重構(gòu)學(xué)習(xí) 深度理解

陳愛君

【摘? ?要】基于教學(xué)現(xiàn)狀和學(xué)生在圓面積公式推導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)的問題，借助數(shù)學(xué)史構(gòu)建新的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生在課前導(dǎo)學(xué)、課上交流碰撞、課后拓展中，生疑、證疑，經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的全過程，不僅獲得探究的樂趣，更獲得深度理解圓面積公式的體驗(yàn)，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)多元化魅力。這也讓教師找到了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史的新路徑。

【關(guān)鍵詞】HPM;圓面積;深度理解;重構(gòu)學(xué)習(xí)

一、引言

“圓的面積”是人教版教材六年級(jí)上冊的內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)直邊圖形面積計(jì)算走向曲邊圖形面積計(jì)算的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折。站在學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，如何把握好該內(nèi)容承載的獨(dú)特價(jià)值和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵生長點(diǎn)，值得教師深入研究和思考。

查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課已有教學(xué)流程的差異不大，大致可歸結(jié)為“提出主題情境問題—啟發(fā)學(xué)生動(dòng)手操作（小組合作，將圓轉(zhuǎn)化為已學(xué)直邊圖形）—反饋交流中感悟無限分割的極限思想—達(dá)成共識(shí)運(yùn)用公式解決問題”四個(gè)環(huán)節(jié)。其中操作環(huán)節(jié)一般是學(xué)生在教師的啟發(fā)下，進(jìn)行剪切拼組，邊討論邊理解，教師主導(dǎo)探究過程，學(xué)生的探究空間有限。也有教師引入數(shù)學(xué)史輔助教學(xué)，但因課堂時(shí)間有限，數(shù)學(xué)史相關(guān)內(nèi)容往往以附加式介紹為主。實(shí)際上，分割重組等操作環(huán)節(jié)不是本節(jié)課的關(guān)鍵。因?yàn)閷W(xué)生已有多邊形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，能想到將圓分割轉(zhuǎn)化為直邊圖形，但他們總是認(rèn)為推導(dǎo)得到的面積公式是一個(gè)近似公式，難以理解為什么曲邊可以等同于直邊，這才是本節(jié)課的核心問題。只有解決這一問題，滿足學(xué)生對(duì)何以畫圓為方及圓面積的其他推導(dǎo)方法的好奇心，學(xué)生才能實(shí)現(xiàn)由曲到直的思維跨越，深度學(xué)習(xí)才能真實(shí)發(fā)生。

為此，需要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，構(gòu)建新的學(xué)習(xí)方式，設(shè)計(jì)能獲得深度理解的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。那么，該如何重構(gòu)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)深度理解？回到數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，才能更好地把握符合歷史的主流方向。換言之，歷史的選擇更應(yīng)該成為教師的教學(xué)選擇。

二、以史為航，錨定知識(shí)價(jià)值核心

在數(shù)學(xué)史上，人們對(duì)圓面積的思考和探索前后跨越數(shù)千年，表1呈現(xiàn)了相關(guān)史料。置身歷史的坐標(biāo)，可以看到幾千年來數(shù)學(xué)家對(duì)圓面積計(jì)算原理的探尋軌跡。當(dāng)年，劉徽或阿基米德等前輩，無論怎樣割圓或細(xì)分，始終無法逾越直邊與曲邊之間留有的那道縫隙;開普勒試圖采用無限分割變形法跨越曲與直的界限，也遭到諸多質(zhì)疑;卡瓦列里從棉線帶來的靈感中獲得了不可分量原理，但曲與直的鴻溝依然存在。這些探索本質(zhì)上都是對(duì)直與曲、有限與無限關(guān)系的挑戰(zhàn)，雖沒有最終解決問題，但它們都為微積分的誕生奠定了基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)發(fā)展史中寶貴的財(cái)富。

歷史上圓面積的推導(dǎo)方法多元，每種方法都曾經(jīng)在一定的時(shí)期得到推崇，但方法背后的“無限分割、化曲為直”才是對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言最具價(jià)值的，也是教學(xué)圓面積中最應(yīng)該孕伏的。因此，本節(jié)課試圖將歷史上圓面積計(jì)算的典型方法融入教學(xué)，重構(gòu)以數(shù)學(xué)史料為探究載體的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在對(duì)方法的選擇和理解中感悟極限思想在解決問題過程中的獨(dú)到價(jià)值。

三、以史為跡，重構(gòu)學(xué)習(xí)方式

維果茨基在最近發(fā)展區(qū)理論中提到：兒童實(shí)現(xiàn)發(fā)展水平由解決問題的能力決定，通過在成人指導(dǎo)下或是與更多有能力的同齡人協(xié)同解決問題，兒童的潛在發(fā)展水平將得到提升。想實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，就需要教師深入了解兒童對(duì)知識(shí)理解發(fā)展的起點(diǎn)，捕捉學(xué)生在這一過程中遇到的最迫切困難，做出精確的判斷后再給予有效的學(xué)習(xí)支持?；谶@樣的思考，筆者決定運(yùn)用以提供學(xué)習(xí)支持為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)建構(gòu)模型展開本節(jié)課的教學(xué)（如圖1，其中ZPD是最近發(fā)展區(qū)）。

（一）課前兩次任務(wù)導(dǎo)學(xué)，對(duì)話歷史，發(fā)現(xiàn)并嘗試解決問題

為了解學(xué)生在學(xué)習(xí)圓面積之前會(huì)通過什么樣的方法自主嘗試推導(dǎo)圓的面積公式，筆者在課前設(shè)計(jì)了第一次導(dǎo)學(xué)任務(wù)。通過對(duì)全班43位學(xué)生的導(dǎo)學(xué)單的梳理發(fā)現(xiàn)：97.8%的學(xué)生知道圓面積公式，近40%的學(xué)生能用教材呈現(xiàn)的方法進(jìn)行推導(dǎo)，其中還有1名學(xué)生使用了開普勒的方法。在導(dǎo)學(xué)單中可以看到，在嘗試探索圓面積公式的過程中，學(xué)生提出的疑惑、問題和數(shù)學(xué)史上關(guān)于這個(gè)問題的探索驚人相似。他們感到困難的地方有這樣兩個(gè)：一是如何把圓轉(zhuǎn)化成直邊圖形，二是通過轉(zhuǎn)化得到的計(jì)算公式是一個(gè)近似公式，直邊怎么會(huì)代替曲邊（如圖2）。第一次導(dǎo)學(xué)任務(wù)的反饋為更準(zhǔn)確地提供學(xué)習(xí)支持找到了依據(jù)。

之后教師為學(xué)生提供了幾種典型面積推導(dǎo)方法的史料，并設(shè)計(jì)了第二次導(dǎo)學(xué)任務(wù)：（1）對(duì)比第一次導(dǎo)學(xué)任務(wù)中自己的嘗試，看看更接近哪種方法;（2）選擇史料中自己感興趣的方法操作驗(yàn)證。隨后，按照學(xué)生選擇的方法進(jìn)行分組，每組3～6人，組內(nèi)交流嘗試解決問題過程中的所得、所惑。

為了能向同伴清楚地解釋對(duì)圓面積公式推導(dǎo)的理解，在驗(yàn)證過程中，學(xué)生采用了多種直觀、生動(dòng)的方法。有的學(xué)生模擬史料中的方法，用紙張進(jìn)行剪、拼;也有的學(xué)生做了進(jìn)一步拓展，嘗試通過編程的方式再現(xiàn)史料中的方法，做出了電腦上動(dòng)態(tài)的呈現(xiàn)效果。學(xué)生在課前充分思考、深度實(shí)踐、同伴互助、共同解決問題的過程中，又生發(fā)出新問題，并再次嘗試解決。如此往復(fù)，深刻地理解了圓面積公式推導(dǎo)的方法，積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，深度學(xué)習(xí)得以發(fā)生。

（二）課上多輪交流、討論，剖析本質(zhì)，理解并解釋問題

經(jīng)歷深度理解的學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷思維的激烈碰撞，教師的任務(wù)就是不斷引起和維持這種碰撞，因此，課堂上要抓住核心問題，開展有效、深入的交流討論。

課堂上，教師展示學(xué)生完成導(dǎo)學(xué)單過程中提出的問題：（1）轉(zhuǎn)化前后，曲邊圖形變?yōu)榱酥边厛D形，面積沒有發(fā)生改變嗎？（2）圓面積是如何計(jì)算的？并試圖通過思維碰撞促進(jìn)問題的解決。

在小組交流匯報(bào)時(shí)提出要求：（1）說清研究過程和公式推導(dǎo)過程;（2）一個(gè)小組匯報(bào)結(jié)束后，其他同學(xué)可以提問，相互交流想法;（3）邊聽邊思考，這些方法和自己的方法有無相通之處？截取交流片段如下。

【片段1】轉(zhuǎn)化為平行四邊形（結(jié)合PPT演示）求面積

生1：首先我們把這個(gè)圓4等分后進(jìn)行拼組，發(fā)現(xiàn)有這樣的弧線，怎么辦呢？那再分得多一點(diǎn)，8等分，弧線仍然比較明顯，繼續(xù)分成16等分、32等分，這時(shí)弧線已經(jīng)接近于直的了，此時(shí)平行四邊形的高就是圓的半徑，底就是圓的周長除以2。這種方法和開普勒的方法比較接近，開普勒的方法是拼成三角形，也就是將上面這一行拼到下面來，這樣底就要乘2，就是圓的周長，再通過等積變形，變成一個(gè)大三角形。平行四邊形中底是πr，高是r，面積就是πr2。

生2：難道多一部分不會(huì)影響它的高嗎？

生1：你是指弧線部分嗎？不會(huì)的。我們將它分成了32等分，假如我們分成3200等分，那這里的弧線差不多就是一個(gè)點(diǎn)了，這個(gè)點(diǎn)就可以忽略不計(jì)，不會(huì)影響高的長度。

生3：如果拼成三角形的話，會(huì)不會(huì)有誤差？

生1：誤差不會(huì)有的，三角形的底邊是平行四邊形的2倍。我們等一下可以關(guān)注介紹這種方法的小組的解釋。

這一小組所做的是對(duì)教材方法的介紹，在原有近40%學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，面向全班學(xué)生系統(tǒng)地進(jìn)行介紹，并回應(yīng)其他同學(xué)的困惑，這是學(xué)生對(duì)極限思想理解的初步嘗試，后續(xù)不同方法的演繹將推動(dòng)極限思想的深度理解。

【片段2】仿照劉徽的割圓術(shù)（拍攝微課輔助講解）求面積

在這一小組的分享中，學(xué)生再次將問題聚焦于轉(zhuǎn)化前后圖形面積的變化上。

（小組代表生1呈現(xiàn)微課視頻，展示割圓拼補(bǔ)的過程）

生2：分割多余出來的弧形怎么計(jì)算？

生3：利用圓的面積的十二分之一與拼組長方形的面積求差就是弧形面積，推導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)得到差為0，這可以驗(yàn)證我們的結(jié)論。

生4：（補(bǔ)充解釋）所以說隨著分割的份數(shù)越來越多，弧形面積可以忽略不計(jì)。

生5：我認(rèn)為不管怎么分割，弧形部分仍然存在。

學(xué)生在對(duì)劉徽割圓術(shù)的探討中，自然而然地將問題聚焦到了以直代曲的疑問上。顯然，數(shù)學(xué)史上困擾數(shù)學(xué)家們千年的問題也橫亙在當(dāng)下學(xué)生的面前，依舊難以跨越。在學(xué)生第二次試圖解開謎團(tuán)時(shí)，割圓操作讓問題暴露得更加明顯，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步解答的強(qiáng)烈欲望，該組學(xué)生嘗試用公式推導(dǎo)的方法解決這個(gè)問題，事實(shí)上，這個(gè)方法并不奏效。但前一小組的討論已奏效，該組學(xué)生馬上用第一組的方法進(jìn)行補(bǔ)充。

后續(xù)幾個(gè)小組的匯報(bào)中，學(xué)生不斷地用各種辦法解釋“以直代曲”。如第三個(gè)小組，利用Scratch編程，動(dòng)態(tài)演示當(dāng)切割的份數(shù)越多時(shí)，曲邊越來越貼近直線（如圖3）。

【片段3】利用開普勒的方法（制作了教具）求面積

小組匯報(bào)結(jié)束后進(jìn)行了如下討論。

生1：為什么要將等分后的小扇形拼成三角形？也可以拼成菱形。

生2：你這個(gè)想法就是前面第一組同學(xué)說的，把圓分成上下兩半，然后他們拼成的是平行四邊形，這里拼成了三角形，你說的菱形也是平行四邊形。

生1無法表述清楚，生2請他在黑板上演示出來（如圖4）。

生2：這樣做弧線中間的空余部分怎么處理？

生1：可以通過多次切割轉(zhuǎn)化成箭頭右邊的圖形。

生3：我們可以把分割后的圓拼組成很多圖形，可以拼成平行四邊形，可以拼成三角形，拼成菱形也可以，沒有對(duì)錯(cuò)之分，只是選擇不同。

生4：那這樣轉(zhuǎn)化后怎么推導(dǎo)公式？

生3：把這個(gè)圖形再變形轉(zhuǎn)化為平行四邊形。

生4：那你為什么要轉(zhuǎn)化2次呢？

……

在這樣的思維碰撞中，學(xué)生再次解決公式推導(dǎo)中碰到的問題。像這樣激烈的交流、碰撞充滿整個(gè)課堂。正因?yàn)閷W(xué)生課前有了對(duì)問題的充分思考和實(shí)踐，有了數(shù)學(xué)史料以及同伴、教師給予的有效的學(xué)習(xí)支持，學(xué)生才會(huì)對(duì)課堂上的關(guān)鍵問題產(chǎn)生深度理解。

（三）課后拓展，再借史料，拓寬學(xué)習(xí)路徑

師生在基于數(shù)學(xué)史重構(gòu)的教學(xué)中受益良多。一方面，教師切實(shí)感受到數(shù)學(xué)史為知識(shí)的形成邏輯提供了參照，為學(xué)生提供了深度探究的機(jī)會(huì);另一方面，學(xué)生的學(xué)習(xí)因?yàn)橛辛恕皻v史大家”的參與更加“較真”。因此，教師要為數(shù)學(xué)史融入后續(xù)內(nèi)容教學(xué)創(chuàng)造機(jī)會(huì)。

數(shù)學(xué)史與圓面積相關(guān)的資源豐富，教師在課后的鞏固拓展中加入了《九章算術(shù)》中的圓田問題“今有圓田，徑十步，問圓田幾何”。后續(xù)圓內(nèi)不規(guī)則圖形面積的教學(xué)中，再次提供了豐富的數(shù)學(xué)史閱讀資料，并設(shè)計(jì)了適合學(xué)生挑戰(zhàn)的任務(wù)，學(xué)生在內(nèi)部動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)下主動(dòng)學(xué)習(xí)，高投入、高產(chǎn)出，從而發(fā)展高認(rèn)知。

四、結(jié)語

課前導(dǎo)學(xué)、課上交流碰撞、課后拓展，在圍繞“圓的面積”展開的基于數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)方式的重構(gòu)探索中，教師是發(fā)起、維持、促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的支持者，學(xué)生在內(nèi)部動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)下，通過個(gè)人探索、小組合作、思維的交流與碰撞，體會(huì)了以直代曲的轉(zhuǎn)化思想和極限思想，觸摸到了數(shù)學(xué)的本真面目，真切感受到圓面積公式及其背后思想產(chǎn)生、發(fā)展的過程，認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)文化的多元性，體會(huì)到歷代數(shù)學(xué)家們求真、創(chuàng)新、執(zhí)著的科學(xué)精神，由此洞見人類文明進(jìn)步的歷史。這樣的數(shù)學(xué)課堂才能承載文化傳播、智慧傳承的功能。實(shí)際上，這也是核心素養(yǎng)指引下，通過學(xué)教結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的一次嘗試。相信基于數(shù)學(xué)史的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革，會(huì)讓我們的數(shù)學(xué)課煥發(fā)出新的活力！

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（浙江省杭州第十四中學(xué)附屬學(xué)校? ?310015）