從一道幾何題證法談學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)

李阿皇

摘 要：隨著新課改的不斷推進(jìn)，加快學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)，成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)展的重要內(nèi)容。學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的要求，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要途徑。幾何證明題要求學(xué)生具有發(fā)散的幾何思維，才能更好地提高學(xué)習(xí)效率。本文以一道典型幾何證明題為例，就“一題多解”的深入分析，就如何實(shí)現(xiàn)學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)提出幾點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué); 核心素養(yǎng); 幾何證明; 發(fā)散思維; 培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? 文章編號(hào)：1006-3315（2021）7-016-002

幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生空間思維的重要載體。在幾何題證明中，不同的切入點(diǎn)，可以實(shí)現(xiàn)不同的證明方法，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)之下，教師的“教”要跳出傳統(tǒng)僵化的教學(xué)模式，在開放式多元化的教學(xué)空間，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維，在自主探究與嘗試中，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)的生成。因此，本文以一道典型幾何的不同證法研究，就如何實(shí)現(xiàn)學(xué)生發(fā)散思維能力培養(yǎng)，提出科學(xué)有效的教學(xué)策略。

【題】如圖1：在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)A作AG⊥ED交DE于F，交CD于點(diǎn)G.

（1）證明：G是DC的中點(diǎn);

（2）連結(jié)BF，證明：AB=FB.

整體分析：該題是一道典型的幾何題目。題目以正方形為載體，從垂直、中點(diǎn)等要素的構(gòu)建中，求證“G是DC的中點(diǎn)”、“AB=FB”。該題看上去比較復(fù)雜，多點(diǎn)、多線的情況之下，更高要求學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)，在知識(shí)的應(yīng)用中梳理幾何中的點(diǎn)與線，這是提高幾何證明能力的關(guān)鍵。對(duì)于（1）的證明，主要考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，“全等證明”的運(yùn)用，可以實(shí)現(xiàn)證明目標(biāo)。問題（2）相比而言具有一定難度，學(xué)生局限于現(xiàn)有的點(diǎn)與線，顯然無法獲得證明。因此，以發(fā)散的解題思維，在現(xiàn)有點(diǎn)與線的基礎(chǔ)之上作輔助線，是幾何證明的常用方法，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

問題（1）證明：

很顯然，問題（1）比較簡(jiǎn)單，學(xué)生只要儲(chǔ)備一定的理論知識(shí)，在證明的過程中，就可以很快明確“”的證明方向，即可完成證明目標(biāo)。

問題（2）證明：

第二題在證明的時(shí)候絕大部分的學(xué)生受限于能力和知識(shí)，考試的時(shí)候有很多學(xué)生想不出來。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，很大部分學(xué)生思維不發(fā)散，僅盯著正方形上現(xiàn)有的點(diǎn)與線，是無法獲得證明。學(xué)生要善于分析、發(fā)散思維，巧妙運(yùn)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”等數(shù)學(xué)知識(shí)，可實(shí)現(xiàn)證明目的。后經(jīng)思考和討論整理出下面幾個(gè)證明方法希望看到的學(xué)生能有所受益！

法一：

延長AB和DE，兩延長線交于G（圖2）

應(yīng)該說這樣的方法理論性最強(qiáng)也較容易被優(yōu)秀的學(xué)生所想到，但是學(xué)習(xí)成績一般的學(xué)生就不容易想到。因此，學(xué)生在幾何證明中，要具備扎實(shí)的理論知識(shí)，并且通過發(fā)散思維，在“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的理論應(yīng)用中，完成AB=FB的證明。

法二：

過F點(diǎn)作AC的平行線分別交CD和AB于M，N，（圖3）

于是由勾股定理可得BF=2a=AB.

本法證明思路是：用代數(shù)的方法表示數(shù)量關(guān)系，這也是證明相等的方法之一，也是常用的一種思維方式。從學(xué)生學(xué)習(xí)的情形來看，學(xué)生對(duì)于幾何的認(rèn)知有所偏見，認(rèn)為幾何與代數(shù)之間無聯(lián)系。其實(shí)，這種數(shù)學(xué)思維是錯(cuò)誤，代數(shù)也可以成為幾何證明的重要方法。在法二中，巧妙的通過F作AC的平行線分別交CD和AB于M，N，為代數(shù)關(guān)系比例的建立提供了條件，且整個(gè)證明過程比較簡(jiǎn)單，這在實(shí)際當(dāng)中，很大部分并未思考到這一證明法。因此，學(xué)生要轉(zhuǎn)變思想，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性、系統(tǒng)性應(yīng)用，提高幾何證明效率。

法三：

過B作BH⊥AG于H（圖4）

法四：

過B作CE的平行線交AG于M，交AC于H（圖5）

法三和法四應(yīng)該說有異曲同工之處，同的是：用到的證明依據(jù)都是線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;不同的是：輔助線的作法、切入點(diǎn)和角度不同，一個(gè)是用證三角形全等來證明線段的相等，一個(gè)是用平行線等分線段定理得到線段相等。

法五：

延長BF交CG于

本法的證明依據(jù)是等角對(duì)等邊，容易想到，但是具體操作有一定的空間思維要求，所以從這方面講就達(dá)到了鍛煉的有效作用。

法六：

連接AE（圖6）

本法的證明思路是利用等腰三角形相似得到線段的相等。因此，該法證明的關(guān)鍵，在于巧妙的構(gòu)建“△ABE∽△AFC”、“△ABF∽△AEC”，為理論的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。

以上幾個(gè)方法就是證明線段相等常見的方法：（1）等角對(duì)等邊;（2）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;（4）代數(shù)計(jì)算;（5）相等的傳遞性。以上是同一道題目從多個(gè)不同角進(jìn)行的證明，可以體現(xiàn)思維的發(fā)散性，以及對(duì)空間想象能力的培養(yǎng)和鍛煉，對(duì)學(xué)生們來說也是一種能力的提高。為此，從“一題多解”的闡述，筆者認(rèn)為，初中學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)，應(yīng)著力于以下教學(xué)的構(gòu)建。

一、強(qiáng)化理論知識(shí)學(xué)習(xí)，構(gòu)建發(fā)散思維的知識(shí)基礎(chǔ)

學(xué)生在學(xué)習(xí)中，實(shí)現(xiàn)發(fā)散思維的培養(yǎng)，關(guān)鍵在于強(qiáng)化理論知識(shí)學(xué)習(xí)，這是構(gòu)建發(fā)散思維的知識(shí)基礎(chǔ)。首先，學(xué)生要養(yǎng)成系統(tǒng)性學(xué)習(xí)習(xí)慣，扎實(shí)掌握基礎(chǔ)理論知識(shí)，為發(fā)散思維提供知識(shí)保障;其次，發(fā)散思維培養(yǎng)是一個(gè)過程，建立在理論知識(shí)的學(xué)習(xí)之上，能夠?yàn)橹R(shí)的拓展應(yīng)用提供基礎(chǔ)，促進(jìn)發(fā)散思維的有效培養(yǎng);再次，學(xué)生是教學(xué)的主體，教師的“教”要循序漸進(jìn)，針對(duì)學(xué)生的思維特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生建立正確的思維方向，提高學(xué)習(xí)效率與質(zhì)量。

二、圍繞核心素養(yǎng)培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)

當(dāng)前，圍繞核心素養(yǎng)培養(yǎng)，加快學(xué)科教學(xué)改革，成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的重要內(nèi)容。為更好地落實(shí)學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)，一是要明確核心素養(yǎng)的目標(biāo)導(dǎo)向性，從發(fā)散思維的培養(yǎng)中，不斷地提高教學(xué)效率及質(zhì)量;二是創(chuàng)設(shè)開放式的學(xué)習(xí)空間，引導(dǎo)學(xué)生在自主探究、大膽探索嘗試中實(shí)現(xiàn)發(fā)散思維的有效培養(yǎng);三是教師要發(fā)揮“學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者”角色，幫助學(xué)生跳出思維定勢(shì)，在拓展應(yīng)用、多元思考中滿足學(xué)生發(fā)散思維的需求。

三、善于觀察與思考，拓展解題的“視域”

觀察也是學(xué)習(xí)的一種方式與策略，對(duì)于初中生而言，在幾何題等的解答中，要善于觀察與思考，缺乏觀察的思考是無法成立的。為此，一方面學(xué)生要善于觀察，在觀察中尋找知識(shí)應(yīng)用點(diǎn)，進(jìn)而為深入思考應(yīng)用創(chuàng)造條件;另一方面，學(xué)生的解題思路要開闊，不能局限于現(xiàn)有的已知條件，而是要發(fā)散思維，主動(dòng)創(chuàng)造有利條件，促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的生成。

在新課改之下，加快推進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)，成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)展的重要內(nèi)容。發(fā)散思維作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，在教育學(xué)的構(gòu)建中，應(yīng)從學(xué)生的“學(xué)”中提高發(fā)散思維的能力，跳出傳統(tǒng)條框式學(xué)習(xí)方式。在本文研究中，通過“一題多解”的深入分析得出，初中學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)，關(guān)鍵在于掌握扎實(shí)的理論基礎(chǔ)知識(shí)，在逆向思維等的應(yīng)用中，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的巧妙應(yīng)用，也讓復(fù)雜的證明簡(jiǎn)單化，這是發(fā)散思維培養(yǎng)及應(yīng)用的重要意義。

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