“大概念”統(tǒng)攝下的數(shù)學(xué)教學(xué)

黃興民

[摘? 要] 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“大概念”位于“數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中心”，蘊(yùn)含著核心知識(shí)概念、數(shù)學(xué)方法模型和數(shù)學(xué)學(xué)科大圖景。運(yùn)用大概念能建構(gòu)知識(shí)框架，能厘清學(xué)習(xí)脈絡(luò)，能確定主題內(nèi)容。作為教師，要以大概念為抓手、以大概念為錨點(diǎn)、以大概念為經(jīng)絡(luò)，聚焦學(xué)生學(xué)習(xí)方向，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)路徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)梳理。通過大概念學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的高階思維，催生學(xué)生的高階認(rèn)知。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);“大概念”統(tǒng)攝;統(tǒng)攝教學(xué)

所謂“大概念”，是指“在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮核心作用、起統(tǒng)攝效能的概念”?！按蟾拍睢钡挠⑽氖恰癇ig Idea”，它不是指數(shù)量寬廣，而是指“核心”“關(guān)鍵”?！按蟾拍睢边@一術(shù)語是由英國科學(xué)教育家溫·哈倫在《以大概念理念進(jìn)行科學(xué)教育》一書中首次提出。目前，大概念已經(jīng)超越了科學(xué)教育邊界，成為一種具有學(xué)科教學(xué)普遍意義的重要概念。一般來說，大概念往往概括知識(shí)的抽象意義，蘊(yùn)含著知識(shí)的重要思想方法，能促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成、生長和生發(fā)。作為教師，要立足于大視野，運(yùn)用大融合、大協(xié)調(diào)的策略，提煉、抽象、應(yīng)用大概念，讓大概念進(jìn)行大聚焦、大統(tǒng)整，從而發(fā)揮出大概念的應(yīng)有效能。

一、運(yùn)用“大概念”可以做什么

運(yùn)用數(shù)學(xué)大概念，我們要思考和實(shí)踐好兩個(gè)問題：其一是運(yùn)用大概念可以“做什么”？其二是“怎樣用”大概念？大概念教學(xué)往往是主題化的，能建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，能確定教學(xué)主線、脈絡(luò)，確定主題教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容等。大概念具有邏輯結(jié)構(gòu)性、情境遷移性和延續(xù)持久性等的特質(zhì)。作為教師，要充分運(yùn)用大概念，進(jìn)行整體性教學(xué)、結(jié)構(gòu)性教學(xué)、系統(tǒng)性教學(xué)等。

1. 用“大概念”建構(gòu)知識(shí)框架

數(shù)學(xué)知識(shí)從整體上看就是一種結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該用大概念來建構(gòu)知識(shí)框架。搭建知識(shí)框架，一般有兩種意義、功能和作用，其一是解釋性的功能框架，其二是應(yīng)用性的功能框架。在整體性的知識(shí)框架中，大概念往往位于中心、核心、關(guān)鍵、節(jié)點(diǎn)之處。教學(xué)中，教師要立足于學(xué)科整體高度，研發(fā)大概念，讓學(xué)生通過大概念能自主地搭建知識(shí)框架。比如，用“相同計(jì)數(shù)單位”這一大概念，能統(tǒng)合“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”和“分?jǐn)?shù)加減法”等相關(guān)內(nèi)容，從而建構(gòu)“數(shù)的加減法”的知識(shí)框架，將“整數(shù)加減法法則”“小數(shù)加減法法則”和“分?jǐn)?shù)加減法法則”融合其中。

2. 用“大概念”厘清學(xué)習(xí)脈絡(luò)

在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，教師可以用大概念來確定學(xué)習(xí)脈絡(luò)、主線等，從而有效地引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，有些大概念應(yīng)當(dāng)貫穿板塊學(xué)科知識(shí)的始終。比如“底面周長乘高”這一組合性的關(guān)系大概念應(yīng)當(dāng)貫穿于直柱體側(cè)面積學(xué)習(xí)的始終;“底面積乘高”應(yīng)當(dāng)貫穿于直柱體體積學(xué)習(xí)的始終;比如“計(jì)數(shù)單位”這一大概念應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)的認(rèn)識(shí)（包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)）的學(xué)習(xí)始終，等等。在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，大概念往往發(fā)揮著支撐性、紐帶性、橋梁性的作用。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)大概念進(jìn)行意義賦予、意義豐盈，從而能讓大概念廣泛應(yīng)用于相關(guān)內(nèi)容的領(lǐng)域。

3. 用“大概念”確定主題內(nèi)容

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還可以應(yīng)用大概念進(jìn)行主題教學(xué)，從而進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的開發(fā)。一般來說，大概念更適合于單元教學(xué)設(shè)計(jì)或者跨單元、跨級(jí)教學(xué)設(shè)計(jì)。有時(shí)候，大概念既能統(tǒng)攝連續(xù)性的教學(xué)內(nèi)容，又能統(tǒng)攝非連續(xù)性的教學(xué)內(nèi)容。在足夠?qū)挿旱膬?nèi)容范疇內(nèi)，大概念能將看似沒有實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián)的內(nèi)容統(tǒng)合起來。借助于大概念，能體現(xiàn)其進(jìn)階建構(gòu)的價(jià)值。比如教學(xué)《分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)的互化》（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)）之后，筆者用“因數(shù)2、5”大概念，設(shè)計(jì)、研發(fā)了《一個(gè)分?jǐn)?shù)能化成怎樣的小數(shù)》的主題課，從而消除了學(xué)生對(duì)“怎樣的分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)”的疑問，同時(shí)能讓學(xué)生快速判定一個(gè)分?jǐn)?shù)能化成怎樣的小數(shù);同時(shí)，運(yùn)用“交相減法”的方法大概念設(shè)計(jì)、研發(fā)了《循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)》的主題課，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解到“循環(huán)小數(shù)能不能化成分?jǐn)?shù)”“循環(huán)小數(shù)怎樣化成分?jǐn)?shù)”的操作難題。從某種意義上說，大概念統(tǒng)攝的內(nèi)容越不連續(xù)，就越能體現(xiàn)大概念的組織力。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣運(yùn)用“大概念”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)以“大概念”為抓手，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行上位學(xué)習(xí)。作為教師，可以以大概念為抓手、以大概念為錨點(diǎn)、以大概念為經(jīng)絡(luò)，聚焦學(xué)生學(xué)習(xí)方向，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)路徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)梳理，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更富有深度、更高效。大概念統(tǒng)攝下的數(shù)學(xué)教學(xué)，要以學(xué)生為中心，賦予學(xué)生充分的思考、探究時(shí)空，賦予學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主權(quán)力。通過大概念學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的高階思維，催生學(xué)生的高階認(rèn)知，進(jìn)而有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1. 以大概念為抓手，聚焦學(xué)生學(xué)習(xí)方向

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)任務(wù)是多樣的。教學(xué)中，教師可以運(yùn)用大概念，將復(fù)雜的任務(wù)簡(jiǎn)約化。以大概念為抓手，將復(fù)雜性的任務(wù)分解成主任務(wù)、大任務(wù)。在這里，大概念發(fā)揮著聚焦教學(xué)方向的意義和作用。比如教學(xué)《運(yùn)算律》這一部分內(nèi)容，筆者秉持“猜想——驗(yàn)證”的探究方法思路，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“加法交換律”“加法結(jié)合律”“乘法交換律”“乘法結(jié)合律”和“乘法分配律”。教學(xué)中，以方法大概念為抓手，將相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，比如將“加法交換律”和“乘法交換律”整合成“交換律”;將“加法結(jié)合律”和“乘法結(jié)合律”整合成“結(jié)合律”。在教學(xué)中，通過不同的知識(shí)地推導(dǎo)，能讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到“猜想——驗(yàn)證”這一不完全歸納方法的使用。相比較于知識(shí)大概念，方法大概念更具有啟發(fā)性、遷移性意義和價(jià)值。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，以大概念為抓手，能有效地聚焦教學(xué)方向。

2. 以大概念為錨點(diǎn)，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)路徑

大概念之于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅具有聚焦教學(xué)方向的作用，更具有優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑的作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大概念可以有效地驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。圍繞大概念，教師可以引導(dǎo)學(xué)生選擇學(xué)習(xí)路徑，從而讓學(xué)生經(jīng)歷更為豐富的數(shù)學(xué)猜想、推理、驗(yàn)證、探究等的豐富的學(xué)習(xí)過程。教學(xué)中，教師可以大概念為錨點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生基于經(jīng)驗(yàn)，完成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自主建構(gòu)。比如教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題》和《分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題》，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住單位“1”的量，把握單位“1”的量是已知還是未知，把握分率和具體數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就能優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑。在學(xué)習(xí)中，教師可以輔之以線段圖、輔之以寫等量關(guān)系等，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題。以單位“1”的量為錨點(diǎn)，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的分析，深化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的認(rèn)知，讓學(xué)生自主解決問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用大概念對(duì)具體問題進(jìn)行聚類、歸類分析，從而深化學(xué)生的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生的問題解決。

3. 以大概念為經(jīng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)梳理

大概念是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，把握好大概念，以大概念為經(jīng)絡(luò)，能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)梳理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要利用大概念，引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行反饋、總結(jié)、梳理，從而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。比如教學(xué)《長方體和正方體》（蘇教版六年級(jí)上冊(cè)）這一單元之后，筆者以“特征”“棱長總和”“面積”“體積”等四個(gè)大概念，將長方體和正方體單元所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行提綱挈領(lǐng)地梳理，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生借助于大概念來理解、認(rèn)識(shí)、解決具體問題。以“面積”大概念為例，筆者讓學(xué)生掌握底面積、側(cè)面積、表面積、材料用量等相關(guān)概念。以大概念為經(jīng)脈，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行橫向勾連和縱向拓展，從而讓學(xué)生圍繞大概念分層建構(gòu)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

德國著名數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中深刻指出：“數(shù)學(xué)教師應(yīng)具有較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，觀點(diǎn)越高，事物就越顯得簡(jiǎn)單?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，大概念位于“數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中心”，蘊(yùn)含著“核心知識(shí)概念、數(shù)學(xué)方法模型和數(shù)學(xué)學(xué)科大圖景”。站在“大概念”的視角，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行整體謀劃，能讓教師占領(lǐng)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)制高點(diǎn)。要自覺地抽象、提煉、把握知識(shí)大概念、方法大概念、關(guān)系大概念，從而讓大概念真正成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效載體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大概念不僅具有本體性數(shù)學(xué)價(jià)值，更具有工具性教學(xué)價(jià)值。