由一道課本練習(xí)題引發(fā)的多角度探究

賀鳳梅

(新疆伊犁州鞏留縣高級(jí)中學(xué) 835400)

一、問(wèn)題展示

人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第72頁(yè)練習(xí)第題：過(guò)點(diǎn)M(2，0)作斜率為1的直線l，交拋物線y2=4x于A、B兩點(diǎn)，求|AB|.

二、總體分析

三、試題解答

1.利用兩點(diǎn)間的距離公式求解

分析這種解法的的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與拋物線的方程組成的方程組，求出方程組的公共解，即得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入兩點(diǎn)間的距離公式求解，便可以得出弦長(zhǎng).

由兩點(diǎn)間的距離公式得

整理得y2-4y-8=0,

評(píng)注解法1和解法2的解題啟示是：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)直線的特點(diǎn)，可以靈活選擇消去或消去,當(dāng)然是以方便求解為原則.這種方法學(xué)生比較容易想到，通過(guò)此種求解過(guò)程，可以鍛煉和提高學(xué)生的計(jì)算能力.

2.利用弦長(zhǎng)公式求解

分析這種解法的的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與拋物線的方程組成的方程組，消去x或者消去y，由根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和以及兩根之積，代入相應(yīng)的弦長(zhǎng)公式，便可以求出弦長(zhǎng).

解法3由解法1，有x2-8x+4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=8,x1x2=4,直線斜率k=1,再代入弦長(zhǎng)公式

由直線y=x-2方程變形得x=y+2,

代入拋物線y2=4x方程，消去x，得

y2=4(y+2),

整理得y2-4y-8=0,

可知y1、y2是以上關(guān)于y的方程的產(chǎn)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=4,y1y2=-8,

代入對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)公式

評(píng)注解法3和解法4比較而言，學(xué)生比較容易想到的是解法3，如果選擇使用弦長(zhǎng)公式求解，需要給學(xué)生講清楚的是聯(lián)立方程得到的方程組消元時(shí)，同樣需要根據(jù)直線方程的特點(diǎn)，以方便求解為前提條件.

3.構(gòu)造直角三角形，由邊角關(guān)系求解

分析這種解法的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件，數(shù)形結(jié)合，找到直線與拋物線兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo))、弦長(zhǎng)以及直線傾斜角之間的聯(lián)系，在所構(gòu)造的直角三角形中求解完成.

由解法4得

4.利用直線的參數(shù)方程求解

分析這種求解方法的關(guān)鍵是利用直線參數(shù)方程的幾何意義，當(dāng)直線參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，將直線的參數(shù)方程中的x和y代入拋物線方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，借助根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)，以及|AB|=|t1-t2|，可順利求解完成解答.

設(shè)A、B兩點(diǎn)的參數(shù)分別為t1、t2，由參數(shù)的幾何意義得

評(píng)注用此法求弦長(zhǎng)時(shí)，一定要明確直線參數(shù)方程中是否具有幾何意義.若具有幾何意義,可直接求解;若不具有幾何意義，一定要進(jìn)行變形，求出具有幾何意義的直線參數(shù)方程，方可求解.

變式將直線l所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)改為(1,0),即經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，這道題就是人教A版選修2-1課本第69頁(yè)的例4.

現(xiàn)作為解法8和解法9簡(jiǎn)述如下：

5.利用拋物線的定義求解

分析此解法的關(guān)鍵是直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，轉(zhuǎn)化求解即可完成.

|AB|=|AF|+|BF|=dA+dB

=x1+x2+p=x1+x2+2

直線方程為y=x-1,

x2-6x+1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=6,

于是|AB|=x1+x2+2=6+2=8.

評(píng)注此法只要求出兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)之和x1+x2，就可以求出弦長(zhǎng)|AB|.

6.利用拋物線的焦點(diǎn)弦求解

解法9由于直線經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，所以可以由拋物線的焦點(diǎn)弦公式求解.

代入拋物線方程中y2=4x，

化簡(jiǎn)并整理得

由弦長(zhǎng)公式

因此，利用焦點(diǎn)弦公式求得

評(píng)注此解法在高三總復(fù)習(xí)的一些參考資料上出現(xiàn)過(guò)，原則上這種方法做解答題時(shí)需要證明結(jié)論的正確性才可以使用.不過(guò)做選擇題或填空題還是比較方便和快捷的.

四、解后反思

這道練習(xí)題和相關(guān)聯(lián)的例題是一道容易題，但卻是一道好題.它蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，以及化歸轉(zhuǎn)化等方法.在平常的解題中，要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，多角度多方位進(jìn)行思考，從而獲取不同的解法.在平時(shí)的解題教學(xué)中，一定要跳出定勢(shì)思維的束縛，提倡一題多解，可以從代數(shù)方面進(jìn)行思考和突破，也可以從幾何方面入手，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.當(dāng)然，一定要引導(dǎo)學(xué)生重視教材，培養(yǎng)學(xué)生研究教材的興趣，讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到教材的重要性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,還能達(dá)到觸類旁通、舉一反三的效果.