量空間后，接著就要研究它的特征，具體表現(xiàn)為空間向量基本定理，即這個(gè)向量空間可以由三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量生成，這是將空間向量的運(yùn)算化歸為數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ).這樣，雖然空間向量是無(wú)窮的，但它們都可以表示成三個(gè)不共面向量所成基底的線性組合，這樣就可以利用這個(gè)基底表示空間圖形中的任意元素，并使這些元素之間建立起“標(biāo)準(zhǔn)化的聯(lián)系”，從而可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題.這個(gè)過(guò)程是“程序化”的，理論上講，只要我們根據(jù)問(wèn)題中幾何圖形的特征選定基底，那么任何幾何問(wèn)題都可以得到解決，這就是空間向量基本定理的“基本”所在.

3.通過(guò)類比與推廣引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)獨(dú)立思考

空間向量與平面向量相比，維數(shù)從二維增加到三維，應(yīng)用對(duì)象也從平面圖形推廣到空間圖形，但“研究對(duì)象在變，研究套路不變，思想方法不變”.因此，可以充分利用空間向量與平面向量的“相似性”，在內(nèi)容安排上突出主線，進(jìn)行簡(jiǎn)潔化的集中處理.人教A版就是這樣，空間向量及其線性運(yùn)算的內(nèi)容一氣呵成，相關(guān)概念和線性運(yùn)算性質(zhì)通過(guò)類比平面向量的方式呈現(xiàn)，空間向量的數(shù)量積也做了簡(jiǎn)化處理，從而既增強(qiáng)了局部?jī)?nèi)容的整體性，也使知識(shí)的縱向聯(lián)系更加緊密.

當(dāng)然，我們必須注意到空間向量與平面向量的區(qū)別.“平面向量”是在一個(gè)“確定的平面”上研究向量問(wèn)題，所有向量共面是前提；空間向量是在三維空間中研究向量，雖然空間中“任意兩個(gè)向量共面”，但三個(gè)向量卻不一定共面.空間的兩個(gè)不共線向量可以形成無(wú)數(shù)個(gè)相互平行的平面，如圖1所示.在解決問(wèn)題時(shí)，為了讓兩個(gè)不共線向量確定的平面“確定”下來(lái)，還需要有一個(gè)確定的點(diǎn)，我們可以根據(jù)需要在空間中取一點(diǎn)O，將表示a，b的有向線段的起點(diǎn)平移到點(diǎn)O(如圖2),這樣就將兩個(gè)空間向量限定在“一個(gè)平面內(nèi)”；而對(duì)于空間的三個(gè)向量a，b，c，一般是要在平行六面體上考慮問(wèn)題(如圖3)，例如加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)的證明，就需要借助平行六面體證明等式兩邊的和向量都是其對(duì)角線所在向量.

圖1

圖2

圖3

4.空間向量與立體幾何相互為用

平面向量的基礎(chǔ)理論(運(yùn)算和運(yùn)算律的幾何意義)以平面幾何的相關(guān)定理為邏輯基礎(chǔ)，空間向量的基礎(chǔ)理論也以立體幾何中的基本事實(shí)、基礎(chǔ)理論為基礎(chǔ).例如，在定義空間向量的相關(guān)概念時(shí)，利用了正方體的基本性質(zhì)；對(duì)空間向量共面問(wèn)題的解釋，利用了空間直線與平面的平行關(guān)系；與利用平行四邊形定理、相似三角形定理證明平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律一樣，我們利用平行六面體的性質(zhì)解釋向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律(本質(zhì)上仍然是平行四邊形定理的應(yīng)用)；利用直線與平面的垂直關(guān)系解釋空間向量基本定理、空間向量的坐標(biāo)表示等等.

同時(shí)，本單元特別強(qiáng)調(diào)發(fā)揮向量的語(yǔ)言和工具作用解決立體幾何問(wèn)題.例如：利用數(shù)量積證明直線與平面垂直的判定定理以及其他一些簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題；利用空間向量基本定理證明直線與直線垂直或平行以及求兩條直線所成角的余弦值等；運(yùn)用空間向量研究空間直線、平面的位置關(guān)系和距離、夾角等度量的問(wèn)題；等等.這些都體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)“讓學(xué)生知道如何用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題”的設(shè)計(jì)意圖，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).

3.3 強(qiáng)調(diào)向量方法是否會(huì)削弱空間想象力的培養(yǎng)

加強(qiáng)用向量法解決立體幾何問(wèn)題體現(xiàn)了時(shí)代發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程改革的要求，但有老師認(rèn)為這會(huì)把立體幾何演化為“算的幾何”，從而削弱其培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的功能.我們認(rèn)為這是一種誤解.

我們知道，完整的向量法是：先用幾何眼光觀察，再用向量運(yùn)算解決.這里首先要搞清楚面對(duì)的幾何圖形、幾何問(wèn)題的基本特征，分析清楚幾何圖形的基本元素、基本關(guān)系，然后再選擇適當(dāng)?shù)幕?，并利用基底表示出相?yīng)的幾何元素和基本關(guān)系，最后進(jìn)行運(yùn)算.“用幾何眼光觀察”的過(guò)程中，就需要空間想象、幾何直觀等能力.

向量集數(shù)與形于一身，向量運(yùn)算既是數(shù)的運(yùn)算，也是圖形的運(yùn)算，根據(jù)圖形中幾何元素之間的基本關(guān)系列出向量等式，使計(jì)算與圖形特征融為一體，這是體現(xiàn)向量方法特點(diǎn)的關(guān)鍵.向量方法的“三步曲”，首要的是根據(jù)圖形的特征，用向量表示幾何元素及其基本關(guān)系.這一步很重要，其關(guān)鍵是選好“基”，建立空間向量與立體圖形的聯(lián)系，實(shí)際上就是向量基本定理的應(yīng)用，它反映了空間向量及其應(yīng)用的本質(zhì).以此為基礎(chǔ)，隨后的向量運(yùn)算以及運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋就水到渠成了.

立體幾何中，空間的直線、平面位置關(guān)系的主題是平行與垂直，其本質(zhì)是方向的關(guān)系；直線、平面的位置關(guān)系用角度來(lái)定量刻畫(huà)，而角度是對(duì)兩個(gè)方向差的度量.所以，刻畫(huà)直線、平面的位置關(guān)系時(shí)，“方向”是基本要素.相應(yīng)地，刻畫(huà)方向的量，即直線的方向向量和平面的法向量，就具有很重要的基礎(chǔ)性地位.

定性地看，空間的直線、平面都是由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向所確定的.對(duì)直線而言是一個(gè)點(diǎn)和它的方向向量，對(duì)平面而言是一個(gè)點(diǎn)和它的法向量.進(jìn)一步地，這是歐氏空間的本質(zhì)“過(guò)空間一點(diǎn)能作且只能作一條直線與已知直線平行”和“過(guò)空間一點(diǎn)能作且只能作一個(gè)平面與已知直線垂直”的代數(shù)表示.

總之，用向量方法解決幾何問(wèn)題，要以對(duì)立體圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(組成要素及其形狀、位置關(guān)系)的分析為基礎(chǔ).向量方法的第一步是用向量表示幾何元素，“表示”合理才能保證后續(xù)運(yùn)算的簡(jiǎn)捷.“合理表示”的本質(zhì)是準(zhǔn)確反映立體圖形的基本特征，這要以正確把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)，這當(dāng)然是空間想象力的直接反映.

因?yàn)橄蛄康摹白杂尚浴?，解題時(shí)不必考慮向量的起點(diǎn)在哪里，可以隨心所欲地將相關(guān)向量平移到共起點(diǎn)或形成向量回路，但用綜合法研究問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線才能把相關(guān)幾何元素聯(lián)系起來(lái).所以，向量方法是解決立體幾何問(wèn)題的簡(jiǎn)便且本質(zhì)之法.

3.4 投影向量與距離的本質(zhì)

向量的投影是高維空間到低維子空間的一種線性變換，得到的投影向量是變換的結(jié)果，是低維子空間中的向量.空間向量投影概念的建立對(duì)于學(xué)生利用投影向量研究立體幾何問(wèn)題有重要意義.

距離是空間中的重要度量.本單元涉及的距離有：兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，平行線之間的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離，平行平面之間的距離等.

1.兩點(diǎn)之間的距離

圖4

一般地，設(shè)P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，則有

這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式

從推導(dǎo)過(guò)程可以看到，上述公式是基于勾股定理的，這樣的距離叫做歐幾里得距離.進(jìn)一步地，垂直反映了距離的本質(zhì)，因此借助勾股定理可以直觀地研究距離問(wèn)題.

一般地，設(shè)x，y是集合A中的兩個(gè)元素，距離d(x,y)是定義在集合A上的二元函數(shù)，滿足：

(1)自反性：d(x,y)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

(2)對(duì)稱性：d(x,y)=d(y,x)；

(3)三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).

如果A是實(shí)數(shù)集，那么這個(gè)距離就是歐幾里得距離，其中(3)就是三角形兩邊之和大于第三邊.

2.點(diǎn)到直線的距離

投影向量的幾何意義和代數(shù)表示，不僅為研究立體幾何的距離問(wèn)題提供了便利，而且還提供了研究距離的方法.

如圖5，P為直線l外的一點(diǎn)，u為直線l的單位方向向量.

圖5

在Rt△APQ中，由勾股定理，得點(diǎn)P到直線l的距離為

3.點(diǎn)到平面的距離

如圖6，求點(diǎn)到平面的距離，需要利用法向量和投影向量，其一般步驟如下：

圖6

第一步，確定法向量；

第三步，確定參考向量到法向量的投影向量；

第四步，利用向量運(yùn)算求投影向量的長(zhǎng)度：

總之，從向量的角度看，無(wú)論是平面還是直線，法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達(dá)形式，法向量刻畫(huà)了表示“距離”的線段的方向.法向量的方向和法向量上投影向量的長(zhǎng)度既體現(xiàn)了幾何直觀，又提供了代數(shù)定量刻畫(huà)，因此利用法向量和向量投影可以研究距離問(wèn)題.

3.5 方向向量、法向量與夾角

角度是另一個(gè)重要的度量.空間直線、平面間的夾角問(wèn)題，包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角.因?yàn)榻嵌仁菍?duì)兩個(gè)方向差的度量，而直線的方向可以利用它的方向向量來(lái)刻畫(huà)，平面的方向可以利用它的法向量來(lái)刻畫(huà)，所以空間直線、平面間的夾角問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為直線的方向向量、平面的法向量間的夾角問(wèn)題，進(jìn)而可以利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算加以解決.

在“立體幾何初步”中，我們安排了用綜合法求兩條異面直線所成的角，即通過(guò)平移把兩條異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，再構(gòu)造三角形進(jìn)行計(jì)算.有了向量工具，兩條直線的方向能用它們的方向向量表達(dá)，這樣就不需要平移直線而直接求出夾角，既體現(xiàn)了“角”的本質(zhì)，也簡(jiǎn)化了求解過(guò)程.

對(duì)于兩條異面直線l1，l2，設(shè)它們的方向向量分別是u，v，l1，l2所成的角為θ，則

如圖7，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則

圖7

如圖8，平面α，β的法向量分別是n1和n2，則向量n1和n2的夾角(銳角)即為平面α與平面β的夾角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則

圖8

4 教學(xué)建議

4.1 加強(qiáng)類比、聯(lián)系與推廣，為學(xué)生創(chuàng)造更大的自主學(xué)習(xí)空間

向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.平面上的向量都可以看作空間中的向量，因此空間向量的概念、表示和平面向量沒(méi)有本質(zhì)性區(qū)別.由于空間兩個(gè)向量都可以平移到一個(gè)平面內(nèi)，因此空間兩個(gè)向量的運(yùn)算可以看作平面上兩個(gè)向量的運(yùn)算，它們的加法、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算也沒(méi)有本質(zhì)性區(qū)別.當(dāng)然，由于維數(shù)的變化，空間向量和平面向量又有差異性.

由“自由向量”所決定的空間向量與平面向量的這種關(guān)系，使空間向量成為學(xué)生可以自學(xué)的內(nèi)容.讓學(xué)生自學(xué)空間向量，也可以促使他們思考空間向量與平面向量的共性和差異，對(duì)維數(shù)增加所帶來(lái)的影響形成切身體驗(yàn)，在此過(guò)程中可以提升學(xué)生的空間想象力.

4.2 通過(guò)應(yīng)用，提升對(duì)向量方法的認(rèn)識(shí)水平

教學(xué)中，要注意以具體的立體幾何問(wèn)題為載體，通過(guò)問(wèn)題的解決加深對(duì)向量方法和立體幾何內(nèi)容的理解，逐步養(yǎng)成“用向量”的習(xí)慣.

加強(qiáng)向量方法，一是要注意使用“向量回路”、數(shù)乘向量、數(shù)量積、向量基本定理等解決空間元素的平行、垂直、角度、長(zhǎng)度等問(wèn)題；二是要強(qiáng)調(diào)基本定理的核心地位，其中加深對(duì)“基底”思想的理解是關(guān)鍵.

綜合運(yùn)用向量及其運(yùn)算解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中，方向向量、法向量的作用很重要，在此過(guò)程中需要較強(qiáng)的幾何直觀能力.當(dāng)前教學(xué)中普遍存在著把向量法等同于坐標(biāo)法的現(xiàn)象，這是沒(méi)有體會(huì)向量方法特點(diǎn)的表現(xiàn).

4.3 加強(qiáng)通過(guò)向量及其運(yùn)算表示和研究幾何問(wèn)題的體驗(yàn)

人教A版指出，向量是軀體，運(yùn)算是靈魂；如果沒(méi)有運(yùn)算，向量只是一個(gè)路標(biāo).通過(guò)向量及其運(yùn)算，不僅能表示空間中的點(diǎn)、直線和平面等基本元素，而且能使空間基本元素的位置關(guān)系、大小度量得到表達(dá)：

(1)向量a，b(b≠0)平行?a=λb；

(2)向量p與向量a，b共面?p=λa+μb；

(4)設(shè)u1，u2是直線l1，l2的方向向量，那么

l1∥l2?u1∥u2?u1=ku2；

(5)設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，那么

l∥α?u⊥n?u·n=0 ；

(6)設(shè)n1，n2是α，β的法向量，那么

α∥β?n1∥n2?存在k，使n1=kn2；

(7)設(shè)u1，u2是直線l1，l2的方向向量，那么

l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2=0；

(8)設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，那么

l⊥α?u∥n?存在k，使n=ku；

(9)設(shè)n1，n2是α，β的法向量，那么

α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0；

距離問(wèn)題，除兩點(diǎn)間距離公式外，點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離等與向量投影有關(guān)，其中涉及“參考向量”的選擇等，需要根據(jù)問(wèn)題的條件確定，是不同于綜合幾何方法的，需要進(jìn)行專門訓(xùn)練，養(yǎng)成習(xí)慣.

夾角問(wèn)題，利用直線的方向向量、平面的法向量可以方便地對(duì)夾角作出表達(dá).因?yàn)橄蛄糠椒ㄊ亲鴺?biāo)原點(diǎn)可以任意移動(dòng)的坐標(biāo)法，所以向量法為解決問(wèn)題提供了更大的自由度.

4.4 通過(guò)具體例子引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)維數(shù)對(duì)向量推廣的影響

最關(guān)鍵的是只要涉及到3個(gè)以上的向量，就要考慮這些向量不共面的問(wèn)題.例如，空間向量加法的結(jié)合律，證明過(guò)程中就要注意把圖形畫(huà)成“立體的”(如圖9所示，a，b，c不共面).當(dāng)然，代數(shù)推理時(shí)與平面向量加法結(jié)合律沒(méi)有太大差異：

圖9

所以(a+b)+c=a+(b+c).