從數(shù)學(xué)史的角度看中國(guó)經(jīng)典題目的教學(xué)

黃野娟 張昆

【摘? ?要】通過(guò)課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)和實(shí)施促進(jìn)學(xué)生思維水平發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)最有價(jià)值的途徑之一。從數(shù)學(xué)史的角度看中國(guó)經(jīng)典題目“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)，利用數(shù)學(xué)史料認(rèn)識(shí)這一問(wèn)題中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)價(jià)值，并將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)活動(dòng)，既能豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，又能有效促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升。

【關(guān)鍵詞】雞兔同籠;數(shù)學(xué)史料;生活經(jīng)驗(yàn);提升思維

一、問(wèn)題的提出

蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”學(xué)習(xí)內(nèi)容中的“練一練”，引入了簡(jiǎn)化版的“雞兔同籠”問(wèn)題，提供了兩個(gè)相關(guān)的素材。

素材一：雞和兔一共有8只，它們的腿有22條。雞和兔各有多少只？（根據(jù)下面的提示，選擇一種方法找出答案）（教材第29頁(yè)）

（1）按照下面的步驟畫(huà)圖。

①畫(huà)8個(gè)圓，表示一共有8只動(dòng)物。

②假設(shè)8只都是雞，給每只雞畫(huà)2條腿。算一算畫(huà)出的腿比22條少多少條。

③一只兔比一只雞多2條腿，給其中的幾只動(dòng)物添上2條腿，使畫(huà)出的腿正好是22條。

④雞有（ ）只，兔有（ ）只。

（2）先假設(shè)雞和兔同樣多，再調(diào)整。（注：為了行文方便，將這種方法稱(chēng)為“系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)法”）

素材二：“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名題之一。它出自唐代的《孫子算經(jīng)》。書(shū)中的題目是這樣的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？你能算出這道題中的雞和兔各有多少只嗎？（教材第32頁(yè)）

素材一的特點(diǎn)是數(shù)據(jù)較小，所以容易得到兩條途徑探究解題思路：（1）首先，指導(dǎo)學(xué)生利用擬似的實(shí)物（這里的①，即畫(huà)圓）直觀表示動(dòng)物的數(shù)量;其次，假設(shè)8只全部是雞（②），發(fā)現(xiàn)這8只雞的腿總數(shù)為16條，比已知條件中的22條少了6條;最后，由于每只兔比每只雞多2條腿，所以需要3只兔補(bǔ)充少的6條腿。（2）假設(shè)雞兔各占一半，即雞和兔都是4只，并向?qū)W生提供表1，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，如果雞和兔各4只的話(huà)，將得到24條腿，比條件中的22條多了2條，因此假設(shè)中的情況是多了一只兔。這兩種方法都可以解決問(wèn)題。

但在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解決本題時(shí)，呈現(xiàn)出多種解題方法，不僅僅是教科書(shū)提供的兩種途徑。特別值得注意的是，有大約三分之一的學(xué)生采取先將22條腿折半為11條，然后與8只動(dòng)物比較，發(fā)現(xiàn)腿的數(shù)量還多3條，說(shuō)明兔子有3只，雞有5只。（注：為了行文方便，將這種方法稱(chēng)為“折半法”）

值得思考的是，學(xué)生萌生使用這種“折半法”解題的思路究竟來(lái)源于何處？如何利用數(shù)學(xué)史資料優(yōu)化“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施呢？故此，我們進(jìn)行了研究與探索。

二、相關(guān)數(shù)學(xué)史料與分析

任何想法都不是憑空產(chǎn)生的。在以往的學(xué)校學(xué)習(xí)中，學(xué)生并沒(méi)有接觸過(guò)類(lèi)似“折半法”的解題方法，應(yīng)該并不具備這種解題方法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。那么學(xué)生繞過(guò)教科書(shū)的提示，萌生出用“折半法”解決問(wèn)題，也就未必是他們創(chuàng)造性思維的成果，而更可能與學(xué)生生活中所處的文化氛圍相關(guān)。因?yàn)椋缃炭茣?shū)所言，“雞兔同籠”問(wèn)題是古代數(shù)學(xué)名題之一，因此，這道題存在于學(xué)生的生活之中，部分學(xué)生無(wú)須進(jìn)入學(xué)堂，就可以獲得解題的線(xiàn)索。

這道題來(lái)源于《孫子算經(jīng)》卷下第三十一題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問(wèn)雉兔各幾何？

答曰：雉二十三，兔一十二。

術(shù)曰：上置三十五頭，下置九十四足，半其足得四十七。以少減多，再命之，上三除下四，上五除下七;下有一除上三，下有二除上五。即得。

又術(shù)曰：上置頭，下置足。半其足，以頭減足，以足減頭，即得。

當(dāng)今社會(huì)中的成年人，不會(huì)采用這種古文之乎者也的方式討論“雞兔同籠”問(wèn)題的解法，但會(huì)使用現(xiàn)代白話(huà)語(yǔ)言，選擇解決這道題的策略，這也就是說(shuō)，“折半法”流傳于生活中，因此，學(xué)生在接受教科書(shū)的提示以前，就可能已經(jīng)接受了“折半法”的解題途徑。通過(guò)訪談發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生都有意無(wú)意地聽(tīng)大人說(shuō)過(guò)這個(gè)問(wèn)題，甚至有部分學(xué)生說(shuō)，在三、四年級(jí)時(shí)，他們的家長(zhǎng)就以“雞兔同籠”問(wèn)題問(wèn)過(guò)他們，要求他們解答，如：兔子野雞三十九，一百條腿地上走。多少野雞多少兔？而家長(zhǎng)給出答案時(shí)介紹的方法就是“折半法”。

因此，教師的教學(xué)應(yīng)該要考慮學(xué)生受到的文化氛圍的影響，并利用這些因素，因勢(shì)利導(dǎo)、順?biāo)浦鄣乩脤W(xué)生在生活現(xiàn)實(shí)（而非學(xué)校教育教學(xué)）中所積累的數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)方法（可能摻雜著某些瑕疵）等，將這些文化中的有利因素與課堂目標(biāo)要求的某些要素整合起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生形成具體的探究解決問(wèn)題的方法與策略。

通過(guò)訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖自覺(jué)不自覺(jué)地形成了用“折半法”解決“雞兔同籠”問(wèn)題的解題思路，但他們只是接受了成人提供的“折半法”的具體解題方法，卻未必了解其背后的道理。也就是知其然而不知其所以然。因此，教師必須先理解古人解決這道題的“術(shù)”的具體內(nèi)涵，從中吸收啟發(fā)性成分，以便更好地組織教學(xué)。

先看這段話(huà)“上置三十五頭，下置九十四足，半其足得四十七”。古人使用算籌進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算。這段話(huà)說(shuō)的是先用算籌標(biāo)示出35（表示頭），然后在它的下方用算籌標(biāo)示出94（表示足）。取足數(shù)的一半得到47只足。“以少減多，再命之，上三除下四，上五除下七?！?就是說(shuō)從多的中拿去少的，即用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，47-35得到（足）12。這個(gè)12就是兔的數(shù)量?！跋掠幸怀先?，下有二除上五”就是35再減去12可以得到23，這個(gè)23就是兔的數(shù)量。通過(guò)理解解題方法（術(shù)）的具體內(nèi)容認(rèn)識(shí)到，在這幾個(gè)解題操作環(huán)節(jié)中，最難形成的操作行為指令就是第一步，即“半其足”，《孫子算經(jīng)》的作者是如何想到這一步計(jì)算指令的，這一步也實(shí)實(shí)在在地構(gòu)成現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施的疑難點(diǎn)。

于是，在教學(xué)準(zhǔn)備工作中，首先推測(cè)古人萌生“半其足”這種計(jì)算指令的來(lái)源，前文中對(duì)古文的內(nèi)容說(shuō)得很清楚，這里的“上置三十五頭，下置九十四足”，是解題者使用算籌（如圖1，現(xiàn)在使用的是阿拉伯?dāng)?shù)字）擺出來(lái)的。請(qǐng)注意圖1中第一個(gè)環(huán)節(jié)的兩個(gè)具體數(shù)字（35;94），古人肯定試探了兩種途徑，其一，將上面的35翻倍到70，當(dāng)然可以解決問(wèn)題，但后述步驟相對(duì)于將下面的94折半的途徑要復(fù)雜得多（相對(duì)于古人籌算而言）。之后，將下面的94折半，結(jié)果發(fā)現(xiàn)后述計(jì)算要簡(jiǎn)單得多，正如前文所描述與揭示的。

但這一內(nèi)容只介紹了方法，卻沒(méi)有講解理由。這或許就是教科書(shū)沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生采用“半其足”的方法解決問(wèn)題的原因吧。

三、“雞兔同籠”問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施

錢(qián)理群說(shuō)：“教育思想者和現(xiàn)實(shí)存在有著潛在的本性上的對(duì)抗性，思想者所關(guān)心的是‘應(yīng)該怎樣，而不是‘實(shí)際怎樣。思想者與實(shí)踐者之間是應(yīng)該有區(qū)別，有分工，而且是存在著不同的邏輯的：思想者著眼于新的教育理念的建設(shè)，并從自己的教育理念出發(fā)，對(duì)現(xiàn)行教育的弊端作出批判，從而形成一種思想、輿論的壓力，為其呼喚的改革提供思想資源，因此，要求思想的徹底，并具有一定的超前性，因而帶有理想主義的色彩，而不考慮現(xiàn)實(shí)的操作。而實(shí)踐者面臨的是教育的現(xiàn)狀，不僅感受到改革的必要性和迫切性，更要考慮在現(xiàn)實(shí)的主客觀條件下，改革的可能性和有限性，因而奉行‘逐步推行的改良策略，這其中也包括必要的妥協(xié)，而不可能像思想者那樣徹底?！盵1]所以，關(guān)于“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施，需要考慮以下兩方面的問(wèn)題。

一方面，學(xué)生在五年級(jí)就學(xué)習(xí)過(guò)“簡(jiǎn)易方程”，已經(jīng)能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)表示具體數(shù)據(jù)，因此可以使用設(shè)未知數(shù)引入符號(hào)的方法表示雞和兔的只數(shù)，從而替代如圖1中的具體數(shù)據(jù)體系，也就是替代古人方法中使用算籌表示的具體數(shù)據(jù)，這將有利于啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生“半其足”的行為。

另一方面，皮亞杰在《發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理》一文中指出：“隨著在將近十一歲到十二歲時(shí)開(kāi)始形成的形式運(yùn)演的出現(xiàn)，達(dá)到了運(yùn)演發(fā)展過(guò)程的第三個(gè)重要階段。形式運(yùn)演超越現(xiàn)實(shí)本身，把現(xiàn)實(shí)納入可能性和必然性的范圍之內(nèi)，從而無(wú)須具體事物作為中介了。”[2]處于六年級(jí)學(xué)齡段的學(xué)生正從“具體運(yùn)演階段的水平”過(guò)渡到“形式運(yùn)演階段的水平”。教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施要考慮到學(xué)生思維升級(jí)的需要，更有針對(duì)性地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展。

基于這兩方面的考量，構(gòu)成關(guān)于“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)。

師出示問(wèn)題：今有雞兔同籠，上有三十五（35）頭，下有九十四（94）足，問(wèn)雞兔各幾何？

（注：學(xué)生出現(xiàn)了各種各樣的想法，包括教科書(shū)提供的“系統(tǒng)試驗(yàn)法”，對(duì)總頭數(shù)的加倍法與總足數(shù)的“折半法”，這些想法都有價(jià)值。但是，教學(xué)設(shè)計(jì)所設(shè)置的目標(biāo)在于，通過(guò)引入符號(hào)表示問(wèn)題中的具體數(shù)據(jù)，從而構(gòu)成數(shù)據(jù)體系，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生萌生“半其足”的數(shù)學(xué)計(jì)算指令。）

師：大家基本上是采用假設(shè)的途徑，獲得了解題思路，在這些思路中，對(duì)于總足數(shù)的“折半法”給人印象深刻。你們可以解釋一下，是如何想到采用“折半法”的呢？

（注：學(xué)生的回答都說(shuō)是這道題他們?cè)?jīng)聽(tīng)人說(shuō)過(guò)，通過(guò)記憶使用了這種方法。）

師：同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)設(shè)未知數(shù)、列簡(jiǎn)易方程解應(yīng)用題。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，也可以使用方程試一試嗎？

生：設(shè)兔x只，則雞（35-x）只。由題中的數(shù)量關(guān)系得到方程：4x+2（35-x）=94。

師：很好。大家仔細(xì)觀察方程，你會(huì)怎么解這個(gè)方程呢？

生：第一步，將這個(gè)方程的兩邊同時(shí)除以2，得2x+（35-x）=47。

師：你能結(jié)合題目說(shuō)一說(shuō)這一步的實(shí)際意義嗎？

生：就是將雞和兔的總足數(shù)折半。（后述的課堂實(shí)施環(huán)節(jié)略）

（注：使用“折半法”解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)最為關(guān)鍵的一步就是“半其足”這種行為指令是如何產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史料中呈現(xiàn)的是數(shù)學(xué)家經(jīng)由實(shí)驗(yàn)、試探、檢驗(yàn)而形成的一種直接領(lǐng)悟。對(duì)處于六年級(jí)下學(xué)期的學(xué)生來(lái)說(shuō)，使用列方程的符號(hào)表達(dá)式更利于“折半法”的產(chǎn)生。）

四、結(jié)語(yǔ)

在某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)上，一個(gè)好設(shè)計(jì)的形成，需要數(shù)學(xué)教師做出許多方面的努力。其一，教材分析。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師必須依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的具體特點(diǎn)，吸收方方面面的營(yíng)養(yǎng)，例如，“雞兔同籠”問(wèn)題就需要吸收數(shù)學(xué)史史料的營(yíng)養(yǎng)。其二，學(xué)情分析。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，最重要的一點(diǎn)就是教師必須理解學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展所達(dá)到的層次，據(jù)此充分利用學(xué)生思維上的“最近發(fā)展區(qū)”，從而通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)及其課堂實(shí)施促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升。其三，教學(xué)法分析。教師要選擇合適的教學(xué)方法，提升教學(xué)的有效性。[3]對(duì)此，一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師必須思之再思，慎之又慎。

參考文獻(xiàn)：

[1]錢(qián)理群.直面存在困境：讀梁衛(wèi)星教育隨筆[J].名作欣賞，2010（7）：79-81.

[2]皮亞杰. 發(fā)生認(rèn)識(shí)論原理[M]. 王憲鈿，譯. 北京：商務(wù)印書(shū)館，1981：51-52.

[3]張昆，曹一鳴.完善數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的實(shí)現(xiàn)途徑[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）：33-37.

（1.安徽省廬江縣城北小學(xué)? ?231000

2.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院? ?235000）