方波工況下PMSM 單電流調節(jié)器控制策略的研究

王 震，周明磊，王琛琛

（北京交通大學電氣工程學院，北京 100044）

永磁同步電機PMSM（permanent magnet synchronous motor）具有高功率密度、高效率以及高功率因數(shù)等一系列優(yōu)點，因而被越來越多地應用于軌道交通領域。軌道交通領域中逆變器的開關頻率通常較低，電機在高速區(qū)通常運行在方波工況。方波工況下電機電壓幅值達到最大值，完全失去調節(jié)能力，僅有電壓矢量角可供調節(jié)，而傳統(tǒng)基于雙電流環(huán)的控制策略不再適用，因此方波工況下控制策略的研究是軌道交通用永磁同步電機重點研究內容之一。

永磁同步電機方波工況下的控制策略可以分為電流指令計算和電壓指令計算兩個部分。其中電流指令計算環(huán)節(jié)的目的是為了得到合適的電流指令，常用的方法主要包括公式法[1]、查表法[2]、梯度下降法[3]以及負直軸電流補償法[4]等，其中負直軸電流補償法原理簡單且魯棒性較好，是目前應用較多的一類方法。電壓指令計算環(huán)節(jié)的目的是根據(jù)得到的d、q 軸電流指令，經(jīng)過一定的控制算法對d、q 軸電壓進行調節(jié)，最終實現(xiàn)對電機輸出轉矩的控制，其常用的方法大致可以分為3 類：①通過電機數(shù)學方程計算得到電壓指令[5]，魯棒性較差，而且由于沒有電流環(huán)，無法實現(xiàn)電流的準確跟蹤控制；②通過基于雙電流環(huán)的控制策略調節(jié)得到電壓指令[6-7]，但由于方波工況下電壓幅值達到最大值，無法調節(jié)，需要對調節(jié)器輸出的電壓指令重新進行復雜的修正，以匹配方波電壓輸出，計算復雜且動態(tài)性能一般；③通過基于單電流環(huán)的控制策略調節(jié)得到電壓指令[8-14]，具有良好的電流跟蹤性能和動態(tài)性能，同時有效避免了雙電流調節(jié)器耦合而產生的飽和沖突問題，是目前應用最多的一類方法。文獻[8]通過單個電流調節(jié)器調節(jié)d 軸電壓并建立電機的q 軸電壓和電流的線性函數(shù)，修正電機q 軸電壓的指令值，進而得到電壓指令；文獻[9-10]在其基礎上用查表法替代線性函數(shù)的方法來確定q 軸電壓進而得到電壓指令；文獻[11]通過電壓幅值與單電流調節(jié)器輸出的d 軸電壓得到q 軸電壓進而得到電壓指令，充分利用了直流側電壓；文獻[12-13]提出在牽引工況利用d 軸電流調節(jié)器，在制動工況利用q 軸電流調節(jié)器來調節(jié)電壓矢量角，并結合電壓幅值得到了電壓指令；文獻[14]提出無論是牽引還是制動工況均可以通過單q 軸電流調節(jié)器調節(jié)電壓矢量角，并結合電壓幅值得到了電壓指令。

上述文獻僅對基于單電流環(huán)控制策略的某一種方法進行了分析，并未對方波下不同控制策略之間的聯(lián)系與區(qū)別進行梳理總結。本文針對方波下只有電壓矢量角一個變量可供調節(jié)的現(xiàn)狀，通過分析不同變量之間的關系，可得方波工況下共有6 種基于單電流環(huán)的控制策略，而目前應用于方波工況下的單電流環(huán)控制策略屬于這6 種方法之一。通過建立小信號模型，對這6 種控制策略的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能進行對比分析。最后通過仿真和實驗驗證了理論分析的正確性。

1 方波下永磁電機的轉矩控制方法

當PMSM 運行在高速區(qū)時，定子電阻上的壓降可以忽略不計，在兩相同步旋轉坐標系下的穩(wěn)態(tài)電壓和轉矩方程為

式中：ud和uq為定子電壓的直軸和交軸分量；id和iq為定子電流的直軸和交軸分量；Ld和Lq為直軸和交軸電感；ωr為電機同步電角速度；ψr為電機轉子磁鏈；Te為電機的電磁轉矩；Np為電機的極對數(shù)。

軌道交通用永磁電機的控制目標為轉矩，在方波工況下電壓幅值達到最大值，即usmax=2Udc/π，Udc為直流側電壓，此時僅有電壓矢量角一個變量可供調節(jié)。為了證明可以通過調節(jié)電壓矢量角來控制轉矩，需要證明轉矩和電壓矢量角始終滿足一一對應關系。定義電壓矢量角θ 為電壓矢量與d 軸電壓的夾角，方波工況下的d、q 軸電壓分別表示為

結合式（1）～式（3），轉矩方程可以通過θ 表示為

基于電機參數(shù)，電機轉矩Te與電壓矢量角θ的關系曲線如圖1 所示。θ 的可調范圍在（0，π）內，在此范圍內θ 和轉矩始終滿足單調關系，即一一對應關系，因此可以通過調節(jié)θ 來控制轉矩。

圖1 轉矩與電壓矢量角的關系Fig.1 Relationship between torque and voltage vector angle

除了直接調節(jié)θ 之外，還可以通過調節(jié)d、q 軸電壓間接調節(jié)θ。但由于θ 與d、q 軸電壓并非線性關系，因此為了證明可以通過調節(jié)d、q 軸電壓來控制轉矩，需要證明轉矩和d、q 軸電壓同樣滿足一一對應關系。d、q 軸電壓用電壓幅值可以表示為

結合式（2）和式（5），轉矩方程可以表示為

基于電機參數(shù)，電機轉矩與d、q 軸電壓的關系曲線如圖2 所示。由圖2（a）可知，d 軸電壓ud始終和轉矩呈單調關系，即一一對應關系，因此可以通過調節(jié)ud來控制轉矩；圖2（b）中虛線代表制動工況，實線代表牽引工況。當牽引和制動工況下轉矩的絕對值相同時，uq雖然相同，但ud方向相反，故可以通過控制ud的正負來控制輸出轉矩的正負，即控制電機運行在牽引或制動工況。無論是牽引工況還是制動工況，uq與轉矩始終滿足單調關系，因此可以通過調節(jié)uq來控制轉矩。

圖2 轉矩與d、q 軸電壓的關系Fig.2 Relationship between torque and d/q-axis voltage

由上述分析可知，通過調節(jié)θ 和ud、uq可以控制轉矩。同時為了進一步提高轉矩的穩(wěn)態(tài)精度以及動態(tài)響應速度，需要加入電流閉環(huán)控制實現(xiàn)這幾個變量的自動調節(jié)。

2 基于單電流環(huán)的方波控制策略

為了避免雙電流調節(jié)器飽和的問題并獲得較好的動態(tài)性能，可以選擇單電流調節(jié)器對θ 和ud、uq這3 個變量閉環(huán)調節(jié)。電流調節(jié)器輸入可以為id和iq，輸出可以為θ 和ud、uq。為了進一步了解這6 種單電流調節(jié)器，需要對調節(jié)器輸入變量和輸出變量的關系進行分析。

結合式（1）和式（3），可得id、iq和θ 的導函數(shù)關系為

牽引工況和制動工況對應的θ 的范圍分別為：（π/2，π）和（0，π/2）。由式（8）可知，id和θ 在制動工況呈正相關，在牽引工況呈負相關；iq和θ 始終呈正相關。

結合式（1）和式（5），可得id、iq和ud、uq的導函數(shù)關系為

由式（9）～式（12）可知，id和ud在制動工況呈負相關，在牽引工況呈正相關；iq和ud始終呈負相關；id和uq軸電壓始終呈正相關；vq和uq在制動工況呈正相關，在牽引工況呈負相關。

通過分析上述不同變量之間的聯(lián)系，方波工況下共有6 種單電流環(huán)的控制策略，分別為：單d 軸電流調節(jié)器調節(jié)電壓矢量角SDCR-VVA（single daxis current regulator-variable voltage angle）、單d 軸電流調節(jié)器調節(jié)d 軸電壓SDCR-VDV（single d-axis current regulator-variable d-axis voltage）、單d 軸電流調節(jié)器調節(jié)q 軸電壓SDCR-VQV（single d-axis current regulator-variable q-axis voltage）、單q 軸電流調節(jié)器調節(jié)電壓矢量角SQCR-VVA（single q-axis current regulator-variable voltage angle）、單q 軸電流調節(jié)器調節(jié)d 軸電壓SQCR-VDV（single q-axis current regulator-variable d-axis voltage）、單q 軸電流調節(jié)器調節(jié)q 軸電壓SQCR-VQV（single q-axis current regulator-variable q-axis voltage）。電流指令計算環(huán)節(jié)框圖如圖3 所示，本文采用負直軸電流補償法計算電流指令。電壓指令計算環(huán)節(jié)框圖，即方波工況下的6 種單電流環(huán)控制策略框圖如圖4 所示。

圖3 電流指令計算框圖Fig.3 Block diagram of current command calculation

圖4 6 種單電流環(huán)控制策略框圖Fig.4 Block diagram of six single-current loop control strategies

3 穩(wěn)定性及動態(tài)性能分析

建立小信號模型，對這6 種單電流環(huán)控制策略方法的穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能進行分析比較。限于篇幅，僅以SQCR-VDV 的控制策略為例進行分析。

3.1 控制策略的小信號建模

SQCR-VDV 控制策略的小信號模型框圖如圖5 所示。

圖5 SQCR-VDV 小信號模型框圖Fig.5 Block diagram of small-signal model of SQCR-VDV

小信號模型對應的傳遞函數(shù)G（s）為

式中：Δiq和分別為q 軸電流的實際值和指令值的變化量；a0、a1、a2、a3、b0、b1、b2為系數(shù)，其表達式分別為

小信號框圖中，參數(shù)ku為q 軸電壓變化量Δuq和d 軸電壓變化量Δud的比值，即

通過勞斯判據(jù)對其穩(wěn)定性進行分析。滿足勞斯判據(jù)的參數(shù)關系有2 組，表示為

這兩組解所對應的ku的范圍以及調節(jié)器參數(shù)范圍均不同，說明在這兩組解對應的工況中需要分別選取合適的調節(jié)器參數(shù)才能實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

3.2 穩(wěn)定性分析

基于電機參數(shù)，選取合適的調節(jié)器參數(shù)對其穩(wěn)態(tài)性能進行測試。測試工況為：輕載±0.1Trate、中載±0.5Trate、重載±0.8Trate，電機頻率范圍為50～65 Hz，極點分布情況如圖6 所示。由圖可知，在任何工況下系統(tǒng)極點均在左半平面，說明該方法具有全局穩(wěn)定性。

圖6 SQCR-VDV 不同工況極點分布Fig.6 Distribution of poles under different working conditions of SQCR-VDV

3.3 動態(tài)性能分析

為了提升系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，需要選取合適的調節(jié)器參數(shù)。測試工況設置為電機轉矩為15 N?m，電機頻率為65 Hz，不同PI 參數(shù)對系統(tǒng)極點的影響如圖7 所示，圖中，參數(shù)kp的變化范圍為0.1～0.5，箭頭方向代表kp增大方向。由圖7 可見，kp相比于參數(shù)ki對系統(tǒng)極點的影響較小，可以忽略，因此主要分析ki對系統(tǒng)極點的影響。在牽引工況，隨著ki的增大，共軛極點向虛軸靠近，實軸極點遠離虛軸；在制動工況，隨著ki的增大，共軛極點向虛軸靠近，實軸極點遠離虛軸。無論是牽引工況還是制動工況，隨著ki增大，系統(tǒng)都將出現(xiàn)超調和振蕩現(xiàn)象。

圖7 PI 參數(shù)對系統(tǒng)極點分布的影響Fig.7 Influences of PI parameters on the distribution of system poles

固定kp為0.5，選取不同的ki對系統(tǒng)做階躍響應測試，結果如圖8 所示。隨著ki的增大，動態(tài)響應速度有所提升，但當ki選取過大時，系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)超調和振蕩，因此ki不能選取過大，可選取kp=0.5、ki=2 000。

圖8 不同PI 參數(shù)下的階躍響應測試結果（kp=0.5）Fig.8 Step response test results under different PI parameters（kp=0.5）

3.4 6 種控制策略的比較

通過對比勞斯判據(jù)結果與文獻[15]推導的有限轉速系統(tǒng)電機有效弱磁區(qū)域，從是否需要切換調節(jié)器參數(shù)的角度比較這6 種方法，結果示意如圖9 所示。圖中，陰影部分對應的曲線ABDC 為有效弱磁區(qū)域，圓上實線與虛線分別為勞斯判據(jù)兩組解對應的ku的范圍，可見，SQCR-VDV 和SQCR-VVA 這2種方法僅使用1 組調節(jié)器參數(shù)即可實現(xiàn)全弱磁區(qū)域的穩(wěn)定運行，而其他4 種方法在使用1 組調節(jié)器參數(shù)的條件下均無法實現(xiàn)全弱磁區(qū)域的穩(wěn)定運行。

圖9 6 種控制策略的比較結果Fig.9 Comparison results among six control strategies

4 仿真與實驗結果

本文的仿真和實驗采用的電機參數(shù)如表1 所示。

表1 仿真與實驗所用電機參數(shù)Tab.1 Motor parameters in simulation and experiment

4.1 仿真結果

仿真工況設置為：電機頻率65 Hz，轉矩在7 s時由25 N?m 切換到-25 N?m，且在整個運行過程中每種控制策略僅采用1 組調節(jié)器參數(shù)。6 種控制策略穩(wěn)態(tài)性能比較的仿真結果如圖10 所示，圖中Flgwk為弱磁標志位，其值為100 時為弱磁控制。由圖可見，SQCR-VVA 和SQCR-VDV 這2 種控制策略在整個切換過程中電流和轉矩均能穩(wěn)定跟隨，即可以在不改變調節(jié)器方向的情況下實現(xiàn)方波控制；SDCR-VQV 在制動輕載工況會存在電流和轉矩不能穩(wěn)定跟隨的現(xiàn)象，而其他3 種方法在進入制動工況后會存在電流和轉矩不能穩(wěn)定跟隨的現(xiàn)象，即這4 種方法在僅使用1 組調節(jié)器參數(shù)的條件下均存在不穩(wěn)定區(qū)域。仿真結果與圖9 所示的理論分析結果一致，驗證了理論分析的準確性。

圖10 穩(wěn)態(tài)性能比較的仿真結果Fig.10 Simulation results of steady-state performance comparison

仿真工況設置為：電機頻率為65 Hz，在4 s 時轉矩由10 N?m 階躍至15N?m。6 種控制策略動態(tài)性能比較的仿真結果如圖11 所示。由圖可見，相較于其他5 種方法，無論是牽引工況還是制動工況，SQCR-VDV 都具有較優(yōu)的動態(tài)響應速度，動態(tài)響應時間大約為30 ms。

圖11 動態(tài)性能比較的仿真結果Fig.11 Simulation results of dynamic performance comparison

4.2 實驗結果

為了驗證上述理論分析和仿真結果的準確性，搭建如圖12 所示的永磁同步電機對拖實驗平臺，實驗電機參數(shù)見表1。

圖12 實驗平臺Fig.12 Experimental platform

實驗工況與仿真工況一致，6 種控制策略穩(wěn)態(tài)性能比較的實驗結果如圖13 所示。由實驗結果可知，SQCR-VVA 和SQCR-VDV 這2 種控制策略可以在不改變調節(jié)器方向的情況下實現(xiàn)方波控制，SDCR-VQV 在制動輕載工況會存在電流和轉矩不能穩(wěn)定跟隨的現(xiàn)象，而其他3 種方法在進入制動工況后會存在電流和轉矩不能穩(wěn)定跟隨的現(xiàn)象，即這4 種控制策略在僅使用1 組調節(jié)器參數(shù)的條件下均存在不穩(wěn)定區(qū)域。實驗結果與仿真結果基本一致，進一步證明了理論分析的準確性。

圖13 穩(wěn)態(tài)性能比較的實驗結果Fig.13 Experiment results of steady-state performance comparison

圖14 為SQCR-VDV 控制策略下電機頻率為65 Hz，轉矩為15 N?m 工況時電機穩(wěn)定運行的結果。實驗工況與仿真工況一致，6 種控制策略動態(tài)性能比較的實驗結果如圖15 所示，實驗結果與仿真結果基本一致，相較于其他5 種方法，SQCRVDV 控制策略具有較優(yōu)的動態(tài)性能。

圖14 SQCR-VDV 的穩(wěn)態(tài)波形Fig.14 Steady-state waveforms of SQCR-VDV

圖15 動態(tài)性能比較的實驗結果Fig.15 Experimental results of dynamic performance comparison

5 結語

本文通過推導轉矩和電流與電壓矢量角和d、q 軸電壓的關系，可知方波工況下共有6 種單電流環(huán)的控制策略。通過建立小信號模型對這6 種控制策略的穩(wěn)態(tài)性能比較可知，SQCR-VVA 和SQCRVDV 這兩種控制策略僅使用1 組調節(jié)器參數(shù)便能實現(xiàn)全弱磁區(qū)域的穩(wěn)定控制；對這6 種控制策略的動態(tài)性能比較可知，SQCR-VDV 這種方法具有最優(yōu)的動態(tài)性能。最后通過仿真和實驗驗證了上述分析的準確性。