電場中圖象問題的求解方法

成金德

(浙江省義烏市第二中學 322000)

帶電粒子在電場中運動的圖象問題是一類常見問題，此類問題涉及六種題型，即：(1)速度隨時間變化的v-t圖象；(2)電場強度隨位置變化的E-x圖象；(3)電勢隨位置變化的φ-x圖象；(4)電勢能隨位置變化的Ep-x圖象；(5)動能隨位置變化的Ek-x圖象；(6)受到的力F隨位置變化的F-x圖象.解答此類問題，不僅要善于應用相應的電場知識和力學規(guī)律，更重要的是弄懂圖象的物理意義，包括圖線上的點、斜率和圖線與坐標軸圍成的面積.下面就此問題作些探討.

一、涉及v-t圖象的問題

例1兩個等量同種電荷固定在光滑水平面上，其連線所在水平面的中垂線上有A、B、C三點，如圖1所示，一個電荷量為q=2.0 C、質量為m=1.0 kg的小球從C點靜止釋放，其運動的v-t圖象如圖2所示，其中B點處為整條圖線切線斜率最大的位置(圖中已標出了該切線)．則下列說法正確的是( ).

A.B點為中垂線上電場強度最大的點，場強E=1.0V/m

B.由C點到A點的過程中，由于B點的斜率最大，則小球的電勢能先減小后增大

C.由C點到A點的過程中，電場的電勢逐漸升高

D.AB兩點間的電勢差UAB=-5 V

點評求出B點的圖線斜率是解決本題的核心.求出了斜率，就知道了加速度，再利用牛頓第二定律就可以求出電場強度E.

二、涉及E-x圖象的問題

帶電粒子在已知E-x圖象的電場中運動時，除了從圖象上可以直接知道電場強度、電勢的變化外，更為重要的是可以利用圖象的面積，即由圖線與x軸圍成的“面積”，此面積的大小表示電勢差的大小，也就是UAB=E·x.

例2一光滑絕緣細直長桿處于靜電場中，沿細桿建立坐標軸x，以x=0處的O點為電勢零點，如圖3所示.細桿各處電場方向沿x軸正方向，其電場強度E隨x的分布如圖4所示.細桿上套有可視為質點的帶電環(huán)，質量為m=0.2 kg，電荷量為q=-2.0×10-6C.帶電環(huán)受沿x軸正向的恒力F=1.0 N的作用，由O點從靜止開始運動，求：

(1)帶電環(huán)在x=1 m處的加速度；

(2)帶電環(huán)在x=1 m處的速度；

(3)在帶電環(huán)運動的區(qū)間內(nèi)的電勢最低值.

分析(1)當帶電環(huán)運動至x=1 m處，從圖中看出此處電場的電場強度為E=3×105N/C，則帶電環(huán)受到的電場力為：

FE=qE=2.0×10-6×3×105=0.6 N

對帶電環(huán)應用牛頓第二定律得：F-FE=ma

(2)帶電環(huán)從x=0處運動到x=1m處的過程中，恒力F做正功，電場力FE做負功.在E-x圖象上，由于圖線和坐標軸圍成的面積與x=0和x=1m處兩點間的電勢差在數(shù)值上相等，則：

(3)在電場中，沿電場線方向就是電勢降低的方向.當帶電環(huán)沿x軸正方向運動到最遠處時(即速度等于零處)，電場的電勢最低.設帶電環(huán)運動過距離x后，根據(jù)動能定理得：

Fx-qU0x=0

解得x=6 m

從E-x圖象上可知：

因此，在帶電環(huán)運動區(qū)間內(nèi)的電勢最低值為φmin=-3×106V

點評：由于帶電環(huán)在非勻強電場中做非勻變速運動，要求得帶電環(huán)在x=1 m處的速度，必須應用動能定理，而應用動能定理求解速度時，關鍵在于求解電場x=0與x=1 m間的電勢差，為此，本題必須利用E-x圖象中圖線和坐標軸圍成的面積在數(shù)值上即為電勢差的知識點.

三、涉及φ-x圖象的問題

例3靜電場方向平行于x軸，其電勢φ隨x的分布如圖5所示，圖中φ0和d為已知量．一個帶負電的粒子在電場中以x=0為中心，沿x軸方向做周期性運動．已知該粒子質量為m、電量為-q，其動能與電勢能之和為-A(0

(1)粒子所受電場力的大?。?/p>

(2)粒子的運動區(qū)間；

(3)粒子從左側最遠點運動到中心點O處的時間．

分析(1)從圖中讀得電場中O與d(或-d)兩點間的電勢差為φ0，由于φ-x圖象中圖線的斜率就是電場的電場強度E，即：

(2)設粒子在[-x，x]區(qū)間內(nèi)運動，粒子的速率為v，根據(jù)題意可知：

可見，粒子在電場中運動的區(qū)間為：

(3)由于左側電場是勻強電場，粒子從-x0處開始運動至O點的過程中，粒子做勻加速運動，則由牛頓第二定律得：

考慮到粒子在O點右側勻強電場中做勻變速運動，所以，粒子是在O點的左右兩做往復運動.因此，粒子從左側最遠端運動到O點所用的時間可能為：

點評求得本題中φ-x圖象中圖線的斜率是解題的基礎，如果這一點沒有把握，求解此題一定是死路一條.在求得φ-x圖象中的圖線斜率，即知道電場的電場強度后，即可將抽象的圖象問題轉化為比較熟悉的勻強電場模型來解決.

四、涉及EP-x圖象的問題

例4一帶負電的粒子只在電場力作用下沿x軸正方向運動，其電勢能Ep隨位移x變化的關系如圖6所示，其中O～x2段是關于直線x=x1對稱的曲線，x2～x3段是直線，則下列說法正確的是( ).

A.x1處電場強度最小，但不為零

B.粒子在O～x2段做勻變速運動，x2～x3段做勻速直線運動

C.在O、x1、x2、x3處的電勢φ0、φ1、φ2、φ3的關系為φ3>φ2=φ0>φ1

D.x2～x3段的電場強度大小方向均不變

點評解決此題的關鍵就在于利用好圖線的斜率，由圖線的斜率變化情況，確定電場強度的變化情況，再利用電場的相關公式求解.

五、涉及Ek-x圖象的問題

例5如圖7所示，距光滑絕緣水平面高h=0.3m的A點處有一固定的點電荷Q．帶電量為q=1×10-6C.質量為m=0.05kg的小物塊在恒定水平外力F=0.5N的作用下，從Q左側的O點處由靜止開始沿水平面運動．已知初始時O與A的水平距離為0.7m，物塊動能Ek隨位移x的變化曲線如圖8所示.靜電力常量K=9.0×109N·m2/C2．

(1)估算點電荷Q的電量；

(2)求小物塊從O點到x1=0.50 m處的過程中其電勢能的變化量；

(3)求小物塊運動到x2=1.00 m處時的動能.

分析(1)由動能定理可知Ek-x圖象的斜率等于小物塊受到的合外力.由圖8可知，當x=0.35m時，小物塊受到的合外力為零，即小物塊受到電場力在水平方向的分力與水平外力F大小相等，即：

代入已知數(shù)據(jù)：xOA=0.7m，x=0.35m，q=1×10-6C，F(xiàn)=0.5N，

解得：Q=1.55×10-5C

(2)設小物塊從O點運動到x1處的過程中電場力做功為W1，根據(jù)動能定理得：

Fx1+W1=Ek1

代入數(shù)據(jù)解得：W1=-0.17 J

由電場力做功與電勢能的變化之間的關系可知：ΔEP=-W1=0.17 J

(3)根據(jù)點電荷產(chǎn)生的電場的特點，可知電場中x2=1.00 m處與x3=0.40 m處電勢相等.

設小物塊從O點到x3處的運動過程中電場力做功為W2，由動能定理得：

Fx3+W2=Ek3

代入數(shù)據(jù)解得：W2=-0.1 J

小物塊從O點到x2處的過程中，F(xiàn)x2+W2=Ek2

代入數(shù)據(jù)解得：Ek2=0.4 J

點評：此題的解題關鍵在于能否抓住圖象Ek-x的圖線斜率在數(shù)值上等于小物塊受到的合外力這個核心.特別是當x=0.35 m時，圖線的斜率等于零，即小物塊受到的合外力為零，由此可知小物塊受到電場力在水平方向的分力與水平外力F大小相等，這樣就找到了解題的突破口，再結合相關的物理規(guī)律，就會順利解決問題.

六、涉及F-x圖象的問題

帶電粒子在電場中運動時，如果給出帶電粒子所受到的力F與位移x間關系的圖象，即F-x圖象.如果F是電場力，則圖線的面積在數(shù)值上等于電場力所做的功，即W=Fx.

例6(2016年上海)如圖9所示，長度L=0.8m的光滑桿左端固定一帶正電的點電荷A，其電荷量Q=1.8×10-7C；一質量m=0.02kg，帶電量為q的小球B套在桿上.將桿沿水平方向固定于某非均勻外電場中，以桿左端為原點，沿桿向右為x軸正方向建立坐標系.點電荷A對小球B的作用力隨B位置x的變化關系如圖10中曲線Ⅰ所示，小球B所受水平方向的合力隨B位置x的變化關系如圖10中曲線Ⅱ所示，其中曲線Ⅱ在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范圍可近似看作直線.求：(靜電力常量k=9×109N·m2/C2)

(1)小球B所帶電量q；

(2)非均勻外電場在x=0.3 m處沿細桿方向的電場強度大小E；

(3)在合電場中，x=0.4 m與x=0.6 m之間的電勢差U；

(4)已知小球在x=0.2 m處獲得v=0.4m/s的初速度時，最遠可以運動到x=0.4m.若小球在x=0.16m處受到方向向右，大小為0.04N的恒力作用后，由靜止開始運動，為使小球能離開細桿，恒力作用的最小距離x是多少？

代入數(shù)據(jù)解得點電荷A的電量為：

(2)設在x=0.3 m處點電荷A與小球B間的作用力為F2，則有：F合=F2+qE

(3)由圖10可知，在x=0.4 m與x=0.6 m之間合電場對小球B做功的大小數(shù)值上等于圖線與坐標軸所圍成的面積，即：

W合=0.004×0.2 J=8×10-4J

(4)由圖10可知小球B從x=0.16m到x=0.2m處合電場做的功W1在數(shù)值上等于圖線和坐標軸所圍成的面積，即：

小球B從x=0.2m到x=0.4m處合電場做的功W2，由動能定理得：

由圖10可知小球從x=0.4m到x=0.8m處合電場做的功W3，此功在數(shù)值上等于圖線與坐標軸所圍成的面積，即：

W3=-0.004×0.4J=-1.6×10-3J

則小球B由靜止開始運動，為使它能離開細桿，設恒力作用的最小距離為x，由動能定理得：

W1+W2+W3+F外x=0

點評：此題中，在x=0.16m到x=0.2m間，在x=0.4m與x=0.6m間，在x=0.4m到x=0.8m間等三個過程中，必須抓住圖線與坐標軸所圍成的面積在數(shù)值上等于合電場對小球B所做的功這個關鍵要點，利用了圖象的“面積”含義，才能使問題得到順利解答.

總之，我們在分析電場中的圖象問題時，既要熟練應用有關電場的基本知識，又要注意分析圖象的特點，特別要明確圖象中圖線斜率、圖線在坐標軸上的截距及由圖線和坐標軸圍成的面積的意義，同時要注意熟練應用力學規(guī)律，只有這樣，才能找到圖象的數(shù)學表達式或者有關物理量間的關系，從而有效地解決電場中的圖象問題.