• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    利用幾何圖形建立直觀通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)規(guī)律
    ——“空間向量與立體幾何”內(nèi)容分析與教學(xué)思考

    2021-08-06 01:38:16章建躍
    數(shù)學(xué)通報(bào) 2021年6期
    關(guān)鍵詞:運(yùn)算定理平面

    章建躍

    (人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

    在必修課程中,學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念、運(yùn)算、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示,并用向量方法探索三角形的邊角關(guān)系,推出了余弦定理、正弦定理等重要公式.本單元將幫助學(xué)生類比平面向量的內(nèi)容、過(guò)程和方法,學(xué)習(xí)空間向量并用于解決立體幾何中的問(wèn)題,包括證明立體幾何初步中未加證明的直線、平面位置關(guān)系的判定定理,利用空間向量進(jìn)行空間距離、角度的計(jì)算等.

    1 課程定位

    課程標(biāo)準(zhǔn)提出:本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上,利用類比的方法理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用,體會(huì)平面向量和空間向量的共性和差異;運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系,體會(huì)向量方法和綜合幾何方法的共性和差異;運(yùn)用向量方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題,感悟向量是研究幾何問(wèn)題的有效工具.本單元內(nèi)容:空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算、向量基本定理及坐標(biāo)表示、空間向量的應(yīng)用.

    分析課程標(biāo)準(zhǔn)的上述表述,可以得出如下認(rèn)識(shí):

    第一,本單元的內(nèi)容與平面向量“同構(gòu)”,包括空間向量的概念與運(yùn)算、空間向量基本定理與空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示和用空間向量解決立體幾何問(wèn)題等三個(gè)子單元,按空間向量知識(shí)的準(zhǔn)備、建立空間向量與立體圖形的橋梁和用空間向量解決問(wèn)題順次展開(kāi).

    第二,正因?yàn)榕c平面向量“同構(gòu)”,所以本單元的學(xué)習(xí)要強(qiáng)調(diào)類比,充分調(diào)動(dòng)平面向量學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)基本思想、積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),通過(guò)類比建立本單元的整體架構(gòu),形成研究思路,獲得研究方法,并且要注意維數(shù)的變化所產(chǎn)生的差異性.

    第三,用向量方法解決空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系有明顯優(yōu)勢(shì),應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量方法的重要性,并通過(guò)適當(dāng)?shù)妮d體(問(wèn)題)引導(dǎo)學(xué)生感悟向量方法的特點(diǎn),在對(duì)向量方法和綜合幾何方法的比較中,體會(huì)它們的共性和差異.

    2 本單元內(nèi)容與要求

    1.空間直角坐標(biāo)系

    (1)在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,了解空間直角坐標(biāo)系,感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性,會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)的位置.

    (2)借助特殊長(zhǎng)方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)的坐標(biāo),探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式.

    2.空間向量及其運(yùn)算

    (1)經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過(guò)程,了解空間向量的概念.

    (2)經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)程.

    3.向量基本定理及坐標(biāo)表示

    (1)了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

    (2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.

    (3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示.

    (4)了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.

    4.空間向量的應(yīng)用

    (1)能用向量語(yǔ)言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.

    (2)能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系.

    (3)能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.

    (4)能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題,并能描述解決這一類問(wèn)題的程序,體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.

    從課程標(biāo)準(zhǔn)的上述要求可以看到,讓學(xué)生經(jīng)歷由平面向量的概念、運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過(guò)程,是學(xué)習(xí)本單元的基本要求.實(shí)際上,由于“向量是自由的”,所以空間任意兩個(gè)向量都是共面的,所以空間向量的概念、運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)與平面向量有很強(qiáng)的可類比性,但空間向量是三維的,平面向量是二維的,這是有本質(zhì)差別的.

    直線的方向向量、平面的法向量是兩個(gè)重要的概念,也是向量法中的關(guān)鍵工具;位置關(guān)系的本質(zhì)是方向的關(guān)系,這里要求用向量法證明直線、平面的位置關(guān)系的判定定理;距離、夾角是兩個(gè)最基本的幾何量,這里要求用向量法解決之,并要從中掌握向量法的解題程序.

    與以往的課程內(nèi)容比較,空間“向量投影”和“投影向量”是課程標(biāo)準(zhǔn)作出的明確區(qū)分.向量投影是一種幾何變換,其結(jié)果是一個(gè)向量.

    3 核心內(nèi)容的理解和教學(xué)思考

    3.1 本單元的研究路徑

    與平面向量的內(nèi)容類似,本單元按照“背景→空間向量及其運(yùn)算→空間向量基本定理→空間直角坐標(biāo)系→空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示→空間向量的應(yīng)用”的線索展開(kāi).

    “空間向量及其運(yùn)算”是基礎(chǔ),人教A版引導(dǎo)學(xué)生類比平面向量及其運(yùn)算,經(jīng)歷向量由平面向空間推廣的過(guò)程.因?yàn)槠矫嫦蛄颗c空間向量具有一致性,因此空間向量及其運(yùn)算的學(xué)習(xí)可以非常簡(jiǎn)捷.

    “空間向量基本定理”揭示了空間中三個(gè)不共面的向量構(gòu)成三維空間的一個(gè)“基底”,這是用向量法解決幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).人教A版將這一內(nèi)容單設(shè)一節(jié),在學(xué)習(xí)空間向量基本定理的過(guò)程中邊學(xué)邊用,以突出空間向量基本定理的承上啟下作用,使學(xué)生更好地體會(huì)“基底法”,為后續(xù)學(xué)習(xí)坐標(biāo)表示奠定基礎(chǔ).

    “空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示”包含空間直角坐標(biāo)系和空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,前者是后者的基礎(chǔ).為了幫助學(xué)生更深入地感悟“基”的思想,人教A版在空間向量基本定理之后,類比利用平面單位正交基底建立平面直角坐標(biāo)系,安排利用空間單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系,在充分發(fā)揮向量基本定理作用的同時(shí),使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)其本質(zhì),以及向量在空間圖形與實(shí)數(shù)之間的橋梁作用.在此基礎(chǔ)上,類比平面向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示,就可以由學(xué)生獨(dú)立完成空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示,從而讓學(xué)生切實(shí)經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面推廣到空間的過(guò)程.

    “空間向量的應(yīng)用”主要是利用向量方法解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題,包括用空間向量描述空間直線、平面間的平行、垂直關(guān)系,證明直線、平面位置關(guān)系的判定定理,用空間向量解決空間距離、夾角問(wèn)題等,向量方法是這部分的重點(diǎn).這里,人教A版注意了如下幾點(diǎn):(1)選擇典型的立體幾何問(wèn)題;(2)讓學(xué)生在歸納“三步曲”的過(guò)程中體會(huì)向量方法的作用;(3)引導(dǎo)學(xué)生歸納向量法、綜合法與坐標(biāo)法的特點(diǎn),根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的方法.

    3.2 關(guān)于本單元內(nèi)容處理的幾點(diǎn)思考

    與平面向量一樣,空間向量既是代數(shù)研究的對(duì)象,也是幾何研究的對(duì)象,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁,因此在構(gòu)建本單元內(nèi)容框架時(shí)始終以聯(lián)系性、整體性為主旋律,努力突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合,通過(guò)形數(shù)結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解.具體地,應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)方面的問(wèn)題.

    1.以向量空間理論為指導(dǎo)

    無(wú)論是教材編寫(xiě)還是課堂教學(xué),除了確保知識(shí)之間邏輯關(guān)系合理、每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)講解正確,還要注意以相關(guān)的數(shù)學(xué)理論為指導(dǎo),這樣才能體現(xiàn)好內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法,從而提高教材和教學(xué)的品味.本單元所呈現(xiàn)的從空間向量的概念到線性運(yùn)算再到數(shù)量積運(yùn)算的過(guò)程,其內(nèi)容展開(kāi)的路徑遵循了向量空間理論.

    首先,以位移、速度等為背景,抽象出空間向量的概念,定義空間向量的線性運(yùn)算,給出線性運(yùn)算的運(yùn)算性質(zhì),這時(shí)空間中的向量所組成的集合就構(gòu)成了一個(gè)實(shí)數(shù)域上的向量空間.

    其次,在實(shí)數(shù)域上的向量空間里定義“數(shù)量積”運(yùn)算并給出其性質(zhì),那么這個(gè)向量空間就是一個(gè)有度量概念的歐氏向量空間.歐氏空間中,空間向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算建立了空間向量與立體幾何中的位置關(guān)系與度量問(wèn)題之間的聯(lián)系.(建議老師們查閱有關(guān)文獻(xiàn),了解“實(shí)數(shù)域上的向量空間”、“歐氏向量空間”的有關(guān)內(nèi)容.)

    2.使學(xué)生理解空間向量基本定理的“基本性”

    在建立了歐氏向量空間后,接著就要研究它的特征,具體表現(xiàn)為空間向量基本定理,即這個(gè)向量空間可以由三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量生成,這是將空間向量的運(yùn)算化歸為數(shù)的運(yùn)算的基礎(chǔ).這樣,雖然空間向量是無(wú)窮的,但它們都可以表示成三個(gè)不共面向量所成基底的線性組合,這樣就可以利用這個(gè)基底表示空間圖形中的任意元素,并使這些元素之間建立起“標(biāo)準(zhǔn)化的聯(lián)系”,從而可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題.這個(gè)過(guò)程是“程序化”的,理論上講,只要我們根據(jù)問(wèn)題中幾何圖形的特征選定基底,那么任何幾何問(wèn)題都可以得到解決,這就是空間向量基本定理的“基本”所在.

    3.通過(guò)類比與推廣引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)獨(dú)立思考

    空間向量與平面向量相比,維數(shù)從二維增加到三維,應(yīng)用對(duì)象也從平面圖形推廣到空間圖形,但“研究對(duì)象在變,研究套路不變,思想方法不變”.因此,可以充分利用空間向量與平面向量的“相似性”,在內(nèi)容安排上突出主線,進(jìn)行簡(jiǎn)潔化的集中處理.人教A版就是這樣,空間向量及其線性運(yùn)算的內(nèi)容一氣呵成,相關(guān)概念和線性運(yùn)算性質(zhì)通過(guò)類比平面向量的方式呈現(xiàn),空間向量的數(shù)量積也做了簡(jiǎn)化處理,從而既增強(qiáng)了局部?jī)?nèi)容的整體性,也使知識(shí)的縱向聯(lián)系更加緊密.

    當(dāng)然,我們必須注意到空間向量與平面向量的區(qū)別.“平面向量”是在一個(gè)“確定的平面”上研究向量問(wèn)題,所有向量共面是前提;空間向量是在三維空間中研究向量,雖然空間中“任意兩個(gè)向量共面”,但三個(gè)向量卻不一定共面.空間的兩個(gè)不共線向量可以形成無(wú)數(shù)個(gè)相互平行的平面,如圖1所示.在解決問(wèn)題時(shí),為了讓兩個(gè)不共線向量確定的平面“確定”下來(lái),還需要有一個(gè)確定的點(diǎn),我們可以根據(jù)需要在空間中取一點(diǎn)O,將表示a,b的有向線段的起點(diǎn)平移到點(diǎn)O(如圖2),這樣就將兩個(gè)空間向量限定在“一個(gè)平面內(nèi)”;而對(duì)于空間的三個(gè)向量a,b,c,一般是要在平行六面體上考慮問(wèn)題(如圖3),例如加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)的證明,就需要借助平行六面體證明等式兩邊的和向量都是其對(duì)角線所在向量.

    圖1

    圖2

    圖3

    4.空間向量與立體幾何相互為用

    平面向量的基礎(chǔ)理論(運(yùn)算和運(yùn)算律的幾何意義)以平面幾何的相關(guān)定理為邏輯基礎(chǔ),空間向量的基礎(chǔ)理論也以立體幾何中的基本事實(shí)、基礎(chǔ)理論為基礎(chǔ).例如,在定義空間向量的相關(guān)概念時(shí),利用了正方體的基本性質(zhì);對(duì)空間向量共面問(wèn)題的解釋,利用了空間直線與平面的平行關(guān)系;與利用平行四邊形定理、相似三角形定理證明平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律一樣,我們利用平行六面體的性質(zhì)解釋向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律(本質(zhì)上仍然是平行四邊形定理的應(yīng)用);利用直線與平面的垂直關(guān)系解釋空間向量基本定理、空間向量的坐標(biāo)表示等等.

    同時(shí),本單元特別強(qiáng)調(diào)發(fā)揮向量的語(yǔ)言和工具作用解決立體幾何問(wèn)題.例如:利用數(shù)量積證明直線與平面垂直的判定定理以及其他一些簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題;利用空間向量基本定理證明直線與直線垂直或平行以及求兩條直線所成角的余弦值等;運(yùn)用空間向量研究空間直線、平面的位置關(guān)系和距離、夾角等度量的問(wèn)題;等等.這些都體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)“讓學(xué)生知道如何用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題”的設(shè)計(jì)意圖,為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).

    3.3 強(qiáng)調(diào)向量方法是否會(huì)削弱空間想象力的培養(yǎng)

    加強(qiáng)用向量法解決立體幾何問(wèn)題體現(xiàn)了時(shí)代發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)課程改革的要求,但有老師認(rèn)為這會(huì)把立體幾何演化為“算的幾何”,從而削弱其培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的功能.我們認(rèn)為這是一種誤解.

    我們知道,完整的向量法是:先用幾何眼光觀察,再用向量運(yùn)算解決.這里首先要搞清楚面對(duì)的幾何圖形、幾何問(wèn)題的基本特征,分析清楚幾何圖形的基本元素、基本關(guān)系,然后再選擇適當(dāng)?shù)幕?,并利用基底表示出相?yīng)的幾何元素和基本關(guān)系,最后進(jìn)行運(yùn)算.“用幾何眼光觀察”的過(guò)程中,就需要空間想象、幾何直觀等能力.

    向量集數(shù)與形于一身,向量運(yùn)算既是數(shù)的運(yùn)算,也是圖形的運(yùn)算,根據(jù)圖形中幾何元素之間的基本關(guān)系列出向量等式,使計(jì)算與圖形特征融為一體,這是體現(xiàn)向量方法特點(diǎn)的關(guān)鍵.向量方法的“三步曲”,首要的是根據(jù)圖形的特征,用向量表示幾何元素及其基本關(guān)系.這一步很重要,其關(guān)鍵是選好“基”,建立空間向量與立體圖形的聯(lián)系,實(shí)際上就是向量基本定理的應(yīng)用,它反映了空間向量及其應(yīng)用的本質(zhì).以此為基礎(chǔ),隨后的向量運(yùn)算以及運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋就水到渠成了.

    立體幾何中,空間的直線、平面位置關(guān)系的主題是平行與垂直,其本質(zhì)是方向的關(guān)系;直線、平面的位置關(guān)系用角度來(lái)定量刻畫(huà),而角度是對(duì)兩個(gè)方向差的度量.所以,刻畫(huà)直線、平面的位置關(guān)系時(shí),“方向”是基本要素.相應(yīng)地,刻畫(huà)方向的量,即直線的方向向量和平面的法向量,就具有很重要的基礎(chǔ)性地位.

    定性地看,空間的直線、平面都是由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向所確定的.對(duì)直線而言是一個(gè)點(diǎn)和它的方向向量,對(duì)平面而言是一個(gè)點(diǎn)和它的法向量.進(jìn)一步地,這是歐氏空間的本質(zhì)“過(guò)空間一點(diǎn)能作且只能作一條直線與已知直線平行”和“過(guò)空間一點(diǎn)能作且只能作一個(gè)平面與已知直線垂直”的代數(shù)表示.

    總之,用向量方法解決幾何問(wèn)題,要以對(duì)立體圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(組成要素及其形狀、位置關(guān)系)的分析為基礎(chǔ).向量方法的第一步是用向量表示幾何元素,“表示”合理才能保證后續(xù)運(yùn)算的簡(jiǎn)捷.“合理表示”的本質(zhì)是準(zhǔn)確反映立體圖形的基本特征,這要以正確把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ),這當(dāng)然是空間想象力的直接反映.

    因?yàn)橄蛄康摹白杂尚浴?,解題時(shí)不必考慮向量的起點(diǎn)在哪里,可以隨心所欲地將相關(guān)向量平移到共起點(diǎn)或形成向量回路,但用綜合法研究問(wèn)題時(shí),常常需要添加輔助線才能把相關(guān)幾何元素聯(lián)系起來(lái).所以,向量方法是解決立體幾何問(wèn)題的簡(jiǎn)便且本質(zhì)之法.

    3.4 投影向量與距離的本質(zhì)

    向量的投影是高維空間到低維子空間的一種線性變換,得到的投影向量是變換的結(jié)果,是低維子空間中的向量.空間向量投影概念的建立對(duì)于學(xué)生利用投影向量研究立體幾何問(wèn)題有重要意義.

    距離是空間中的重要度量.本單元涉及的距離有:兩點(diǎn)間的距離,點(diǎn)到直線的距離,平行線之間的距離,點(diǎn)到平面的距離,直線到平面的距離,平行平面之間的距離等.

    1.兩點(diǎn)之間的距離

    圖4

    一般地,設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),則有

    這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式

    從推導(dǎo)過(guò)程可以看到,上述公式是基于勾股定理的,這樣的距離叫做歐幾里得距離.進(jìn)一步地,垂直反映了距離的本質(zhì),因此借助勾股定理可以直觀地研究距離問(wèn)題.

    一般地,設(shè)x,y是集合A中的兩個(gè)元素,距離d(x,y)是定義在集合A上的二元函數(shù),滿足:

    (1)自反性:d(x,y)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

    (2)對(duì)稱性:d(x,y)=d(y,x);

    (3)三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y).

    如果A是實(shí)數(shù)集,那么這個(gè)距離就是歐幾里得距離,其中(3)就是三角形兩邊之和大于第三邊.

    2.點(diǎn)到直線的距離

    投影向量的幾何意義和代數(shù)表示,不僅為研究立體幾何的距離問(wèn)題提供了便利,而且還提供了研究距離的方法.

    如圖5,P為直線l外的一點(diǎn),u為直線l的單位方向向量.

    圖5

    在Rt△APQ中,由勾股定理,得點(diǎn)P到直線l的距離為

    3.點(diǎn)到平面的距離

    如圖6,求點(diǎn)到平面的距離,需要利用法向量和投影向量,其一般步驟如下:

    圖6

    第一步,確定法向量;

    第三步,確定參考向量到法向量的投影向量;

    第四步,利用向量運(yùn)算求投影向量的長(zhǎng)度:

    總之,從向量的角度看,無(wú)論是平面還是直線,法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達(dá)形式,法向量刻畫(huà)了表示“距離”的線段的方向.法向量的方向和法向量上投影向量的長(zhǎng)度既體現(xiàn)了幾何直觀,又提供了代數(shù)定量刻畫(huà),因此利用法向量和向量投影可以研究距離問(wèn)題.

    3.5 方向向量、法向量與夾角

    角度是另一個(gè)重要的度量.空間直線、平面間的夾角問(wèn)題,包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角.因?yàn)榻嵌仁菍?duì)兩個(gè)方向差的度量,而直線的方向可以利用它的方向向量來(lái)刻畫(huà),平面的方向可以利用它的法向量來(lái)刻畫(huà),所以空間直線、平面間的夾角問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為直線的方向向量、平面的法向量間的夾角問(wèn)題,進(jìn)而可以利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算加以解決.

    在“立體幾何初步”中,我們安排了用綜合法求兩條異面直線所成的角,即通過(guò)平移把兩條異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線,再構(gòu)造三角形進(jìn)行計(jì)算.有了向量工具,兩條直線的方向能用它們的方向向量表達(dá),這樣就不需要平移直線而直接求出夾角,既體現(xiàn)了“角”的本質(zhì),也簡(jiǎn)化了求解過(guò)程.

    對(duì)于兩條異面直線l1,l2,設(shè)它們的方向向量分別是u,v,l1,l2所成的角為θ,則

    如圖7,直線AB與平面α相交于點(diǎn)B,設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ,直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,則

    圖7

    如圖8,平面α,β的法向量分別是n1和n2,則向量n1和n2的夾角(銳角)即為平面α與平面β的夾角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,則

    圖8

    4 教學(xué)建議

    4.1 加強(qiáng)類比、聯(lián)系與推廣,為學(xué)生創(chuàng)造更大的自主學(xué)習(xí)空間

    向量是具有大小和方向的量,這一概念既適用于平面,也適用于空間.平面上的向量都可以看作空間中的向量,因此空間向量的概念、表示和平面向量沒(méi)有本質(zhì)性區(qū)別.由于空間兩個(gè)向量都可以平移到一個(gè)平面內(nèi),因此空間兩個(gè)向量的運(yùn)算可以看作平面上兩個(gè)向量的運(yùn)算,它們的加法、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算也沒(méi)有本質(zhì)性區(qū)別.當(dāng)然,由于維數(shù)的變化,空間向量和平面向量又有差異性.

    由“自由向量”所決定的空間向量與平面向量的這種關(guān)系,使空間向量成為學(xué)生可以自學(xué)的內(nèi)容.讓學(xué)生自學(xué)空間向量,也可以促使他們思考空間向量與平面向量的共性和差異,對(duì)維數(shù)增加所帶來(lái)的影響形成切身體驗(yàn),在此過(guò)程中可以提升學(xué)生的空間想象力.

    4.2 通過(guò)應(yīng)用,提升對(duì)向量方法的認(rèn)識(shí)水平

    教學(xué)中,要注意以具體的立體幾何問(wèn)題為載體,通過(guò)問(wèn)題的解決加深對(duì)向量方法和立體幾何內(nèi)容的理解,逐步養(yǎng)成“用向量”的習(xí)慣.

    加強(qiáng)向量方法,一是要注意使用“向量回路”、數(shù)乘向量、數(shù)量積、向量基本定理等解決空間元素的平行、垂直、角度、長(zhǎng)度等問(wèn)題;二是要強(qiáng)調(diào)基本定理的核心地位,其中加深對(duì)“基底”思想的理解是關(guān)鍵.

    綜合運(yùn)用向量及其運(yùn)算解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中,方向向量、法向量的作用很重要,在此過(guò)程中需要較強(qiáng)的幾何直觀能力.當(dāng)前教學(xué)中普遍存在著把向量法等同于坐標(biāo)法的現(xiàn)象,這是沒(méi)有體會(huì)向量方法特點(diǎn)的表現(xiàn).

    4.3 加強(qiáng)通過(guò)向量及其運(yùn)算表示和研究幾何問(wèn)題的體驗(yàn)

    人教A版指出,向量是軀體,運(yùn)算是靈魂;如果沒(méi)有運(yùn)算,向量只是一個(gè)路標(biāo).通過(guò)向量及其運(yùn)算,不僅能表示空間中的點(diǎn)、直線和平面等基本元素,而且能使空間基本元素的位置關(guān)系、大小度量得到表達(dá):

    (1)向量a,b(b≠0)平行?a=λb;

    (2)向量p與向量a,b共面?p=λa+μb;

    (4)設(shè)u1,u2是直線l1,l2的方向向量,那么

    l1∥l2?u1∥u2?u1=ku2;

    (5)設(shè)u是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l?α,那么

    l∥α?u⊥n?u·n=0 ;

    (6)設(shè)n1,n2是α,β的法向量,那么

    α∥β?n1∥n2?存在k,使n1=kn2;

    (7)設(shè)u1,u2是直線l1,l2的方向向量,那么

    l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2=0;

    (8)設(shè)u是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,那么

    l⊥α?u∥n?存在k,使n=ku;

    (9)設(shè)n1,n2是α,β的法向量,那么

    α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0;

    距離問(wèn)題,除兩點(diǎn)間距離公式外,點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離等與向量投影有關(guān),其中涉及“參考向量”的選擇等,需要根據(jù)問(wèn)題的條件確定,是不同于綜合幾何方法的,需要進(jìn)行專門訓(xùn)練,養(yǎng)成習(xí)慣.

    夾角問(wèn)題,利用直線的方向向量、平面的法向量可以方便地對(duì)夾角作出表達(dá).因?yàn)橄蛄糠椒ㄊ亲鴺?biāo)原點(diǎn)可以任意移動(dòng)的坐標(biāo)法,所以向量法為解決問(wèn)題提供了更大的自由度.

    4.4 通過(guò)具體例子引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)維數(shù)對(duì)向量推廣的影響

    最關(guān)鍵的是只要涉及到3個(gè)以上的向量,就要考慮這些向量不共面的問(wèn)題.例如,空間向量加法的結(jié)合律,證明過(guò)程中就要注意把圖形畫(huà)成“立體的”(如圖9所示,a,b,c不共面).當(dāng)然,代數(shù)推理時(shí)與平面向量加法結(jié)合律沒(méi)有太大差異:

    圖9

    所以(a+b)+c=a+(b+c).

    猜你喜歡
    運(yùn)算定理平面
    J. Liouville定理
    重視運(yùn)算與推理,解決數(shù)列求和題
    有趣的運(yùn)算
    A Study on English listening status of students in vocational school
    “三共定理”及其應(yīng)用(上)
    “整式的乘法與因式分解”知識(shí)歸納
    撥云去“誤”學(xué)乘除運(yùn)算
    參考答案
    關(guān)于有限域上的平面映射
    Individual Ergodic Theorems for Noncommutative Orlicz Space?
    国产精品综合久久久久久久免费| 精品熟女少妇八av免费久了| 久久国产乱子伦精品免费另类| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 国产激情欧美一区二区| 国产成人影院久久av| 欧美一区二区国产精品久久精品| 日韩欧美精品v在线| 国内精品美女久久久久久| 激情在线观看视频在线高清| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 成人亚洲精品av一区二区| 久久精品国产99精品国产亚洲性色| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 久久午夜亚洲精品久久| 国产精品亚洲av一区麻豆| 国产精品亚洲av一区麻豆| av视频在线观看入口| 久久久国产成人精品二区| 观看免费一级毛片| www日本在线高清视频| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 久久精品91蜜桃| 精品久久久久久,| 国产精品,欧美在线| 噜噜噜噜噜久久久久久91| 精品久久久久久久末码| 性欧美人与动物交配| 两个人看的免费小视频| 国产毛片a区久久久久| 女同久久另类99精品国产91| 99国产极品粉嫩在线观看| 他把我摸到了高潮在线观看| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| tocl精华| 亚洲男人的天堂狠狠| 欧美极品一区二区三区四区| 国产人伦9x9x在线观看| 成人永久免费在线观看视频| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 午夜a级毛片| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 69av精品久久久久久| 美女cb高潮喷水在线观看 | 久久久色成人| 久久草成人影院| 中文在线观看免费www的网站| 久久精品国产综合久久久| 99视频精品全部免费 在线 | 亚洲七黄色美女视频| 精品国产乱码久久久久久男人| 一进一出抽搐动态| 三级国产精品欧美在线观看 | 天堂影院成人在线观看| 真人一进一出gif抽搐免费| 男人和女人高潮做爰伦理| 亚洲国产欧美一区二区综合| 国产精品 国内视频| 国产成人精品无人区| 国产黄色小视频在线观看| 国产午夜精品久久久久久| 久久天堂一区二区三区四区| 色噜噜av男人的天堂激情| av国产免费在线观看| 亚洲国产看品久久| 国产精品av久久久久免费| 两性夫妻黄色片| 国产视频内射| 99久久精品一区二区三区| 欧美不卡视频在线免费观看| 欧美又色又爽又黄视频| АⅤ资源中文在线天堂| 日本 欧美在线| 日韩av在线大香蕉| 真人一进一出gif抽搐免费| 色精品久久人妻99蜜桃| 日韩有码中文字幕| 国产成人精品久久二区二区91| 成人午夜高清在线视频| 亚洲国产欧洲综合997久久,| 床上黄色一级片| 精品久久久久久久毛片微露脸| 狠狠狠狠99中文字幕| 欧美黑人巨大hd| 亚洲五月婷婷丁香| 黄片大片在线免费观看| 桃红色精品国产亚洲av| 免费观看的影片在线观看| 成人性生交大片免费视频hd| 天堂影院成人在线观看| 级片在线观看| 欧美中文日本在线观看视频| 精品一区二区三区av网在线观看| 一二三四在线观看免费中文在| 久久国产乱子伦精品免费另类| 国内揄拍国产精品人妻在线| 欧美日韩综合久久久久久 | 狠狠狠狠99中文字幕| 成在线人永久免费视频| 国产成人影院久久av| bbb黄色大片| av视频在线观看入口| 最近视频中文字幕2019在线8| 88av欧美| 欧美丝袜亚洲另类 | 噜噜噜噜噜久久久久久91| 成年免费大片在线观看| 国产黄片美女视频| 九色成人免费人妻av| 中亚洲国语对白在线视频| 欧美3d第一页| 丝袜人妻中文字幕| 午夜福利免费观看在线| 国语自产精品视频在线第100页| 成人国产综合亚洲| 99国产精品一区二区三区| 特级一级黄色大片| 欧美不卡视频在线免费观看| 欧美高清成人免费视频www| 手机成人av网站| 国产乱人伦免费视频| 全区人妻精品视频| 精品人妻1区二区| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 国产成人系列免费观看| 久久99热这里只有精品18| 国产成人系列免费观看| 香蕉av资源在线| www日本黄色视频网| 精品国产三级普通话版| 日韩成人在线观看一区二区三区| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 久久久久久久久久黄片| 哪里可以看免费的av片| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 黄频高清免费视频| 亚洲精品久久国产高清桃花| 免费在线观看亚洲国产| 久久久国产成人精品二区| 两人在一起打扑克的视频| 欧美乱妇无乱码| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 欧美日韩乱码在线| 欧美黑人巨大hd| 欧美乱妇无乱码| av片东京热男人的天堂| 精品日产1卡2卡| 狂野欧美激情性xxxx| 在线播放国产精品三级| 久久久精品大字幕| 国产伦精品一区二区三区四那| 久久精品国产综合久久久| 可以在线观看毛片的网站| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 男人舔奶头视频| 亚洲精品国产精品久久久不卡| 禁无遮挡网站| 免费在线观看日本一区| 亚洲 国产 在线| 成年女人永久免费观看视频| bbb黄色大片| 可以在线观看毛片的网站| 一区二区三区高清视频在线| 国产精品久久久人人做人人爽| 免费大片18禁| 成年免费大片在线观看| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 亚洲一区高清亚洲精品| 国产亚洲欧美在线一区二区| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 99热这里只有精品一区 | 91麻豆av在线| 中文字幕高清在线视频| 又紧又爽又黄一区二区| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 国产高清激情床上av| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 无遮挡黄片免费观看| 色吧在线观看| 视频区欧美日本亚洲| 国产成人精品久久二区二区91| av女优亚洲男人天堂 | av黄色大香蕉| 亚洲在线自拍视频| 国产精品一区二区三区四区免费观看 | 18禁美女被吸乳视频| 18美女黄网站色大片免费观看| 成人av在线播放网站| 亚洲国产中文字幕在线视频| 啦啦啦韩国在线观看视频| 亚洲欧美日韩高清在线视频| 一个人看视频在线观看www免费 | 久久久国产成人精品二区| 色尼玛亚洲综合影院| 窝窝影院91人妻| 亚洲最大成人中文| 三级国产精品欧美在线观看 | 欧美黑人巨大hd| 可以在线观看的亚洲视频| 中出人妻视频一区二区| 看免费av毛片| netflix在线观看网站| 国产亚洲av高清不卡| 国产三级中文精品| 男女做爰动态图高潮gif福利片| 欧美黑人欧美精品刺激| 久久中文字幕一级| 日韩av在线大香蕉| 国产麻豆成人av免费视频| 免费看日本二区| 真实男女啪啪啪动态图| 久久午夜综合久久蜜桃| 国产伦精品一区二区三区四那| 又黄又爽又免费观看的视频| 老熟妇仑乱视频hdxx| 精华霜和精华液先用哪个| 日韩欧美三级三区| 国产精品爽爽va在线观看网站| cao死你这个sao货| 精品一区二区三区视频在线 | 欧美zozozo另类| 亚洲五月婷婷丁香| 国产成人av教育| 国产亚洲欧美98| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 国产成人精品久久二区二区免费| 亚洲av五月六月丁香网| 欧美一区二区精品小视频在线| av欧美777| 男女床上黄色一级片免费看| 精品久久久久久久毛片微露脸| 亚洲成av人片免费观看| 天堂影院成人在线观看| 一区二区三区激情视频| 亚洲激情在线av| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 欧美一级a爱片免费观看看| 2021天堂中文幕一二区在线观| 成年女人永久免费观看视频| 精品一区二区三区四区五区乱码| 少妇的逼水好多| 国产欧美日韩一区二区三| 精品一区二区三区四区五区乱码| 12—13女人毛片做爰片一| 久久亚洲真实| 特级一级黄色大片| 久久香蕉国产精品| 久久久精品大字幕| 国产私拍福利视频在线观看| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | 亚洲国产精品久久男人天堂| 国产野战对白在线观看| 午夜免费激情av| 中文字幕久久专区| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 久久中文字幕人妻熟女| 久久草成人影院| 激情在线观看视频在线高清| 亚洲欧美日韩无卡精品| 亚洲国产欧美人成| 可以在线观看的亚洲视频| 成人欧美大片| 亚洲,欧美精品.| 精品日产1卡2卡| 日韩精品青青久久久久久| 性色avwww在线观看| 欧美乱色亚洲激情| 听说在线观看完整版免费高清| 最近最新中文字幕大全电影3| 午夜影院日韩av| 99精品久久久久人妻精品| 在线观看66精品国产| 国产精品av久久久久免费| 免费在线观看日本一区| 五月玫瑰六月丁香| 亚洲精品乱码久久久v下载方式 | 国产亚洲精品久久久久久毛片| 1024香蕉在线观看| 欧美色视频一区免费| 成人无遮挡网站| 99久久国产精品久久久| 成人一区二区视频在线观看| 97人妻精品一区二区三区麻豆| 欧美zozozo另类| 黄色丝袜av网址大全| 欧美日韩综合久久久久久 | 色哟哟哟哟哟哟| 色综合站精品国产| 91麻豆av在线| 久久精品91蜜桃| 91av网站免费观看| 最近最新中文字幕大全电影3| 五月伊人婷婷丁香| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 国产精品亚洲一级av第二区| 一二三四社区在线视频社区8| 久久久久久久精品吃奶| 国产一区二区在线av高清观看| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 精品99又大又爽又粗少妇毛片 | 亚洲自偷自拍图片 自拍| 人人妻人人澡欧美一区二区| 两个人视频免费观看高清| 老司机福利观看| 色老头精品视频在线观看| 国产主播在线观看一区二区| 18美女黄网站色大片免费观看| 高潮久久久久久久久久久不卡| 久久久久亚洲av毛片大全| 午夜亚洲福利在线播放| 天堂影院成人在线观看| 91字幕亚洲| 免费观看的影片在线观看| 免费av不卡在线播放| 最近最新中文字幕大全免费视频| 少妇熟女aⅴ在线视频| 久久中文字幕人妻熟女| 国产伦一二天堂av在线观看| 免费观看人在逋| 亚洲成av人片在线播放无| 国产一区二区在线av高清观看| 99热这里只有是精品50| 在线免费观看的www视频| 国产久久久一区二区三区| 99re在线观看精品视频| 人妻久久中文字幕网| 最好的美女福利视频网| 成人鲁丝片一二三区免费| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 一级作爱视频免费观看| 欧美一区二区精品小视频在线| 香蕉国产在线看| 日韩精品中文字幕看吧| 国产精品日韩av在线免费观看| 色尼玛亚洲综合影院| 欧美丝袜亚洲另类 | 国产极品精品免费视频能看的| 听说在线观看完整版免费高清| 国产成人av激情在线播放| 欧美av亚洲av综合av国产av| 可以在线观看的亚洲视频| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| www.999成人在线观看| 青草久久国产| 免费在线观看日本一区| 国产精品av视频在线免费观看| 一级作爱视频免费观看| 成人永久免费在线观看视频| 久久久久久国产a免费观看| 两个人看的免费小视频| 久久精品91蜜桃| 免费人成视频x8x8入口观看| 亚洲无线观看免费| 一二三四社区在线视频社区8| 午夜成年电影在线免费观看| 好男人电影高清在线观看| 99久久无色码亚洲精品果冻| 一级毛片精品| 日本五十路高清| 高清毛片免费观看视频网站| 国产精品野战在线观看| 色噜噜av男人的天堂激情| 桃红色精品国产亚洲av| 亚洲无线观看免费| 91麻豆精品激情在线观看国产| 精品无人区乱码1区二区| 国产精品一区二区精品视频观看| www.999成人在线观看| 欧美中文日本在线观看视频| 日本免费一区二区三区高清不卡| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 91麻豆精品激情在线观看国产| 精品99又大又爽又粗少妇毛片 | 毛片女人毛片| 成年女人看的毛片在线观看| 男人和女人高潮做爰伦理| 一区二区三区激情视频| 高清毛片免费观看视频网站| 亚洲电影在线观看av| 黄片大片在线免费观看| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 18美女黄网站色大片免费观看| 岛国在线观看网站| 夜夜爽天天搞| 精品福利观看| 这个男人来自地球电影免费观看| 亚洲成人免费电影在线观看| 给我免费播放毛片高清在线观看| 亚洲精品在线美女| 一级作爱视频免费观看| 午夜福利高清视频| 女警被强在线播放| 国产三级中文精品| 99热6这里只有精品| 嫩草影视91久久| 1024手机看黄色片| 1000部很黄的大片| 久99久视频精品免费| 国产高清视频在线播放一区| 无人区码免费观看不卡| 97碰自拍视频| av片东京热男人的天堂| 日韩成人在线观看一区二区三区| 色综合欧美亚洲国产小说| 国产一区二区在线观看日韩 | 两人在一起打扑克的视频| av天堂在线播放| 精品一区二区三区四区五区乱码| 久久人人精品亚洲av| av片东京热男人的天堂| 欧美av亚洲av综合av国产av| 亚洲avbb在线观看| 黄色女人牲交| 中文在线观看免费www的网站| 国产免费av片在线观看野外av| 国产激情久久老熟女| 婷婷六月久久综合丁香| 色尼玛亚洲综合影院| 免费av毛片视频| 黄色丝袜av网址大全| 免费av毛片视频| 久久伊人香网站| 黄色女人牲交| 亚洲在线自拍视频| 欧美性猛交黑人性爽| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 欧美日韩福利视频一区二区| 国产高清三级在线| 男人舔女人的私密视频| 亚洲欧美日韩高清专用| 日本成人三级电影网站| 狠狠狠狠99中文字幕| 亚洲一区二区三区不卡视频| 久久久国产精品麻豆| 丁香六月欧美| 日韩欧美三级三区| 亚洲第一电影网av| 国产一区二区在线观看日韩 | 51午夜福利影视在线观看| 亚洲成av人片在线播放无| 国产精品九九99| 国产在线精品亚洲第一网站| 美女大奶头视频| e午夜精品久久久久久久| 国内精品美女久久久久久| 麻豆av在线久日| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 天天躁日日操中文字幕| 日韩精品中文字幕看吧| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 中文资源天堂在线| 99在线人妻在线中文字幕| 久久久久久久久免费视频了| 男女床上黄色一级片免费看| 精品久久久久久久久久免费视频| 国产精品免费一区二区三区在线| 两个人看的免费小视频| 亚洲,欧美精品.| 欧美大码av| 日韩欧美精品v在线| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 国产精品久久久久久久电影 | 国产精品久久视频播放| 欧美乱色亚洲激情| 亚洲无线在线观看| 精品久久久久久久久久免费视频| 最新中文字幕久久久久 | www日本在线高清视频| 久久亚洲精品不卡| 国产综合懂色| 一个人免费在线观看的高清视频| 亚洲最大成人中文| 给我免费播放毛片高清在线观看| 国产精品野战在线观看| 欧美一区二区国产精品久久精品| 又黄又爽又免费观看的视频| 午夜精品在线福利| 婷婷精品国产亚洲av在线| 色av中文字幕| 国产成年人精品一区二区| 亚洲av片天天在线观看| 一个人观看的视频www高清免费观看 | av天堂在线播放| 国产精品久久电影中文字幕| 亚洲熟妇熟女久久| 天天一区二区日本电影三级| 国产亚洲精品久久久com| 91字幕亚洲| 成熟少妇高潮喷水视频| 波多野结衣高清作品| 日韩欧美在线乱码| 99久久无色码亚洲精品果冻| 成人av一区二区三区在线看| 日本黄色片子视频| 国产精品一及| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 国产精品久久久久久久电影 | 欧美日本视频| 色精品久久人妻99蜜桃| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 成熟少妇高潮喷水视频| 亚洲精品美女久久av网站| 国产熟女xx| 色播亚洲综合网| 12—13女人毛片做爰片一| 免费看日本二区| 亚洲av美国av| 91在线观看av| 久久精品91无色码中文字幕| 男人舔奶头视频| 日本三级黄在线观看| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 国产精品乱码一区二三区的特点| 桃红色精品国产亚洲av| av天堂在线播放| 级片在线观看| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 网址你懂的国产日韩在线| 亚洲人成电影免费在线| 国产精品久久久av美女十八| 男女那种视频在线观看| 欧美日韩乱码在线| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 99久久国产精品久久久| 黄色女人牲交| 91在线观看av| 男插女下体视频免费在线播放| 免费看a级黄色片| 欧美极品一区二区三区四区| 亚洲精品粉嫩美女一区| 欧美不卡视频在线免费观看| 女警被强在线播放| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 国产1区2区3区精品| 亚洲av熟女| 久久久久久人人人人人| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 国产一区二区激情短视频| 岛国在线观看网站| 可以在线观看的亚洲视频| 日本 av在线| 亚洲中文日韩欧美视频| 成人无遮挡网站| 国产男靠女视频免费网站| 最新美女视频免费是黄的| 露出奶头的视频| 精品不卡国产一区二区三区| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 男人舔女人下体高潮全视频| 99国产精品99久久久久| 母亲3免费完整高清在线观看| 一进一出抽搐gif免费好疼| 国产精品久久电影中文字幕| 午夜福利免费观看在线| 一二三四在线观看免费中文在| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 他把我摸到了高潮在线观看| 99久久99久久久精品蜜桃| 俺也久久电影网| 亚洲国产精品sss在线观看| 99热这里只有是精品50| 两个人视频免费观看高清| 久久久久久九九精品二区国产| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 久久精品综合一区二区三区| 又紧又爽又黄一区二区| 国产日本99.免费观看| 97超视频在线观看视频| 亚洲av成人一区二区三| a级毛片在线看网站| 欧美又色又爽又黄视频| 两个人看的免费小视频| 日日干狠狠操夜夜爽| 麻豆久久精品国产亚洲av| 精品久久久久久成人av| 午夜福利免费观看在线| 精品不卡国产一区二区三区| xxxwww97欧美| 深夜精品福利| 少妇熟女aⅴ在线视频| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 免费av毛片视频| 国产免费男女视频| 给我免费播放毛片高清在线观看| 美女午夜性视频免费| 少妇的逼水好多| 日本一二三区视频观看| 欧美av亚洲av综合av国产av| 国产欧美日韩精品一区二区| 久久精品91无色码中文字幕| 亚洲成人精品中文字幕电影| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 国产精品一区二区三区四区久久| 亚洲色图av天堂| 精品无人区乱码1区二区| 深夜精品福利| 国产乱人伦免费视频| x7x7x7水蜜桃| 国产精品一及| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 亚洲av美国av| 又黄又爽又免费观看的视频| x7x7x7水蜜桃| 亚洲av成人av| 麻豆成人av在线观看| 99久久综合精品五月天人人| 九色成人免费人妻av| 国产亚洲av高清不卡|