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    分類討論思想面面觀

    2021-08-05 09:23:34
    數(shù)理化解題研究 2021年19期
    關(guān)鍵詞:通項(xiàng)最值單調(diào)

    楊 陽

    (安徽省定遠(yuǎn)中學(xué) 233200)

    分類討論是解決問題的一種基本邏輯與方法,更是一種數(shù)學(xué)思想,方便研究對(duì)象,合理發(fā)展人的思維.特別地,分類討論思想在高考數(shù)學(xué)命題中占有非常重要的位置,在數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)中存在大量分類討論的相關(guān)問題.分類討論思想的考查是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題之一.

    一、函數(shù)中的分類討論思想

    有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性.特別對(duì)于函數(shù)問題中,情形比較多或不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),則應(yīng)分類進(jìn)行研究,分類時(shí)要做到不重不漏.

    A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0)

    分析結(jié)合分段函數(shù)中的條件進(jìn)行分類討論,結(jié)合相應(yīng)的不等式加以轉(zhuǎn)化,確定自變量x的取值范圍.

    解析當(dāng)x+1≤0,即2x≤-2時(shí),函數(shù)f(x)=2-x是減函數(shù),由f(x+1)2x,解得x<1,故x≤-1;

    當(dāng)0

    當(dāng)x≥0時(shí),此時(shí)不等式f(x+1)

    綜上分析,可知x<0,故選D.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查分段函數(shù),函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用,考查分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想等.

    二、數(shù)列中的分類討論思想

    在數(shù)列中,涉及數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中q=1與q≠1的區(qū)別,結(jié)合項(xiàng)數(shù)n的奇偶情況、整除性情況等進(jìn)行分類討論,結(jié)合不同情況下對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和等加以應(yīng)用.

    例2已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則( ).

    A.a1a3,a2

    C.a1a4D.a1>a3,a2>a4

    分析根據(jù)等比數(shù)列中“奇數(shù)項(xiàng)(或偶數(shù)項(xiàng))符號(hào)相同”的性質(zhì),結(jié)合條件中首項(xiàng)為正,通過公比的不同取值情況加以分類討論,結(jié)合條件中的關(guān)系式成立,加以合理排除與驗(yàn)證.

    解析根據(jù)等比數(shù)列“奇數(shù)項(xiàng)(或偶數(shù)項(xiàng))符號(hào)相同”的性質(zhì),由a1>1,設(shè)等比數(shù)列的公比為q,當(dāng)q>0時(shí),由等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)可知a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3,顯然條件a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立,則知a1a3,a2>a4不成立,排除選項(xiàng)A,D;

    當(dāng)q=-1時(shí),a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)>0,顯然a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立,故q≠-1;

    當(dāng)q<-1時(shí),a1+a2+a3+a4<0,ln(a1+a2+a3)>0,顯然a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立;

    當(dāng)-1a3>0,a2

    綜上,得a1>a3,a2

    點(diǎn)評(píng)在解決數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和時(shí),一定要結(jié)合相關(guān)的規(guī)律、參數(shù)值的不同取值等情況,結(jié)合題目條件加以分類討論,確定不同情況下對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其相關(guān)的應(yīng)用等.

    三、圓錐曲線中的分類討論思想

    圓錐曲線中許多問題都涉及到分類討論,如位置關(guān)系的討論、軌跡方程中軌跡類型的確定、最值問題、參數(shù)范圍問題等都可能遇到因變量范圍不同而結(jié)果就不同的情況,因而要對(duì)位置關(guān)系或變量進(jìn)行必要的討論,才能確定最后的結(jié)果.

    分析在設(shè)直線方程時(shí),要結(jié)合直線的斜率是否存在加以討論,在直線斜率存在的條件下,設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,通過函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化,結(jié)合向量關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,借助基本不等式來確定最值即可.

    綜上分析,當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值取得最大值為2時(shí),m=5,故填答案5.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查橢圓的方程及其幾何性質(zhì),平面向量,討論思想與數(shù)形結(jié)合思想.對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中,如果涉及直線方程的設(shè)置,一定要分析直線斜率的存在性問題,否則容易遺漏其中直線斜率不存在的情況而導(dǎo)致錯(cuò)誤;涉及圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,一定要分析對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)與其方程之間的關(guān)系等.

    四、導(dǎo)數(shù)中的分類討論思想

    在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問題中,分類討論主要用來求解單調(diào)區(qū)間、參數(shù)范圍、極值、最值以及恒成立問題等.通過分類討論,針對(duì)相應(yīng)的參數(shù)問題,解決對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)問題.

    例4若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為____.

    分析通過求導(dǎo),結(jié)合參數(shù)a的不同情況進(jìn)行分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)應(yīng)的最值問題,進(jìn)而確定函數(shù)在給定區(qū)間的最大值與最小值的和問題.

    解析由f(x)=2x3-ax2+1,可得f′(x)=6x2-2ax.當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而f(0)=1>0,故f(x)在(0,+∞)內(nèi)沒有零點(diǎn);

    x-1(-1,0)0(0,1)1f′(x)+0-0f(x)-4↗極大↘0

    從上表可知,在[-1,1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-1)=-4,所以f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為f(x)max+f(x)min=1-4=-3.

    點(diǎn)評(píng)在利用導(dǎo)數(shù)求含字母的函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最值時(shí),一般都要涉及到對(duì)字母的討論,而反過來用函數(shù)在某已知區(qū)間上的單調(diào)性來求字母的取值范圍時(shí),也通常會(huì)蘊(yùn)涵分類討論這一思想,這也是高考熱點(diǎn)內(nèi)容.

    當(dāng)對(duì)應(yīng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一分析與研究時(shí),可以借助研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理分類,對(duì)每一類別分別分析得出結(jié)論,最后綜合各類別的結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.分類討論思想的基本策略實(shí)質(zhì)上就是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”.

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