考慮整體趨勢(shì)的最佳子集Kriging模型

譚佳斌，趙維濤

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院, 沈陽(yáng) 110136)

1 引言

面對(duì)大多數(shù)復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題，為獲取設(shè)計(jì)參數(shù)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的關(guān)系，工程技術(shù)人員往往采用代理模型。實(shí)踐表明，代理模型具有精度高、計(jì)算量小，低誤差等特點(diǎn)[1]，可廣泛應(yīng)用于航空航天等領(lǐng)域。現(xiàn)有較為常用代理模型主要有：響應(yīng)面法[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[3]、支持向量機(jī)[4]和Kriging模型[5-7]等。由于Kriging模型具有良好處理非線性預(yù)測(cè)能力，Kriging模型已成為最具代表的代理模型之一。

為完善Kriging模型，研究者已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究工作。增強(qiáng)梯度Kriging模型[8]，優(yōu)點(diǎn)在于通過(guò)利用梯度信息來(lái)提高Kriging模型的計(jì)算精度。Kennedy等人將協(xié)同Kriging模型[9]推廣到工程領(lǐng)域，該模型通過(guò)用容易抽樣的量替換較困難抽樣的量來(lái)進(jìn)行輔助預(yù)測(cè)。Joseph等人提出了盲Kriging模型[10-12]，通過(guò)貝葉斯法識(shí)別趨勢(shì)函數(shù)。Kwon等人提出了趨勢(shì)Kriging模型[13]，但趨勢(shì)函數(shù)求解過(guò)程不利于工程實(shí)際問(wèn)題的求解。

本文提出了一種改進(jìn)的Kriging模型。與以往的Kriging模型不同的是：

1) 在生成初始樣本后，本文通過(guò)響應(yīng)面法確定趨勢(shì)函數(shù)。考慮到實(shí)際工程問(wèn)題，本文使用一至三階不含交叉項(xiàng)的多項(xiàng)式函數(shù)作為備選趨勢(shì)函數(shù)，通過(guò)回歸分析計(jì)算出趨勢(shì)函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，選取趨勢(shì)擬合程度較高的備選趨勢(shì)函數(shù)的階數(shù)作為Kriging模型整體趨勢(shì)函數(shù)的階數(shù)。

2) 在確定趨勢(shì)項(xiàng)的階數(shù)后，將整體趨勢(shì)函數(shù)中所忽略的交叉項(xiàng)重新加入Kriging模型中，通過(guò)遺傳算法重新篩選基函數(shù)，排除對(duì)模型計(jì)算精度無(wú)影響或者影響極小的基函數(shù)項(xiàng)，保留影響較大基函數(shù)項(xiàng)，降低計(jì)算量的同時(shí)提高模型的精度。

2 本文方法

經(jīng)典Kriging模型包含整體趨勢(shì)函數(shù)和隨機(jī)函數(shù)2個(gè)部分。已有研究表明，在樣本數(shù)量足夠多的情況下，整體趨勢(shì)函數(shù)對(duì)Kriging模型的預(yù)測(cè)精度影響較小[9-13]。然而足夠多的樣本必然帶來(lái)計(jì)算成本的增加，不利于工程實(shí)際。因此，在樣本數(shù)量有限的情況下，正確選取整體趨勢(shì)函數(shù)有助于提高Kriging模型的預(yù)測(cè)精度。本文首先利用響應(yīng)面方法確定Kriging模型整體趨勢(shì)函數(shù)的階次，然后通過(guò)遺傳算法對(duì)整體趨勢(shì)函數(shù)中的各項(xiàng)進(jìn)行優(yōu)化選取。

2.1 初始樣本點(diǎn)

利用拉丁超立方抽樣方式生成初始樣本，并求得對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)的響應(yīng)值。由于在最佳基函數(shù)選擇中需要對(duì)全基函數(shù)進(jìn)行計(jì)算對(duì)比，因此初始樣本點(diǎn)的數(shù)量一定要大于等于全基函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，初始樣本點(diǎn)的數(shù)量為：

k1≥(n+p)!/n!×p!

(1)

式(1)中：k1為初始樣本點(diǎn)數(shù)量；n是函數(shù)的維數(shù)；p是函數(shù)的階數(shù)。

2.2 響應(yīng)面法

響應(yīng)面函數(shù)設(shè)計(jì)思路應(yīng)當(dāng)形式簡(jiǎn)單，并使待定系數(shù)盡量少，以減小結(jié)構(gòu)分析的工作量，因此在建立整體趨勢(shì)函數(shù)時(shí)忽略交叉項(xiàng)。

考慮到實(shí)際工程問(wèn)題需求，本文建立一至三階不含交叉項(xiàng)的多項(xiàng)式作為備選趨勢(shì)函數(shù)。一階、二階、三階的響應(yīng)函數(shù)為：

(2)

式(2)中，a、bi、ci和di為待定系數(shù)。

2.3 趨勢(shì)判別

通過(guò)回歸分析，計(jì)算出所有備選趨勢(shì)函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，選取趨勢(shì)擬合程度最高的趨勢(shì)備選函數(shù)的階數(shù)作為Kriging模型中趨勢(shì)函數(shù)的階數(shù)。相關(guān)系數(shù)為：

(3)

選取相關(guān)系數(shù)最趨近于1的備選趨勢(shì)函數(shù)的階數(shù)作為Kriging模型中趨勢(shì)函數(shù)的階數(shù)。

2.4 最佳基函數(shù)選擇

Martin等[14]開(kāi)發(fā)的二進(jìn)制編碼非支配排序遺傳算法，可以搜索基函數(shù)的最優(yōu)子集。二進(jìn)制編碼的生成一個(gè)(n+p)!/n!×p!位編碼，其中n是函數(shù)的維數(shù)，p是函數(shù)的階數(shù)。全基函數(shù)中的每個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)都被分配給不同的編碼。是否使用指定的多項(xiàng)式項(xiàng)由二進(jìn)制數(shù)決定，其中1表示選擇多項(xiàng)式項(xiàng)作為候選項(xiàng)，0表示沒(méi)有選擇多項(xiàng)式項(xiàng)?？啥x目標(biāo)函數(shù)為均方根誤差最小，來(lái)比較每個(gè)基函數(shù)的適應(yīng)值，通過(guò)迭代選擇，直到滿(mǎn)足收斂條件，即可從全基函數(shù)項(xiàng)中找到基函數(shù)的最佳子集。

2.5 主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)及收斂條件

當(dāng)基函數(shù)選取后，利用主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)逐步增加具有重要意義的樣本，進(jìn)而更新已構(gòu)建的Kriging模型，直至滿(mǎn)足一定收斂條件。常見(jiàn)的學(xué)習(xí)函數(shù)有EEF函數(shù)、U函數(shù)和H函數(shù)。實(shí)踐表明[15]，U函數(shù)和其他學(xué)習(xí)函數(shù)相比，在保持較高精度的同時(shí)，所需的樣本數(shù)量較少，因此本文采用U函數(shù)，U函數(shù)的表達(dá)式為：

(4)

學(xué)習(xí)函數(shù)的停止條件(即Kriging模型的收斂條件)為：

min.(U(X))>2

(5)

2.6 基本流程

本文方法的基本流程如下：

1) 使用拉丁超立方抽樣方式生成初始樣本；

2) 通過(guò)響應(yīng)面法求得一至三階響應(yīng)面函數(shù)，作為備選趨勢(shì)函數(shù)；

3) 對(duì)所有備選趨勢(shì)函數(shù)進(jìn)行回歸分析，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)R2值并判別，選取趨勢(shì)擬合程度較高的備選趨勢(shì)函數(shù)的階數(shù)作為Kriging模型整體趨勢(shì)函數(shù)的階數(shù)；

4) 使用遺傳算法搜索趨勢(shì)函數(shù)的基函數(shù)最優(yōu)子集，目標(biāo)函數(shù)為均方根誤差最小；

5) 通過(guò)主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)訓(xùn)練已構(gòu)建的Kriging模型，直至滿(mǎn)足收斂條件。

3 算例

本文給出3個(gè)數(shù)值算例，包括三角函數(shù)、二維函數(shù)和三維函數(shù)，以驗(yàn)證本文提出的改進(jìn) Kriging模型(improved kriging model，IKM)的計(jì)算效率與計(jì)算精度。采用誤差均方根衡量計(jì)算精度，采用總樣本數(shù)量衡量計(jì)算效率，將IKM與經(jīng)典Kriging模型(classical kriging model，CKM)、泛Kriging模型(universal kriging model，UKM)和趨勢(shì)Kriging模型(trended kriging model，TKM)進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算表格中的UKM1代表一階UKM、UKM2代表二階UKM、TKM1代表一階TKM、TKM2代表2階TKM，k是樣本的總數(shù)量。

k=k1+k2

(6)

式(6)中：k1是初始樣本點(diǎn)的數(shù)量;k2是由主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)篩選來(lái)的后續(xù)樣本點(diǎn)數(shù)量。

3.1 測(cè)試函數(shù)1

測(cè)試函數(shù)1來(lái)源于文獻(xiàn)[13]，有：

(7)

圖1為測(cè)試函數(shù)1的真實(shí)響應(yīng)值的等高線圖，圖2為本文方法給出的響應(yīng)值等高線圖。對(duì)比圖1、圖2可知，IKM的響應(yīng)值與真實(shí)函數(shù)的響應(yīng)值總體趨勢(shì)吻合較好。

圖1 測(cè)試函數(shù)1真實(shí)響應(yīng)值等高線圖

圖2 基于IKM的測(cè)試函數(shù)1響應(yīng)值等高線圖

趨勢(shì)函數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1，IKM與其他模型的總樣本數(shù)及對(duì)比見(jiàn)表2。通過(guò)表1可知，當(dāng)代理模型整體趨勢(shì)函數(shù)階數(shù)等于2時(shí)，趨勢(shì)擬合程度最高。由表2可知，本文算法需要12個(gè)初始樣本和3個(gè)后續(xù)樣本點(diǎn)，本文方法的計(jì)算效率和其他算法的計(jì)算效率相同，計(jì)算精度有顯著提升。

表1 趨勢(shì)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果(測(cè)試函數(shù)1)

表2 各種計(jì)算結(jié)果(測(cè)試函數(shù)1)

3.2 測(cè)試函數(shù)2

測(cè)試函數(shù)2來(lái)源于文獻(xiàn)[13]，有：

0.1(x1-3)2+0.1(x2-2)2

(8)

圖3為測(cè)試函數(shù)2的真實(shí)響應(yīng)值的等高線圖，圖4為本文方法給出的響應(yīng)值等高線圖。對(duì)比圖3、圖4可知，IKM的響應(yīng)值與真實(shí)函數(shù)的響應(yīng)值總體趨勢(shì)吻合較好。

圖3 測(cè)試函數(shù)2真實(shí)響應(yīng)值等高線圖

圖4 基于IKM的測(cè)試函數(shù)2響應(yīng)值等高線圖

趨勢(shì)函數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3，IKM與其他模型的總樣本數(shù)見(jiàn)表4。由表4可知，本文算法需要20個(gè)初始樣本和5個(gè)后續(xù)樣本點(diǎn)，計(jì)算效率比其他算法略低，但計(jì)算精度有顯著提升。

表3 趨勢(shì)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果(測(cè)試函數(shù)2)

表4 各種計(jì)算結(jié)果(測(cè)試函數(shù)2)

3.3 測(cè)試函數(shù)3

測(cè)試函數(shù)3來(lái)源于文獻(xiàn)[16]，有：

(9)

趨勢(shì)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5，IKM與其他模型的總樣本數(shù)見(jiàn)表6。通過(guò)表5可知，當(dāng)代理模型整體趨勢(shì)函數(shù)階數(shù)等于3時(shí)，趨勢(shì)擬合程度最高。由表6可知，本文算法需要40個(gè)初始樣本和5個(gè)后續(xù)樣本點(diǎn)，雖然計(jì)算效率比其他算法略低，但是計(jì)算精度有顯著提升。

表5 趨勢(shì)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果(測(cè)試函數(shù)3)

表6 各種計(jì)算結(jié)果(測(cè)試函數(shù)3)

4 結(jié)論

在Kriging模型構(gòu)建過(guò)程中，首先利用不含交叉項(xiàng)的多項(xiàng)式響應(yīng)面法確定趨勢(shì)函數(shù)的階次，然后將趨勢(shì)函數(shù)中忽略的交叉項(xiàng)重新加入Kriging模型的整體趨勢(shì)函數(shù)中，通過(guò)遺傳算法篩選趨勢(shì)函數(shù)的基函數(shù)項(xiàng)，排除整體趨勢(shì)函數(shù)中不必要的項(xiàng)，降低Kriging模型的計(jì)算量的同時(shí)提高模型的計(jì)算精度。

算例結(jié)果表明：由于本文考慮了整體趨勢(shì)函數(shù)，在計(jì)算量增加不多的情況下，計(jì)算精度明顯高于其他方法。然而值得注意的是，為了便于最佳基函數(shù)的選取，本文選取的初始樣本點(diǎn)數(shù)量等于全基函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，這將導(dǎo)致樣本點(diǎn)數(shù)量隨著變量個(gè)數(shù)的增加出現(xiàn)急劇增加的現(xiàn)象。對(duì)于這一問(wèn)題，需對(duì)基函數(shù)選取方法進(jìn)行完善，將在后續(xù)工作中進(jìn)行改進(jìn)。