基于小波分析的ARIMA-GRNN模型的新疆CPI分析

唐 萍，王豐效

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844000)

0 引言

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(CPI)是用來(lái)反映消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品價(jià)格水平的變動(dòng)情況，CPI的高低在一定程度上能夠說(shuō)明通貨膨脹的嚴(yán)重程度，是政府制定相關(guān)政策和計(jì)劃，進(jìn)行宏觀(guān)調(diào)控的理論依據(jù)[1].近年來(lái)，國(guó)家大力扶持新疆經(jīng)濟(jì)，新疆CPI與新疆經(jīng)濟(jì)發(fā)展息息相關(guān)，因此通過(guò)對(duì)該地區(qū)CPI進(jìn)行分析，在一定程度上對(duì)當(dāng)?shù)卣贫ń?jīng)濟(jì)發(fā)展策略具有重要意義.研究CPI的方法很多，如小波分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色模型、SARIMA、ARIMA、VAR等.文獻(xiàn)[1]通過(guò)小波分析和ANIFS模型對(duì)CPI進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[2]通過(guò)ARIMA模型對(duì)CPI進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析；文獻(xiàn)[3]通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證小波分析的BP-SARIMA預(yù)測(cè)模型的有效性；文獻(xiàn)[4]說(shuō)明了GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在實(shí)際應(yīng)用中優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).基于以上研究基礎(chǔ)，本文先根據(jù)小波分析對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，再利用新疆CPI相關(guān)數(shù)據(jù)建立小波ARIMA-GRNN模型進(jìn)行實(shí)證分析.

1 小波分析的ARIMA-GRNN模型

1.1 小波分析

小波分析是建立在泛函分析、Fourier分析、樣條分析及調(diào)和分析基礎(chǔ)上的新的分析處理工具.它又被稱(chēng)為多分辨分析，在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化特性,常被譽(yù)為信號(hào)分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡”.近十多年來(lái),小波分析的理論和方法在信號(hào)處理、語(yǔ)音分析、模式識(shí)別、數(shù)據(jù)壓縮、圖像處理、數(shù)字水印、量子物理等專(zhuān)業(yè)和領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[5].將小波分析應(yīng)用于時(shí)間序列中，可以將數(shù)據(jù)分出周期項(xiàng)、趨勢(shì)項(xiàng)和隨機(jī)性[8].小波分析主要通過(guò)分解、去噪、重構(gòu)三個(gè)步驟.設(shè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)為f(t),則f(t)的多分辨分解可以表示為

其中φj,k(t)，φJ(rèn),k(t)分別是尺度函數(shù)φ(t)和母小波函數(shù)φ(t)的伸縮和平移函數(shù)簇；cj,k為尺度展開(kāi)系數(shù)；dj,k為小波展開(kāi)系數(shù)；J為任意設(shè)定的尺度.

1.2 ARIMA模型

自回歸求和移動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average)[2]，簡(jiǎn)記為ARIMA(p,d,q),模型結(jié)構(gòu)如下：

1.3 GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(GRNN)是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種改進(jìn).GRNN在結(jié)構(gòu)上主要由四層構(gòu)成，如圖1所示，分別為輸入層(input layer)、模式層(pattern layer)、求和層(summation layer)和輸出層(output layer).對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)輸入

X=(x1,x2,…,xn)T

和網(wǎng)絡(luò)輸出

Y=(y1,y2,…,yk)T.

相對(duì)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō),GRNN的非線(xiàn)性映射能力和學(xué)習(xí)速度非常強(qiáng),且僅只含唯一參數(shù)光滑因子，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)訓(xùn)練全部依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可以最大程度上防止人為主觀(guān)因素的影響，大大提高預(yù)測(cè)的精度.

圖1 GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

輸入層的神經(jīng)元的個(gè)數(shù)等于輸入樣本向量的維數(shù).將變量輸送給模式層，模式層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)為樣本的個(gè)數(shù)，傳遞函數(shù)為

輸出變量i和對(duì)應(yīng)樣本X之間Euclid距離為

求和層的計(jì)算公式有兩種，一種是

權(quán)值為1，傳遞函數(shù)為

另一類(lèi)計(jì)算公式為

傳遞函數(shù)為

1.4 小波分析的ARIMA-GRNN模型的構(gòu)建

首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解預(yù)處理，再對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)做ARIMA模型預(yù)測(cè)，最后通過(guò)GRNN模型進(jìn)行預(yù)測(cè)修正.通過(guò)結(jié)合小波分析、ARIMA和GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的優(yōu)點(diǎn)，建立小波分析的ARIMA-GRNN模型.小波分析的ARIMA-GRNN模型的建模步驟為：

步驟1 選擇合適的小波函數(shù)及分解層數(shù)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分解.

步驟2 分別對(duì)近似部分aj=(xj,1,xj,2,…,xj,n)和細(xì)節(jié)部分dJ=(yj,1,yj,2,…,yj,n)建立合適的ARIMA模型，1≤j≤J，J為分解的層數(shù).

1.5 模型預(yù)測(cè)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

(1)均方根誤差RMSE準(zhǔn)則

其中:yi代表預(yù)測(cè)值;gi代表真實(shí)值.RMSE值越小，代表模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度越高.

(2)平均絕對(duì)誤差MAE準(zhǔn)則

其中:yi代表預(yù)測(cè)值;gi代表真實(shí)值;MAE值越小，代表模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度越高.

(3)Theil不相等系數(shù)準(zhǔn)則

其中:U的取值范圍為0到1之間，當(dāng)U的取值越接近于1時(shí)，代表預(yù)測(cè)值跟真實(shí)值相差很大，即模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度越低；當(dāng)U取值越趨于零時(shí)，代表預(yù)測(cè)值接近于真實(shí)值，即模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度越高.

2 實(shí)證分析

首先對(duì)CPI數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)特征分析，然后分別建立ARIMA、小波ARIMA和小波ARIMA-GRNN預(yù)測(cè)模型，通過(guò)比較3個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度，來(lái)驗(yàn)證小波ARIMA-GRNN是否具有一定的優(yōu)勢(shì).

本文選取新疆維吾爾族自治區(qū)2000年1月至2021年2月的CPI月度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)共計(jì)254個(gè)，數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局.研究中模型估計(jì)和預(yù)測(cè)利用了Eviews和Matlab軟件工具完成.

2.1 小波分解及去噪

CPI月度數(shù)據(jù)不可避免地受到隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的干擾，收集到的數(shù)據(jù)會(huì)包含一定的噪聲，這些噪聲與數(shù)據(jù)的本質(zhì)特征無(wú)關(guān)，但是會(huì)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果形成一定的干擾.為了提高預(yù)測(cè)的精度，對(duì)CPI原始數(shù)據(jù)進(jìn)行小波處理.

目前小波函數(shù)的選擇并沒(méi)有統(tǒng)一的理論標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)本文研究的CPI數(shù)據(jù)的特征，選取db4小波作為小波基[5]，對(duì)CPI進(jìn)行一層小波分解得到各尺度的近似分量和細(xì)節(jié)分量，如圖2所示.其中s代表的是CPI數(shù)據(jù)的原始圖像，d代表細(xì)節(jié)分量，下標(biāo)代表分解的層數(shù)，a代表近似分量.

S=a1+d1.

以上小波分解過(guò)程通過(guò)MATLAB小波分析工具箱完成.

圖2 小波分解

2.2 基于小波分析的ARIMA模型建模

對(duì)近似分量a1和細(xì)節(jié)分量d1分別用經(jīng)典的時(shí)間序列進(jìn)行相應(yīng)的擬合和預(yù)測(cè).近似分量a1的時(shí)序圖如圖3所示，由該時(shí)序圖可知該序列為非平穩(wěn)時(shí)間序列，對(duì)a1序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所列，ADF檢驗(yàn)未通過(guò)，該序列為非平穩(wěn)時(shí)間序列.

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，首先對(duì)序列進(jìn)行一階差分處理，一階差分后的ADF檢驗(yàn)結(jié)果如表2所列，由表2可知一階差分后的a1序列為平穩(wěn)序列，因此，模型參數(shù)d的取值為1.

通過(guò)差分序列的相關(guān)圖，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)確定參數(shù)p,q的值.自相關(guān)圖(ACF)和

圖3 a1時(shí)序圖

偏相關(guān)圖(PACF)如圖4所示，根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion,AIC)和施瓦茨準(zhǔn)則(Schwarz Criterion,SC)較小，結(jié)合擬合度(R-squared)最優(yōu)原則，最終確定最優(yōu)模型為ARIMA(1,1,1)，a1的ARIMA(1，1，1)模型的擬合結(jié)果如圖5所示，參數(shù)顯著性皆為顯著，且該模型通過(guò)有效性檢驗(yàn)，利用其進(jìn)行預(yù)測(cè)，得出a1的ARIMA預(yù)測(cè)模型為

a1=(x1,1,x1,2,…,x1,p).

表1 a1序列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果

表2 a1序列一階差分后ADF檢驗(yàn)結(jié)果

圖4 a1一階差分后的ACF和PACF圖

圖5 a1的模型擬合圖

同樣最終確定b1最優(yōu)模型為ARMA(2,1)，參數(shù)顯著性皆為顯著，且通過(guò)有效性檢驗(yàn)，利用其進(jìn)行預(yù)測(cè)得出d1的ARMA預(yù)測(cè)模型為

d1=(y2,1,y2,2,…,y2,q).

2.3 基于小波分析的ARIMA-GRNN模型建模

將a1的預(yù)測(cè)模型和d1的預(yù)測(cè)模型W=(W1,W2)作為GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量，將CPI數(shù)據(jù)的真實(shí)值作為輸出變量，總共有252個(gè)數(shù)組，前248個(gè)數(shù)組作為訓(xùn)練集，后4組作為網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù).通過(guò)交叉驗(yàn)證，確定最優(yōu)的spread值.

通過(guò)程序運(yùn)行，得出最佳spread值為0.1，最終得出模型的預(yù)測(cè)值，如圖6所示.

圖6 GRNN在MATLAB中運(yùn)行結(jié)果圖

2.4 模型的比較評(píng)價(jià)

為了比較小波分析及未經(jīng)小波分析的預(yù)測(cè)效果的差別，建立ARIMA模型[2]、小波ARIMA模型.將ARIMA模型、小波ARIMA模型和小波ARIMA-GRNN 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較.各模型的預(yù)測(cè)值跟真實(shí)值的誤差見(jiàn)表3.

表3 各預(yù)測(cè)模型的相對(duì)誤差表

由3種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差比較可知，小波ARIMA-GRNN模型的誤差要比小波ARIMA模型小，小波ARIMA模型的誤差要比小波ARIMA模型小.

進(jìn)一步根據(jù)均方根誤差準(zhǔn)則、平均絕對(duì)誤差準(zhǔn)則和Theil不相等系數(shù)準(zhǔn)則來(lái)比較這3種模型的預(yù)測(cè)效果，結(jié)果見(jiàn)表4所列.

表4 各模型指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果

RMSE和MAE的值越小，模型的效果越好.U值越接近于零，模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度也就越高.通過(guò)實(shí)證分析表明將小波分析應(yīng)用到時(shí)間序列中，能顯著地提高模型的預(yù)測(cè)精度.小波ARIMA和小波ARIMA-GRNN模型的預(yù)測(cè)精度要比ARIMA模型的高.通過(guò)GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)修正，其預(yù)測(cè)精度要比小波GRNN高.小波ARIMA-GRNN模型優(yōu)于小波ARIMA模型，優(yōu)于ARIMA模型.

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)CPI數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，建立小波ARIMA-GRNN模型.對(duì)于該模型，小波分析能夠?qū)⒉▌?dòng)的CPI序列進(jìn)行去噪分解，得到不同頻率的近似分量和細(xì)節(jié)分量，對(duì)于不同的近似分量和細(xì)節(jié)分量其數(shù)據(jù)特征也不一樣，能夠?yàn)楹罄m(xù)的時(shí)間序列建模提高預(yù)測(cè)精度.進(jìn)一步的研究方向：①模型的改進(jìn).比如說(shuō)將ARIMA模型換成其他的模型，或者將GRNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)換成其他類(lèi)型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，或者選取其他的小波基，預(yù)測(cè)精度是否提高.②模型的適用性.模型是否適應(yīng)于其他的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè).