例談?shì)o助圓的生成條件及應(yīng)用策略

張興旺

【摘要】在初中幾何題中有這么一種類型的題，從已知條件和結(jié)論中看，都沒(méi)有牽涉到圖形圓，但如果抓住已知條件中的某些能構(gòu)造輔助圓的特征，構(gòu)造出輔助圓，然后利用圓的性質(zhì)去推導(dǎo)或計(jì)算，一些煩瑣或不易的問(wèn)題便迎刃而解。文章把這些題型進(jìn)行分類，總結(jié)出幾種構(gòu)造輔助圓的方法。

【關(guān)鍵詞】例談;輔助圓;構(gòu)圓法;模型

【基金項(xiàng)目】福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃，2019年度常規(guī)課題，課題名稱“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的‘關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)教學(xué)校本化研究”，編號(hào)：FJJKXB19-644。

在初中幾何題中有這么一種類型的題，從已知條件和結(jié)論中看，都沒(méi)有牽涉到圖形圓，若直接從已知條件出發(fā)去推導(dǎo)或計(jì)算，要想得到想要的結(jié)果會(huì)比較煩瑣，甚至有的無(wú)從下手。對(duì)于究竟怎樣的幾何題該選用此法，以及如何快捷地構(gòu)造輔助圓等，都沒(méi)有做出明確而全面的歸納總結(jié)。筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)心得，把這些能巧用輔助圓解題的題型按能生成輔助圓的條件進(jìn)行分類，總結(jié)出以下幾種構(gòu)造輔助圓的方法，希望能給大家在解題中帶來(lái)幫助和驚喜。筆者把歸納的方法輔以例題加以分析，以便大家更好地體會(huì)構(gòu)造輔助圓解題的策略在解題中的實(shí)用性與高效性，感受數(shù)學(xué)中邏輯思維與構(gòu)造輔助圓的統(tǒng)一美。

一、定義構(gòu)圓法

例1：如圖1所示，已知，，求的大小。

常規(guī)思路分析：圖中有三個(gè)等腰三角形，利用等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，易求得，接下來(lái)經(jīng)過(guò)設(shè)元或引進(jìn)參量，再利用三角形或四邊形內(nèi)角和等數(shù)量關(guān)系，得到相應(yīng)等式，進(jìn)而方可求解。具體解法如下：

解法一：，，.

不妨設(shè)與相交于點(diǎn)，設(shè)，，

，

，，

又，，

在△中，，

在△和△中易知：，

，

，

解得：，即.

此題按以上方法來(lái)解，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)有一定難度。但我們知道，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓。如果從某定點(diǎn)出發(fā)引出的線段都相等，那么這些線段的另一個(gè)端點(diǎn)一定在同一個(gè)圓上，于是過(guò)這些點(diǎn)就可以構(gòu)造出輔助圓，再利用圓的性質(zhì)解題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一些復(fù)雜的問(wèn)題變得如此簡(jiǎn)單。

構(gòu)圓法思路分析：上述根據(jù)圓的定義構(gòu)造圓的方法稱作定義構(gòu)圓法，此題根據(jù)定義構(gòu)圓法作輔助圓⊙A，再根據(jù)圓的性質(zhì)“同圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)圓心角的一半”，很快得出結(jié)果。具體解法如下：

解法二：，

、、三點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑的⊙A上（如圖2示），

.

對(duì)比上述兩種方法的解答過(guò)程，可以看出，根據(jù)圓的定義構(gòu)造出輔助圓來(lái)解題比常規(guī)思路方法簡(jiǎn)捷得多，同時(shí)也從側(cè)面詮釋了掌握構(gòu)圓法解題的必要性。

二、四點(diǎn)共圓模型構(gòu)圓法

同學(xué)們?cè)诶脴?gòu)圓法解題的實(shí)踐過(guò)程中常遇到要判斷某四點(diǎn)是否共圓。那有哪些辦法能幫助我們快速做出判斷呢？筆者把同學(xué)們經(jīng)常遇到的四點(diǎn)能共圓的情形歸納為以下兩種數(shù)學(xué)模型，以便幫助同學(xué)們能更快速高效地做出判斷。

（一）對(duì)角互補(bǔ)的四邊形模型

教材中明確指出，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。反過(guò)來(lái)，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，四頂點(diǎn)共圓嗎？答案是肯定的。我們用反證法便不難證得：一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

故我們?cè)谧鲱}時(shí)，一旦看到有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形時(shí)，就要立馬聯(lián)想到這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是共圓的，再利用圓的性質(zhì)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，思路就會(huì)豁然開(kāi)朗。

例2：如圖3，在四邊形中，，，，求的正弦值。

分析：先根據(jù)“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形模型”構(gòu)造出輔助圓，再根據(jù)“同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等”，可得，所以在Rt△中求出的正弦值即可。

解：，

、、、四點(diǎn)在以為直徑的圓上（如圖3示）

（同圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等）

在Rt△中，

（二）蝶翅同向角相等模型

如圖4所示的圖形如同蝴蝶的雙翅，當(dāng)同向角（或）時(shí)，則、、、四點(diǎn)共圓。我們用反證法證明如下：

作△的外接圓⊙，假設(shè)、、、四點(diǎn)不共圓，則點(diǎn)不在⊙上，必在⊙的內(nèi)部或外部。

或，這與已知條件矛盾。

、、、四點(diǎn)共圓。

例3：如圖5，已知△是等腰直角三角形，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到△。其中，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，與交于點(diǎn);當(dāng)從變化到時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)。

分析：本題要求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)，必須先弄清楚點(diǎn)的路徑是什么，通過(guò)已知條件不難證得△∽△，，、、、四點(diǎn)共圓，又，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，運(yùn)動(dòng)路徑是，再利用弧長(zhǎng)公式即可求解。

解：△繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△

，，

△∽△，

、、、四點(diǎn)共圓（根據(jù)蝶翅同向角相等模型可得）

又，是邊的中點(diǎn)

，點(diǎn)在以為直徑的⊙上，運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)就是的長(zhǎng)

，，，

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為。

三、三點(diǎn)含動(dòng)構(gòu)圓法

這類題常常牽涉三個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系，其中一定包含滿足某些條件的一個(gè)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，題目條件介紹這樣的三個(gè)點(diǎn)，題目的要求是要我們確定滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的位置或求某些量的最值或取值范圍等。解題策略是，作出由此三點(diǎn)（不共線）組成的三角形的外接圓或根據(jù)已知條件確定該外接圓的具體位置，然后利用圓的性質(zhì)或根據(jù)與圓的交點(diǎn)情況來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的具體位置或確定某些量的最值或取值范圍。類似這類三點(diǎn)含動(dòng)的題型，部分會(huì)牽涉到定弦或定角問(wèn)題，定弦或定角的存在就提示我們要過(guò)哪些點(diǎn)構(gòu)造圓。

總之，一道幾何題能否用構(gòu)圓法來(lái)解，關(guān)鍵是看題目條件是否符合上述三種類型的構(gòu)圓條件，只要符合其中一種便可以嘗試找出圓的背景，構(gòu)圓輔助圓進(jìn)行解題。通過(guò)上述一些例題，相信同學(xué)們已初步體會(huì)到了構(gòu)圓法解題的實(shí)用與高效。本文難免掛一漏萬(wàn)，但若能拋磚引玉，亦甚感欣慰。

【參考文獻(xiàn)】

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