一個平拋問題的兩種解法

王偉民 李 玉

(安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學校 236652)

例1 (2019安徽江淮十校三模)如圖1所示，長木板AB傾斜放置，板面與水平方向的夾角為θ，在板的A端正上方P點處，以大小為v0的水平初速度向右拋出一個小球，結果小球恰好能垂直打在板面上；現(xiàn)讓板繞A順時針轉過一個角度到圖中的虛線位置，要讓球從P點水平拋出后仍能垂直打在板面上，則拋出的水平速度v(不計空氣阻力)

A.一定大于v0B.一定小于v0

C.可能等于v0D.大于v0、小于v0、等于v0都有可能

這是一道跟平拋運動有關的運動學題目，我們采用不同的方法對該題目涉及的問題進行求解判斷.

一、解析法

以給定初速度v0水平拋出的小球，其運動軌跡拋物線與木板所在的直線相交，滿足交點處拋物線的切線與木板所在的直線垂直條件下，如果能夠確定木板與水平面的夾角θ跟小球初速度v0間的關系式，那么，根據(jù)函數(shù)關系式即可確定函數(shù)的增減性，進而可以確定問題的答案.

由該關系式可知：v0↑→a↓→θ↑，這就是說，滿足小球垂直打在木板上這一條件時，木板與水平面的夾角隨著小球水平初速度的增大而增大.所以，本題的正確選項是B.

二、圖像法

解析設小球運動軌跡拋物線與木板的交點為N，將對稱軸左側的拋物線補充完整，并作輔助圓——與拋物線兩側都相切，并且右側切點為N點的圓，如圖3所示，顯然，該輔助圓的大小和圓心位置是唯一確定的，并且輔助圓的圓心在拋物線的對稱軸上.依題意可知，小球垂直打在板面上的點即為圖3中以A為圓心并且與拋物線相切的圓跟拋物線右邊的切點位置.

在木板AB與水平面AC的夾角∠BAC內作任意射線AD，交拋物線于G，如圖4所示，過G作拋物線的切線EF，易知，∠DGF為銳角(因為在拋物線內部與拋物線兩邊都相切，并且右側切點在G點的圓的圓心一點在A的下方.設∠DGF的度數(shù)為α)，如果以P為頂點作出開口向下的很多拋物線的話，跟圖4所示情形拋物線相比，開口更大的拋物線在其與射線AD交點處的切線與AD所夾的銳角比α小，開口更小的拋物線在其與射線AD交點處的切線與AD所夾的銳角比α大，當開口小到一定程度時，可使拋物線在其與與AD交點處的切線與AD垂直，而小球的水平初速度越小，其運動軌跡拋物線的開口越小，所以，例題1的選項應該是選項B.

能夠發(fā)現(xiàn)，解法一是根據(jù)函數(shù)解析式作為條件，之后進行邏輯推導而得出結論的，這種解法推理嚴謹?shù)忸}過程冗長，適合于需要體現(xiàn)解題過程的題目的解答；解法二通過增添輔助圓的方法，根據(jù)圖形的形狀特點進行判斷，過程簡潔但不十分的嚴謹，適合于不需要體現(xiàn)解題過程的題目的解答，如選擇題，填空題，判斷題目等.例題1是選擇題目，所以，兩種方法相比，解法二應該是相對比較合適的方法.