挖知識(shí)源流，助文化互融

劉樹霞 鄭玲玲

【摘? ?要】基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化的教學(xué)絕非易事。以“三角形的面積”為例，說明基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化的教學(xué)，應(yīng)以數(shù)學(xué)史的梳理為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)史文化內(nèi)涵的挖掘和教學(xué)應(yīng)用為重點(diǎn)，以教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成為指向。這樣才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、審美價(jià)值、文化價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)文化;知識(shí)源流;文化互融

一、引言

對(duì)數(shù)學(xué)文化的關(guān)注肇始于數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)與文化關(guān)系的討論，數(shù)學(xué)文化進(jìn)入數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域引發(fā)了“數(shù)學(xué)文化熱”思潮，進(jìn)而促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科自身的科學(xué)價(jià)值與人文價(jià)值的融合，對(duì)中國數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革具有重要的啟蒙意義。[1]目前，很多教師借助基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化進(jìn)行教學(xué)，以期讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、審美價(jià)值和文化價(jià)值。但基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化的教學(xué)絕非易事，因?yàn)檫@不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，更要符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律[2]，同時(shí)教材的內(nèi)容編排并未重視歷史脈絡(luò)的顯性呈現(xiàn)或隱性滲透。筆者以“三角形的面積”為例，介紹基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化教學(xué)實(shí)踐。

二、歷史材料及其運(yùn)用

三角形的面積計(jì)算公式，自古埃及開始經(jīng)歷了漫長的發(fā)展和演變過程，表1呈現(xiàn)了不同時(shí)空中與三角形面積計(jì)算有關(guān)的歷史素材。

在小學(xué)教材里，三角形面積公式的推導(dǎo)方法主要包括倍拼法和割補(bǔ)法，國內(nèi)的教材大部分以倍拼法為主，但是在轉(zhuǎn)化方法的地位上看，這兩種方法并沒有主次之分。[3]以歐氏幾何為代表的演繹幾何體系符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和發(fā)展規(guī)律（我國的教材編排深受這種傳統(tǒng)思想的影響，進(jìn)而影響到學(xué)生的思維方式），但從學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展與文化的角度看，將割補(bǔ)法放到與倍拼法同等的位置，甚至更高的位置是必要的。一方面，相比于倍拼法，割補(bǔ)法的應(yīng)用更為廣泛，初高中有大量的相關(guān)課題;另一方面，割補(bǔ)法背后的出入相補(bǔ)思想是中國古代數(shù)學(xué)的重要原理，將其融入教學(xué)有助于學(xué)生感受中國的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)、文化傳統(tǒng)。

因此，在“三角形的面積”教學(xué)中，我們重視學(xué)生對(duì)割補(bǔ)法的探究，試圖將史料中劉徽的方法、歐幾里得的結(jié)論以及面積的起源融入教學(xué)，其他方法作為“意外驚喜”，以期從“知識(shí)源流”（指某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的歷史演進(jìn)過程中所涉及的人物與事件、概念與術(shù)語、問題與求解、命題與證明等）、“學(xué)科聯(lián)系”（指數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)）、“社會(huì)角色”（指數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義）、“審美娛樂”（指數(shù)學(xué)美，包括對(duì)稱美、奇異美、簡潔美、統(tǒng)一美等，以及趣味數(shù)學(xué)）、“多元文化”（指不同文明、不同地域的數(shù)學(xué)家在同一數(shù)學(xué)課題上的貢獻(xiàn)與意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)）[4]這五個(gè)維度體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、審美價(jià)值、文化價(jià)值。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）追根溯源，直擊問題

師：有句話說得好，足不出戶就可以觀世界。今天，我們就穿越時(shí)光來到古老的埃及。在這里，人們靠著尼羅河沖刷出的土地種植莊稼。但尼羅河的河水年年都會(huì)泛濫，所以每年人們都面臨同樣的問題——重新丈量土地、進(jìn)行公平劃分，因此，古埃及的人們開始了對(duì)面積的研究。現(xiàn)在就有這樣兩塊土地（如圖1），它們的面積分別是多少？要想知道它們的面積，需要測量什么？

平行四邊形的面積計(jì)算學(xué)生已知，學(xué)生猜測要計(jì)算三角形的面積需要測量底和高或三邊的長度。

師：計(jì)算三角形的面積到底應(yīng)該測量什么？又該如何計(jì)算呢？這節(jié)課我們就一起來研究。

（二）自主探究，構(gòu)建模型

1.探究直角三角形的面積

師生一起回憶平行四邊形面積的推導(dǎo)方法后，教師開始引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷以下思考。

師：研究三角形的面積可不可以也借助轉(zhuǎn)化思想呢？該怎樣轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化成什么圖形？先想一想，三角形按角分，可以分成什么？

生：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。

師：你們打算先研究哪種三角形的面積？

生：直角三角形，因?yàn)樗兄苯?，更容易轉(zhuǎn)化成長方形。

師：你們的想法和古代數(shù)學(xué)家的竟然不謀而合，很多數(shù)學(xué)家也是從直角三角形入手研究的……這就是數(shù)學(xué)研究中常用的方法，從特殊到一般。下面我們就先研究直角三角形的面積。

課件出示探究要求，學(xué)生探究后匯報(bào)交流，表2呈現(xiàn)了學(xué)生探究出的方法以及學(xué)生在教師引導(dǎo)下進(jìn)行方法對(duì)比的成果。

2.探究一般三角形的面積

引導(dǎo)學(xué)生借助直角三角形面積的研究經(jīng)驗(yàn)，探究銳角三角形和鈍角三角形的面積公式。

學(xué)生分別用割補(bǔ)法和倍拼法求出銳角三角形和鈍角三角形的面積計(jì)算公式，發(fā)現(xiàn)公式也是底×高÷2。

師：剛才我們用了割補(bǔ)法和倍拼法研究出了銳角和鈍角三角形的面積公式，除此之外，還有其他方法嗎？大家請(qǐng)看這種方法（出示圖2），我們可將銳角三角形或鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來進(jìn)行計(jì)算。

……

師：通過以上研究，我們得出直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的面積公式都是底×高÷2，所以，我們就可以說任意一個(gè)三角形的面積計(jì)算公式都是底×高÷2。如果用S表示三角形面積，a表示底，h表示高，面積公式如何用字母表示？（生答）

3.古今方法貫通

師：三角形的面積公式已經(jīng)研究出來了，我們帶著這個(gè)公式重新回到古埃及來解決土地問題，現(xiàn)在知道計(jì)算三角形的面積需要測量什么了嗎？

生：底和高。

師（指圖1）：當(dāng)我們解決了三角形面積計(jì)算的問題后，再來觀察這里的三角形和平行四邊形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：三角形和平行四邊形的底和高一樣長。

生：三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

師：你們不僅會(huì)推理更會(huì)觀察。在2300多年前，古希臘偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得也有與大家相似的結(jié)論“三角形的面積是與它等底等高的平行四邊形面積的一半”。西方的歐幾里得被譽(yù)為“幾何之父”，中國有一位被稱為“中國的歐幾里得”的數(shù)學(xué)家，知道是誰嗎？他就是我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽。他在數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)注》中記載了三角形面積的計(jì)算方法，大家看（師出示圖3），這種方法我們稱為割補(bǔ)法，它是用了哪種方式呢？

生：半高。

師：古代把底叫作廣，把高叫作正從，那這個(gè)半高也就是半正從，劉徽推導(dǎo)出的三角形面積公式是什么呢？

生：正從÷2×廣。

師：正從÷2也就是半正從。公式還可以寫成：半正從×廣。同樣的道理，他還用半底法得出了公式：正從×半廣，在這個(gè)方法里劉徽將多的部分稱為盈或者出，而補(bǔ)充的部分叫作虛或者入，所以這個(gè)方法也叫作“以盈補(bǔ)虛法”或者“出入相補(bǔ)法”。其實(shí)“以盈補(bǔ)虛法”或者“出入相補(bǔ)法”的原理就是我們今天用到的轉(zhuǎn)化思想。

4.拓展提升，余味課外

師：計(jì)算三角形的面積需要知道什么？

生：底和高。

師：必須知道底和高嗎？

生：必須。

（教師介紹海倫—秦九韶的方法，如圖4）

師：計(jì)算三角形的面積必須知道底和高嗎？

生：不是必須的。

師：對(duì)，同學(xué)們，條條道路通羅馬，解決問題的方法也不止一種，有時(shí)候我們換種角度可能會(huì)有不一樣的發(fā)現(xiàn)。這就是研究和思考帶給我們的成長。

四、結(jié)語

基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化教學(xué)，以數(shù)學(xué)史的梳理為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)史文化內(nèi)涵的挖掘和教學(xué)應(yīng)用為重點(diǎn)。與“三角形的面積”相關(guān)的史料豐富，涉及古埃及、古希臘、古代中國的數(shù)學(xué)成就。這些數(shù)學(xué)史料涵蓋了“知識(shí)源流”——比較清楚地記述了三角形面積的認(rèn)知?dú)v史;“社會(huì)角色”——反映了數(shù)學(xué)的使用價(jià)值，數(shù)學(xué)起源于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，被用于土地的分配;“審美娛樂”——盡管三角形的面積推導(dǎo)有兩種方法，但背后的數(shù)學(xué)思想都是轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美;“多元文化”——雖然三角形的面積推導(dǎo)都應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思想，但以古希臘為代表的西方數(shù)學(xué)和以古代中國為代表的東方數(shù)學(xué)在面積推導(dǎo)過程中表現(xiàn)出了不同的特點(diǎn)，展示了不同的文化特征。

在教學(xué)應(yīng)用中，我們基于對(duì)數(shù)學(xué)文化特征的深度挖掘，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，進(jìn)而重構(gòu)了知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程。以幾何學(xué)的起源為開端，順應(yīng)式地融入了古希臘等底等高的三角形與平行四邊形面積關(guān)系的命題;借助“由特殊到一般”的研究策略，從直角三角形的面積探究到銳角、鈍角三角形面積的探究，較為自然地探究出了割補(bǔ)的方法、倍拼的方法，特別是探究出了將三角形割補(bǔ)為平行四邊形的方法;在古今對(duì)照中，了解了古人的方法，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，拓展了知識(shí)面，原來也可由三邊長度得到三角形的面積。

基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化教學(xué)要以教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成為指向。學(xué)生在三角形面積計(jì)算的發(fā)展歷程中感受到了知識(shí)之諧;在面積推導(dǎo)的過程中，探究出了多種方法，體驗(yàn)了探究之樂，感受了方法之美;掌握了面積推導(dǎo)的多種方法，發(fā)展了幾何直觀能力、邏輯推理能力等關(guān)鍵能力;在古今中外方法的對(duì)比中，認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)是不同國家、不同民族共同創(chuàng)造的結(jié)果;在問題引領(lǐng)、合作探究的過程中，激發(fā)了好奇心與求知欲，提升了自信心。

奧地利物理學(xué)家、哲學(xué)家恩斯特·馬赫（Ernst Mach，1838—1916）曾說過：沒有任何科學(xué)教育可以不重視科學(xué)的歷史與哲學(xué)。哲學(xué)家培根說，讀史使人明智。數(shù)學(xué)史不只是人物和事件串聯(lián)成的故事，更是這些故事背后的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和精神?；跀?shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化教學(xué)讓我們體會(huì)到了歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文的溝通，學(xué)生在課堂中穿越時(shí)空，了解古今中外數(shù)學(xué)家的思想方法，樹立了文化自信和理論自信。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐乃楠，劉鵬飛.數(shù)學(xué)文化熱：歷史、意義與反思[J].自然辯證法通訊，2020（8）.

[2]汪曉勤.HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（7/8）.

[3]宋煜陽.基于學(xué)情，讓探索真正發(fā)生：“三角形的面積”教學(xué)思考與實(shí)踐[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2018（5）.

[4]余慶純，汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵實(shí)證研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（3）.

（山東省臨沂樸園小學(xué)? ?276000）