工作記憶對心算影響的調(diào)查與分析

朱惠英,趙繼源,何男,王文義

(南寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 南寧 530100)

1 問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》指出，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運算能力，使其更好地解決問題[1]。數(shù)學(xué)運算能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要基礎(chǔ)，而心算在學(xué)生的數(shù)學(xué)運算過程中，發(fā)揮著重要的作用。在很大程度上，學(xué)生的心算能力體現(xiàn)其運算能力。

心算是指不使用任何外部工具，主要依靠大腦的思維、記憶直接算出得數(shù)的計算方式。而大腦的工作記憶，為心算過程提供了暫時性存儲和加工功能。所以在影響心算的眾多因素(如感知注意、知識經(jīng)驗等[2])當(dāng)中，工作記憶是一個重要的影響因素。許多研究都驗證并深入探究了這一點，但總結(jié)以往的研究發(fā)現(xiàn)，工作記憶對心算的影響研究的研究對象偏向于小學(xué)生[3,4]或20至79歲的成人[5]，且心算任務(wù)偏向于小學(xué)的整數(shù)加減法運算。

如果把研究對象聚焦到處于數(shù)學(xué)運算能力發(fā)展的關(guān)鍵時期——義務(wù)教育階段的學(xué)生，把心算任務(wù)聚焦到義務(wù)教育階段的基本運算內(nèi)容，如整數(shù)和小數(shù)四則運算、方程的運算、無理數(shù)的運算等，那么我們自然會問：(1) 工作記憶各要素如何影響學(xué)生的心算？(2) 工作記憶在不同年級學(xué)生心算中的表現(xiàn)有何差異？(3) 工作記憶在不同層次學(xué)生心算中的表現(xiàn)有何差異？本文將從工作記憶負(fù)載水平的視角，對上述三個問題進(jìn)行探索。

2 本研究的相關(guān)概念

2.1 心算與心算能力

本調(diào)查中，學(xué)生的心算是指學(xué)生不在頭腦以外任何地方留下演算痕跡，看著數(shù)學(xué)計算題，只經(jīng)過頭腦思考，直接將最終答案寫出來的計算方式；學(xué)生的心算能力通過學(xué)生的心算測驗成績來衡量，即其做對題數(shù)與整套試題的題數(shù)之比。

2.2 工作記憶負(fù)載水平

(1) 心算任務(wù)

工作記憶研究的一個主要方面為工作記憶廣度，即工作記憶容量。國內(nèi)外許多的研究都采用了數(shù)字工作記憶廣度任務(wù)[3]考察工作記憶。數(shù)字工作記憶廣度任務(wù)是指，讓被試盡可能正確計算并依次回憶所給定的10以內(nèi)加減法計算題(如3+2=？、6-3=？)的結(jié)果，實驗從1道計算題開始，逐漸增加題數(shù)，直到被試在所給的某幾道題中錯了2次時測驗結(jié)束。這樣的心算任務(wù)僅局限于考察學(xué)生的簡單加減計算能力和工作記憶廣度，并不能深入了解工作記憶在學(xué)生實際數(shù)學(xué)運算(如復(fù)雜加減法、方程等的計算)中的表現(xiàn)。因此，我們采用各年級的基本數(shù)學(xué)運算題作為心算任務(wù)。

(2) 試題所體現(xiàn)的工作記憶負(fù)載水平

工作記憶由視空間模板、語音環(huán)路、情節(jié)緩沖器和中央執(zhí)行系統(tǒng)四部分組成[4]，是對信息進(jìn)行暫時性存儲和加工(以下稱為操作)的容量有限的系統(tǒng)。所以，我們可以從對心算中間結(jié)果的暫時性存儲和操作這兩個過程來分析心算過程給學(xué)生帶來的“負(fù)擔(dān)”。因此，在衡量心算試題所需的工作記憶負(fù)載水平[3]時，我們考慮用同一時間內(nèi)學(xué)生所需記憶的最大單元總個數(shù)M與完成一道心算試題過程中對工作記憶單元進(jìn)行操作的總次數(shù)P之和，即M+P的值，來衡量試題的工作記憶負(fù)載水平。

例如小學(xué)心算“17×4=？”，同一時間內(nèi)學(xué)生所需記憶的最大單元總個數(shù)M為2，即記憶中間結(jié)果進(jìn)位的2和個位8；所需的操作總次數(shù)N為1，即進(jìn)行一次操作“2+1×4=6”，此時M+P=3。又例如初中心算“解方程：(x+2)2=25”，同一時間內(nèi)學(xué)生所需記憶的最大單元總個數(shù)M為1，即記憶中間結(jié)果±5；所需的操作總次數(shù)N為2，即進(jìn)行兩次操作“+5-2=3”和“-5-2=-7”，此時M+P=3。

3 研究過程

3.1 調(diào)查對象與手段

本次調(diào)查選取南寧市一所普通小學(xué)三、四、五年級以及南寧市一所普通初中七、八、九年級各一個班級的學(xué)生參與心算測試，共266名學(xué)生。將每個班級平時數(shù)學(xué)成績(期中成績與期末成績的平均成績)前20%的學(xué)生劃為優(yōu)等生，后20%的學(xué)生劃分為學(xué)困生，其余劃分為中等生，以便進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。在參與心算測試的學(xué)生中每年級選取6名學(xué)生(優(yōu)等生、中等生和學(xué)困生各2名)進(jìn)行心算測試的訪談。

3.2 測試題與訪談方案的設(shè)計

由于沒有現(xiàn)成的滿足測試需求的權(quán)威量表，本次測試根據(jù)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修改版)》以及所要調(diào)查年級學(xué)生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)進(jìn)度，編制了6套測試卷，即三、四、五、七、八、九年級的心算測試卷及訪談提綱各一份。

(1)試卷設(shè)計特點：(a) 為了適應(yīng)學(xué)生的心理特征，心算測試題的編排順序大致是由易到難的順序。心算測試卷限定在15分鐘以內(nèi)完成，每份試卷指定題目與題數(shù)。(b) 為比較各年級的心算表現(xiàn)，三、四、五年級保留一定的相同題目，初中七、八、九年級也保留一定的相同題目。各年級測驗試卷的克隆巴赫α信度系數(shù)都在0.7以上，表明測驗具有較好的信度，且測驗試卷的KMO值在0.637至0.761之間，表明各負(fù)載水平測驗試題之間的相關(guān)性較強，原有試題負(fù)載水平這一變量適合作因子分析。

(2)訪談設(shè)計特點：(a) 訪談緊接心算測試之后，對一名學(xué)生的訪談時間限定在5分鐘之內(nèi)。(b) 訪談對象為心算測驗中的6名不同層次的學(xué)生。(c) 訪談內(nèi)容為學(xué)生作答部分關(guān)鍵心算試題的具體心算步驟及答題中遇到的困難。

3.3 實施過程

(1)心算預(yù)測試

調(diào)查小組對各年級被選班級進(jìn)行心算測試后，統(tǒng)計每份試卷的正確率與所用時間；對學(xué)生認(rèn)為過于簡單和過于困難試題進(jìn)行適當(dāng)改動，確保試卷的信度與效度；對預(yù)測試流程中不合理的環(huán)節(jié)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整與完善。

(2)心算正式測試

將各年級的被試學(xué)生在約定的測試時間集中起來，之后發(fā)放不同年級的測試卷，并用秒表開始計時15分鐘，時間到即停止答題并收回測試卷。

(3)心算訪談

全班學(xué)生心算測試完畢后，緊接著對其中的6名不同層次的學(xué)生進(jìn)行心算訪談，并全程錄音。

(4)數(shù)據(jù)的收集與整理

將全體被試學(xué)生作答的測試試卷和訪談錄音按年級進(jìn)行收集整理，并剔除無效數(shù)據(jù)。之后將學(xué)生填寫的答案錄入Excel表格及spss25軟件，以統(tǒng)計和分析學(xué)生的作答情況。

4 研究結(jié)果

經(jīng)測驗和訪談，我們了解到學(xué)生心算試題的具體步驟及其工作記憶過程。對某些試題，由于運算習(xí)慣的不同，學(xué)生心算的工作記憶過程不盡相同。所以我們采用大部分學(xué)生心算試題的具體步驟、工作記憶過程以及答題情況來確定M+P的值，并將M+P的值劃分為三個等級，分別代表三個工作記憶負(fù)載水平。具體分法如下。

維度一低負(fù)載水平：0≤M+P≤2，0≤P≤1；

維度二中負(fù)載水平：2

維度三高負(fù)載水平：4

同一負(fù)載水平的心算試題給學(xué)生帶來的工作記憶“負(fù)擔(dān)”是相近的，因此可以通過計算同一負(fù)載水平試題的平均準(zhǔn)確率來反映學(xué)生在某一負(fù)載水平試題的表現(xiàn)情況。

4.1 M+P水平在不同層次學(xué)生中的差異

(1)M+P水平在小學(xué)同一年級不同層次學(xué)生中的差異

表1 方差齊性檢驗a

表2 Kruskal-Wallis檢驗a,b

以三年級為例，該年級所測班級有39人，其中優(yōu)等生9名，中等生23名，學(xué)困生7名。分別對三個維度上不同層次學(xué)生的準(zhǔn)確率進(jìn)行方差齊性檢驗。由表1可知：在低負(fù)載和中負(fù)載題目上，不同層次學(xué)生心算準(zhǔn)確率方差不齊，故采用非參數(shù)檢驗Kruskal-Wallis檢驗法，旨在從三個維度上分別進(jìn)行不同層次學(xué)生的心算準(zhǔn)確率差異分析。

由表2 Kruskal-Wallis檢驗得知：對于低負(fù)載水平的題目，不同層次學(xué)生的心算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異(χ2=9.988，p=0.007<0.05)；對于中負(fù)載水平的題目，不同層次學(xué)生心算準(zhǔn)確率之間具有顯著性差異(χ2=14.667，p=0.001<0.05)；對于高負(fù)載水平的題目，不同層次學(xué)生心算準(zhǔn)確率之間沒有顯著性差異(χ2=3.658，p=0.161<0.05)。為了進(jìn)一步明確不同層次學(xué)生在低負(fù)載水平上的差異與在中負(fù)載水平上的差異，進(jìn)行Games-Howell多重比較。結(jié)果如表3。

表3 Games-Howell多重比較

表3結(jié)果表明：在低負(fù)載水平的題目上，優(yōu)等生與中等生在5%的顯著水平上沒有顯著差異(μ=0.966,p=0.338>0.05)，中等生與學(xué)困生之間沒有統(tǒng)計學(xué)差異(μ=0.943，p=0.094>0.05)，優(yōu)等生與學(xué)困生之間有顯著性差異(μ=0.835,p=0.046<0.05)；對于中負(fù)載水平的題目，優(yōu)等生與中等生心算準(zhǔn)確率之間沒有顯著性差異(μ=0.873，p=0.290)，中等生與學(xué)困生心算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異(μ=0.789,p=0.018<0.05)，優(yōu)等生與學(xué)困生心算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異(μ=0.429,p=0.006)。

對三年級不同層次學(xué)生在各維度上的平均準(zhǔn)確率進(jìn)行統(tǒng)計，得到圖1。由圖1可知：隨著負(fù)載水平的升高，各層次學(xué)生的心算準(zhǔn)確率在不斷下降。其中，優(yōu)等生和中等生在中負(fù)載水平到高負(fù)載水平題目上的準(zhǔn)確率降幅較大，學(xué)困生在低負(fù)載到中負(fù)載題目上的準(zhǔn)確率降幅最大。優(yōu)等生和中等生的心算準(zhǔn)確率始終沒有明顯的差別；學(xué)困生與中等生在低負(fù)載水平、高負(fù)載水平試題上的心算準(zhǔn)確率均沒有明顯差別，但在中負(fù)載水平試題上的心算準(zhǔn)確率有明顯差別。

圖1三年級不同層次學(xué)生在不同負(fù)載題目上準(zhǔn)確率的對比

(2)M+P水平在初中同一年級不同層次學(xué)生中的差異

表4 方差齊性檢驗a

以九年級為例進(jìn)行不同層次的學(xué)生準(zhǔn)確率的方差分析，該年級所測班級有學(xué)生38人，其中優(yōu)等生7人，中等生23人，學(xué)困生8人。

由表4得知：在三個維度上，不同層次學(xué)生心算準(zhǔn)確率的方差都滿足齊性要求，因此可以分別對各維度上不同層次學(xué)生進(jìn)行ANOVA方差分析。由表5 ANOVA方差分析結(jié)果知：對于低負(fù)載水平的題目，不同層次的學(xué)生心算準(zhǔn)確率之間具有顯著性差異(F=6.971,R2=0.410,p=0.003<0.05)。對于中負(fù)載水平的題目，不同層次的學(xué)生心算準(zhǔn)確率有顯著性差異(F=5.489,R2=0.394,p=0.008<0.05)。對于高負(fù)載水平的題目，不同層次的學(xué)生心算準(zhǔn)確率之間也具有統(tǒng)計學(xué)差異(F=6.430,R2=0.284,p=0.004<0.05)。根據(jù)效應(yīng)量R2得知：隨著負(fù)載水平的升高，不同層次學(xué)生心算成績的差異更為顯著。

表5 ANOVA方差分析a

表6的結(jié)果表明：(1) 對于低負(fù)載水平的題目，優(yōu)秀生、中等生和學(xué)困生心算準(zhǔn)確率之間都有顯著性差異(p均小于0.05)。(2) 對于中負(fù)載水平的題目，優(yōu)秀生和中等生心算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異(p=0.005<0.05)，學(xué)困生與優(yōu)秀生之間具有統(tǒng)計學(xué)差異(p=0.005<0.05),學(xué)困生與中等生之間心算準(zhǔn)確率沒有統(tǒng)計學(xué)差異(p=0.590>0.05)。(3) 對于高負(fù)載水平的題目，優(yōu)秀生和中等生心算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異(p=0.002<0.05)，學(xué)困生與優(yōu)秀生之間具有統(tǒng)計學(xué)差異(p=0.005<0.05),學(xué)困生與中等生之間心算準(zhǔn)確率沒有統(tǒng)計學(xué)差異(p=0.811>0.05)。

表6 LSD多重比較

對九年級所測班級不同層次學(xué)生在不同負(fù)載水平題目上的平均準(zhǔn)確率進(jìn)行統(tǒng)計，得到圖2。由圖2可知：隨著負(fù)載水平的升高，各層次學(xué)生的心算準(zhǔn)確率在不斷下降。其中，中等生在低負(fù)載水平到中負(fù)載水平題目上的準(zhǔn)確率降幅最大。中等生與學(xué)困生在低負(fù)載水平上的心算準(zhǔn)確率差距較大，到高負(fù)載水平時中等生與學(xué)困生心算準(zhǔn)確率沒有明顯的差別。

圖2九年級不同層次學(xué)生在不同負(fù)載題目上準(zhǔn)確率的對比

4.2 M+P水平在不同年級學(xué)生中的差異

(1)M+P水平在小學(xué)不同年級學(xué)生中的差異

為分析M+P水平在小學(xué)不同年級學(xué)生中的差異性，統(tǒng)計小學(xué)三個年級每一個工作記憶負(fù)載水平所有試題的平均準(zhǔn)確率，并將三組數(shù)據(jù)導(dǎo)入spss25.

對三組數(shù)據(jù)進(jìn)行方差齊性檢驗發(fā)現(xiàn)方差不齊，故采用Kruskal-Wallis H檢驗，如表7、表8。結(jié)果表明：(1) 三、四、五年級在低負(fù)載水平的題目上沒有統(tǒng)計學(xué)差異(H=0.465，p=0.793)，根據(jù)秩次得知三年級準(zhǔn)確率最高，五年級準(zhǔn)確率最低(r三=63.36，r四=66.98，r五=61.83)。(2) 三、四、五年級在中負(fù)載水平的題目上有顯著性差異(H=6.327，p=0.042)，根據(jù)秩次得知三年級準(zhǔn)確率最高，五年級準(zhǔn)確率最低(r三=71.31，r四=69.00，r五=53.24)。(3) 三、四、五年級在高負(fù)載水平的題目上有顯著性差異(H=17.606，p=0.000)，根據(jù)秩次得知四年級準(zhǔn)確率最高，五年級準(zhǔn)確率最低(r三=67.38，r四=79.29，r五=47.17)。(4) 值得注意的是，在各負(fù)載水平題目上，五年級心算準(zhǔn)確率均為最低；高負(fù)載水平的試題上，四年級準(zhǔn)確率高于三年級。

表7 秩和檢驗

表8 檢驗統(tǒng)計a,b

(2)M+P水平在初中不同年級學(xué)生中的差異

分別對在低、中、高負(fù)載水平上不同年級的學(xué)生準(zhǔn)確率做方差齊性檢驗。由表9可得：在三個維度上不同年級學(xué)生心算準(zhǔn)確率的方差都滿足齊性要求。因此可以分別對在低、中、高負(fù)載題目上不同年級的學(xué)生心算準(zhǔn)確率進(jìn)行單因素方差分析。

表9 方差齊性檢驗a

表10ANOVA方差分析結(jié)果表明：在低負(fù)載水平的題目上，不同年級學(xué)生心算準(zhǔn)確率之間沒有統(tǒng)計學(xué)差異(F=2.405,R2=0.271,p=0.094>0.05)。在中負(fù)載水平的題目上，不同年級的學(xué)生心算準(zhǔn)確率之間有統(tǒng)計學(xué)差異(F=10.507,R2=0.913,p=0.000<0.05)。在高負(fù)載水平的題目上，不同年級學(xué)生心算準(zhǔn)確率之間有顯著性差異(F=18.722,R2=1.647,p=0.000<0.05)。

表10 ANOVA方差分析a

表11結(jié)果表明：(1) 在低負(fù)載水平的題目上，七年級和八年級心算準(zhǔn)確率之間沒有顯著性差異(p=0.204>0.05)，八年級和九年級準(zhǔn)確率也沒有顯著性差異(p=0.345>0.05)，七年級和九年級準(zhǔn)確率有顯著性差異(p=0.032<0.05)。(2) 在中負(fù)載水平的題目上，七年級和八年級心算準(zhǔn)確率之間沒有顯著性差異(p=0.132>0.05)，八年級和九年級準(zhǔn)確率具有統(tǒng)計學(xué)差異(p=0.003<0.05)，七年級和九年級準(zhǔn)確率有顯著性差異(p=0.00<0.05)。(3) 對于高負(fù)載水平的題目，七年級和八年級心算準(zhǔn)確率之間有統(tǒng)計學(xué)差異(p=0.000<0.05)，八年級和九年級準(zhǔn)確率沒有統(tǒng)計學(xué)差異(p=0.753>0.05)，七年級和九年級準(zhǔn)確率有顯著性差異(p=0.00<0.05)。根據(jù)均值可知：七年級的準(zhǔn)確率最高，

表11 LSD多重比較

九年級的準(zhǔn)確率最低。隨著年級的升高，準(zhǔn)確率都在不斷下降。(4) 值得注意的是，在同一負(fù)載水平試題上，初中生的心算準(zhǔn)確率隨年級升高而下降；在中負(fù)載水平題目上，八年級和九年級心算準(zhǔn)確率差距較大，而在高負(fù)載水平題目上準(zhǔn)確率沒有顯著差異。

4.3 同一年級期末成績與心算成績的相關(guān)性分析

(1)小學(xué)同一年級期末成績與心算成績的相關(guān)性分析

以三年級為例,分析結(jié)果如表12所示。表12中的期末成績指數(shù)學(xué)期末成績，下表同。

表12 三年級期末成績與心算成績的相關(guān)性分析

(2)初中同一年級期末成績與心算成績的相關(guān)性分析

下面以九年級為例，結(jié)果由表13所示。

表13 九年級期末成績與心算成績的相關(guān)性分析

研究結(jié)果表明：低負(fù)載心算的得分與期末成績之間具有較強的、正向的相關(guān)關(guān)系(ρ=0.752,N=38,p<0.05)。中負(fù)載心算的得分與期末成績之間具有較弱的相關(guān)性(ρ=0.574,N=38,p<0.05)。高負(fù)載心算的得分與期末成績之間具有較弱的相關(guān)性。總言之，期末成績越高的學(xué)生，低負(fù)載心算成績越高；期末成績高的學(xué)生，中負(fù)載和高負(fù)載心算成績不一定高，中負(fù)載和高負(fù)載心算成績高的學(xué)生，期末成績不一定高。

5 分析與討論

5.1 對M+P水平在不同層次學(xué)生中的差異的分析與討論

(1)隨著試題工作記憶負(fù)載水平的升高，平時數(shù)學(xué)成績越差的學(xué)生，其工作記憶性錯誤越多，即易于遺忘記憶單元或混淆記憶單元的位置。例如小學(xué)生心算128×6時，需在同一時間內(nèi)記憶4、8、1、2這四個數(shù)字，即M=4，并且操作一次2+4=6和一次1+1×6=7，即P=2，那么M+P=6，因此出現(xiàn)了很多工作記憶性錯誤，如錯答268、668、708、728等等。又例如初中生心算x2-16=0時，學(xué)生認(rèn)為8的平方為16，即將平方數(shù)的計算42=16與乘法計算2×8=16相混淆了。

(2)工作記憶的存儲過程和操作過程都影響著學(xué)生的心算過程。當(dāng)M值增大(特別是接近人的最大工作記憶容量4)時，學(xué)生就難以準(zhǔn)確無誤地存儲每一個記憶單元及其位置，也難以通過中央執(zhí)行系統(tǒng)調(diào)動相應(yīng)的記憶單元以實現(xiàn)下一步的操作；當(dāng)P值增大時，在操作過程中就會易于遺忘或混淆之前的記憶單元。一般地，平時數(shù)學(xué)成績越好的學(xué)生，工作記憶水平越高，工作記憶性錯誤越少，甚至沒有。這主要體現(xiàn)在其善于默讀記憶單元多次，通過語音環(huán)路加深大腦對記憶單元的記憶，通過視空間模板的空間成分加深大腦對記憶單元位置的記憶,也體現(xiàn)在其善于對記憶單元操作多次，通過中央執(zhí)行系統(tǒng)對這當(dāng)中的操作環(huán)節(jié)進(jìn)行有效監(jiān)控，正如學(xué)生通常會解釋說“想了好多遍”“劃掉好多次”等等。

(3)工作記憶性錯誤的具體表現(xiàn)與策略的選擇有關(guān)。不同層次的學(xué)生將選擇不同的策略，不同的策略帶來不同的工作記憶路徑和“負(fù)擔(dān)”，而策略的選擇受到情節(jié)緩沖器的影響。情節(jié)緩沖器[4]被認(rèn)為是兩個子系統(tǒng)(語音環(huán)路和視空間模板)和長時記憶間的交界，是一個可以利用多重編碼的有限的存儲系統(tǒng)[3]。也就是說，可以理解為學(xué)生在面對一道心算試題時，首先通過語音環(huán)路和視空間模板將試題信息存儲在大腦中，而后通過情節(jié)緩沖器聯(lián)系長時記憶，進(jìn)而使不同層次的學(xué)生選擇各自傾向的策略。對于2x2+x-1=0一題，初中生有三種策略可以采取，一是利用特殊值代入，這將使學(xué)生不斷試驗而易得到一個根，丟失另一個根；二是利用十字相乘法，進(jìn)入工作記憶負(fù)載水平較高的心算過程，易于產(chǎn)生混淆，例如得到錯誤結(jié)果1或-2；三是利用求根公式，由此進(jìn)入工作記憶負(fù)載水平非常高的心算過程，產(chǎn)生更多的錯誤。

5.2 對M+P水平在不同年級學(xué)生中的差異的分析與討論

(1)小學(xué)階段

(a) 在各負(fù)載水平題目上，五年級心算準(zhǔn)確率均為最低。五年級出現(xiàn)的小數(shù)運算增加了位數(shù)混淆的錯誤。例如，相比于三、四年級心算試題15+27的平均正確率92.9%、97.4%，五年級同負(fù)載試題1.5+2.7的平均正確率僅為88.9%，其中，0.32便是典型錯誤。

(b) 在高負(fù)載水平的試題上，四年級準(zhǔn)確率高于三年級。隨著年級的升高，學(xué)生得到的計算訓(xùn)練越多，其工作記憶系統(tǒng)越為完善，特別是中央執(zhí)行系統(tǒng)中的注意、控制和協(xié)調(diào)功能有所提高，加工自動化程度有所提升[4]。例如，對于同一負(fù)載水平試題128×6，四年級的平均正確率為71.4%，高于三年級的平均正確率48.7%。正如一位四年級學(xué)生解釋道：“這樣的題練得很多了，很快就知道答案了?！?/p>

(2)初中階段

5.3 對同一年級期末成績與心算成績的相關(guān)性分析的討論

(1)由期末成績與心算成績的相關(guān)性分析可知，在義務(wù)教育階段，學(xué)生的期末成績與心算成績間具有一定的相關(guān)性，一般情況下，期末考試成績越高的學(xué)生，心算成績越高；但心算成績高的學(xué)生，期末成績不一定高。這是因為存在期末成績與心算成績不相一致的反常情況。例如，一位五年級學(xué)困生的心算準(zhǔn)確率為93.3%超過了一位優(yōu)等生的心算準(zhǔn)確率86.7%。結(jié)合實際，這并不難解釋，有的學(xué)困生在平時的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)表現(xiàn)中，其綜合分析和應(yīng)用能力較差，但其基本計算能力較強，能夠達(dá)到優(yōu)等生的計算水平。

(2)相比之下，初中階段的相關(guān)性比小學(xué)階段較強一些，表明初中階段的這一反?，F(xiàn)象較少。從工作記憶的角度來解釋，我們猜測這是因為：(a) 小學(xué)生的工作記憶系統(tǒng)還不完善，工作記憶水平有待提高，學(xué)生處于心算能力發(fā)展的波動期，其發(fā)展趨勢具有不穩(wěn)定性；(b) 初中生的工作記憶系統(tǒng)已經(jīng)相對完善，其工作記憶水平不再提高，心算能力發(fā)展水平逐漸趨于穩(wěn)定。

5.4 M+P值與數(shù)字工作記憶廣度

在以往的研究[3～6]中，心算任務(wù)的工作記憶“負(fù)擔(dān)”大小是通過測量學(xué)生的數(shù)字工作記憶廣度來衡量的，而本研究是通過試題的M+P值來衡量的，兩種研究方式既有聯(lián)系又有區(qū)別。兩者的區(qū)別在于：(1) 以往研究中的工作記憶“負(fù)擔(dān)”僅體現(xiàn)了存儲過程中工作記憶容量帶來的影響，而研究中的工作記憶“負(fù)擔(dān)”還體現(xiàn)了加工過程中的操作環(huán)節(jié)帶來的影響；(2) 以往的研究測量出了學(xué)生的最大數(shù)字工作記憶廣度(約為6±2)，而本研究未測量出學(xué)生所能承受的最大M+P值。兩者的聯(lián)系在于：(1) 兩種方式都試圖從工作記憶的存儲和加工兩個方面設(shè)計心算任務(wù)以探究工作記憶對心算的影響機制；(2) 兩種方式都試圖量化工作記憶“負(fù)擔(dān)”的大小以觀察學(xué)生在不同工作記憶“負(fù)擔(dān)”下的表現(xiàn)；(3) 從工作記憶“負(fù)擔(dān)”的最大值上看，數(shù)字工作記憶廣度的最大值為6+2=8時，表示學(xué)生在心算第8個簡單計算題時，工作記憶中已經(jīng)有先前記住的7個記憶單元，這時的M+P值為7+1=8，而本研究心算任務(wù)的M+P值最高不超過7，這也與以往研究的最大數(shù)字工作記憶廣度8相近，具有一定的合理性。

5.5 工作記憶性錯誤的相關(guān)解釋

本研究提到的工作記憶性錯誤與前人在心算的研究中所定義的錯誤類型具有一致性，但說法有所不同。本文的工作記憶性錯誤主要分為兩類，即工作記憶性遺忘和工作記憶性混淆。回顧以往相關(guān)文獻(xiàn)可知，工作記憶性混淆這一錯誤類型已有前人[7,8]提及，下面通過具體的例子進(jìn)行分析：(1) 例如7×9=56的錯誤屬于本文提到的工作記憶性混淆，具體為對長時記憶7×8=56和7×9=63的提取出現(xiàn)混淆；也屬于McCloskey等研究者所列的操作數(shù)錯誤，即錯誤答案是另外一道與本題有一個相同操作數(shù)問題的答案，因為56是7×8的答案；還屬于Barnes等提出的事實提取錯誤，因為乘法事實為7×9=63。(2) 例如17×4=58的錯誤屬于本文中提到的工作記憶性混淆，具體為混淆進(jìn)位數(shù)；也屬于Barnes等提出的程序錯誤，即進(jìn)位錯誤。(3) 例如82=16的錯誤屬于本文中提到的工作記憶性混淆錯誤，具體指混淆平方數(shù)的計算與乘法；也屬于McCloskey等研究者所列的算法錯誤。

可見，本研究的工作記憶性錯誤說法涵蓋范圍較廣，在一定程度上囊括了前人所提及的錯誤類型。比如2×4=6，從前人歸結(jié)的錯誤類型來看，可以被視作操作數(shù)錯誤，因為可以看作學(xué)生將題目當(dāng)作了2×3來做；也可以被視作算法錯誤，因為可以看作學(xué)生將題目當(dāng)作了2+4來做。但從本文的錯誤類型來看，2×4=6屬于工作記憶性混淆，具體為對長時記憶2×3=6和2×4=8的提取出現(xiàn)混淆或者對算法(加法和乘法)的混淆。此外，本文的工作記憶錯誤類型在加減乘除、解方程等運算中都適用，這在一定程度上彌補了McCloskey的劃分限定在個位數(shù)加法和乘法的范圍內(nèi)的缺陷[4]。

6 研究結(jié)論和建議

6.1 研究結(jié)論

本研究得到的結(jié)論主要有：(1) 在義務(wù)教育階段，隨著心算試題負(fù)載水平的升高，各層次學(xué)生的心算準(zhǔn)確率都在不斷下降。(2) 工作記憶性錯誤的具體表現(xiàn)與策略的選擇有關(guān)，不同層次的學(xué)生將選擇不同的策略，不同的策略帶來不同的工作記憶路徑和“負(fù)擔(dān)”，而情節(jié)緩沖器影響著策略的選擇。(3) 學(xué)生的工作記憶水平受到訓(xùn)練程度以及心態(tài)的影響。(4) 期末成績與心算成績間具有一定的相關(guān)性，較小學(xué)而言，初中的相關(guān)性更高。

6.2 建議

針對研究結(jié)果，本文提出如下教學(xué)建議：(1) 教師的課堂應(yīng)當(dāng)精益求精、詳略得當(dāng)；教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生課后多總結(jié)與復(fù)習(xí)，以減少對知識的遺忘。(2) 注意強調(diào)新舊知識的區(qū)別與聯(lián)系，以避免出現(xiàn)知識、算法的混淆。(3) 加強學(xué)生的數(shù)學(xué)運算訓(xùn)練，增強學(xué)生的數(shù)感，以調(diào)整學(xué)生面對復(fù)雜運算時的不良心態(tài)。(4) 注意讓學(xué)生掌握更多的運算策略，以優(yōu)化計算，更好地幫助解決問題。