基于測(cè)角-測(cè)距誤差對(duì)直伸導(dǎo)線的精度影響研究

劉春榮

（安徽省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查局327地質(zhì)隊(duì)，安徽合肥 230011）

0 引言

導(dǎo)線測(cè)量是在工程控制測(cè)量過程中最主要的方法之一，具有布設(shè)方法靈活，推進(jìn)過程快速，受地形因素限制較小的優(yōu)點(diǎn)。近些年，隨著我國(guó)礦業(yè)工程的可持續(xù)發(fā)展，產(chǎn)生的地下工程安全生產(chǎn)與建設(shè)也備受關(guān)注，而保證地下工程安全生產(chǎn)與建設(shè)的空間基礎(chǔ)是建立高精度的地下控制網(wǎng)，因此研究導(dǎo)線控制網(wǎng)的距離和角度的誤差對(duì)導(dǎo)線精度的影響具有重要的意義。為解決測(cè)角、測(cè)距誤差問題，科研工作者根據(jù)最小二乘法原理進(jìn)行數(shù)據(jù)平差處理，來提高控制網(wǎng)的精度。

本文結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)及方法，運(yùn)用實(shí)證分析法來分析檢驗(yàn)測(cè)角、測(cè)距對(duì)直伸導(dǎo)線的精度影響，通過相關(guān)的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算，結(jié)合合理的模型、統(tǒng)計(jì)和最小二乘法分析來驗(yàn)證測(cè)角、測(cè)距對(duì)直伸導(dǎo)線的精度影響，通過分析結(jié)果，提出提高導(dǎo)線控制測(cè)量精度的相關(guān)建議。

1 測(cè)角、測(cè)距誤差來源與分析

1.1 測(cè)角誤差來源

直伸導(dǎo)線中測(cè)角誤差主要分三種。第一種是儀器本身存在缺陷產(chǎn)生誤差，也稱為系統(tǒng)誤差；第二種是在測(cè)量讀數(shù)和瞄準(zhǔn)的過程中由于視線偏差，產(chǎn)生了不準(zhǔn)確的測(cè)量成果所產(chǎn)生的誤差，包括覘標(biāo)、儀器的中心與測(cè)站中心不在同一鉛垂線上，產(chǎn)生的對(duì)中誤差，同時(shí)也包括前后視邊長(zhǎng)變化產(chǎn)生調(diào)焦鏡運(yùn)行誤差等等統(tǒng)稱為偶然誤差；第三種是由于外界條件的變化因素引起的誤差。

1.2 測(cè)距誤差來源

采用全站儀進(jìn)行導(dǎo)線測(cè)距，就會(huì)產(chǎn)生一系列的測(cè)距誤差。光電測(cè)距儀的相位法測(cè)距的基本公式如下所示：

式中

N

為整尺數(shù)，

f

為測(cè)尺頻率，

C

為真空中的光速，

n

為空氣折射率，

φ

為相位。

根據(jù)誤差傳播定律可得測(cè)距誤差：

此式是測(cè)距儀的測(cè)距誤差公式，誤差主要有：光速

C

在傳播過程中的傳播誤差；大氣折射率

n

折射誤差；以及儀器內(nèi)部的晶體震蕩頻率誤差，且此誤差主要與測(cè)距

D

成比例關(guān)系。測(cè)距誤差還包括加常數(shù)誤差

mk

及

ml

、周期誤差，同時(shí)還有測(cè)量過程中所產(chǎn)生的反射棱鏡、偏心誤差、照準(zhǔn)誤差等。

1.3 測(cè)角、測(cè)距誤差對(duì)直伸導(dǎo)線精度的影響

導(dǎo)線測(cè)量過程中的測(cè)角誤差主要與導(dǎo)線的測(cè)站數(shù)量成正比。將兩條導(dǎo)線進(jìn)行比較，如果它們的測(cè)角精度相同，且測(cè)站數(shù)目和總長(zhǎng)度也類似時(shí)，則此時(shí)對(duì)導(dǎo)線誤差影響最大的是導(dǎo)線布設(shè)時(shí)的形狀。此時(shí)測(cè)角誤差對(duì)直伸導(dǎo)線的影響最大，對(duì)曲折導(dǎo)線的影響其次，而對(duì)閉合導(dǎo)線的影響是最小的。

導(dǎo)線測(cè)量過程中測(cè)距誤差與偶然誤差的系數(shù)成正比，與導(dǎo)線的總體長(zhǎng)度成反比關(guān)系。測(cè)距誤差對(duì)長(zhǎng)度較長(zhǎng)的導(dǎo)線影響的比重較小，但同時(shí)測(cè)距系統(tǒng)誤差產(chǎn)生影響的是與導(dǎo)線的形狀有關(guān)。

總的來說，導(dǎo)線的整體精度是與測(cè)角、測(cè)邊的精度以及導(dǎo)線的實(shí)際形狀和測(cè)站數(shù)以及其位置有關(guān)。

2 直伸導(dǎo)線縱橫向中誤差估算與平差

導(dǎo)線測(cè)量過程中可將誤差分為橫向誤差和縱向誤差，縱向誤差的方向在理論上大致平行于導(dǎo)線延伸的方向，橫向誤差的方向在理論上與縱向誤差方向相垂直。對(duì)直伸導(dǎo)線縱、橫向中誤差研究估算，有利于確定控制網(wǎng)縱、橫向中誤差對(duì)地下隧道施工開挖時(shí)的最大容許貫通誤差的影響，且根據(jù)此誤差規(guī)律確定導(dǎo)線測(cè)量的精度變化規(guī)律，可確保導(dǎo)線控制網(wǎng)滿足施工放樣和建筑安裝的要求。

2.1 直伸導(dǎo)線各邊角度誤差

計(jì)算導(dǎo)線點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，推算各邊角。第

i

條邊的方向角

α

按下式計(jì)算：

根據(jù)誤差傳播定律可得測(cè)角誤差為：

2.2 直伸導(dǎo)線的測(cè)邊誤差

本文假定邊長(zhǎng)觀測(cè)值中沒有固定誤差（系統(tǒng)誤差），在比例系數(shù)已經(jīng)確定的情況下，測(cè)距誤差主要與距離有關(guān)。則根據(jù)已有公式：

測(cè)距誤差=固定誤差+比例誤差×距離，其誤差表達(dá)式見公式（2）。

2.3 縱橫向中誤差估算公式的推導(dǎo)

如圖1所示A、B為起始點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（

X

,

Y

），A至B的坐標(biāo)方位角

α

為起算方位角。

s

、

s

、

s

、

s

……為各導(dǎo)線邊的邊長(zhǎng)，∠1、∠2……為各邊的夾角，則此時(shí)計(jì)算導(dǎo)線上某點(diǎn)的坐標(biāo)為橫向與縱向誤差的步驟如下：

圖1 當(dāng)導(dǎo)線沿X方向布設(shè)時(shí)形狀Figure 1.The form of traverses laid out in the X direction

第

n

個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：

設(shè)起算點(diǎn)坐標(biāo)為無誤差的數(shù)值，對(duì)以上坐標(biāo)公式取全微分并應(yīng)用誤差傳播定律經(jīng)整理后得:

其中

m

、

m

分別為測(cè)距中誤差和測(cè)角中誤差。

2.4 附合導(dǎo)線平差計(jì)算

假如附合導(dǎo)線A、B、C、D為已知點(diǎn)，1、2、3….等點(diǎn)為未知點(diǎn)，未知點(diǎn)數(shù)

P

個(gè)。觀測(cè)總數(shù)（

n

）=角度觀測(cè)數(shù)（

P

+2）+邊長(zhǎng)觀測(cè)數(shù)（

P

+1）=2

P

+3，其中必要觀測(cè)數(shù)（

t

）=未知數(shù)×2=2

P

，多余觀測(cè)數(shù)（

r

）=

n

-

t

，根據(jù)這些條件，本文采用條件平差，可以列出3個(gè)條件方程：

將上述3個(gè)方程線性化，將觀測(cè)值代入線性化的的3個(gè)式子中得到改正數(shù)的條件方程，計(jì)算得到的平差值及每個(gè)點(diǎn)平差后的近似坐標(biāo)，并檢驗(yàn)進(jìn)行精度評(píng)定。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)仿真

實(shí)驗(yàn)根據(jù)圖1的導(dǎo)線形式，隨機(jī)模型模擬生成100組單一導(dǎo)線邊角帶有相同測(cè)邊中誤差和測(cè)角中誤差的數(shù)據(jù)。確定真值向量，在導(dǎo)線布設(shè)時(shí)，已知點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，未知點(diǎn)個(gè)數(shù)為46個(gè)，分別沿

X

方向和

Y

方向每隔100m布設(shè)一個(gè)點(diǎn)，每相鄰三點(diǎn)構(gòu)成的兩條直線的夾角為180°，則附合導(dǎo)線在沿

X

方向情況下的已知點(diǎn)坐標(biāo)值分別為A（0，0）、B（100，0）、…、C（4800，0）、D（4900，0）。沿

Y

方向情況下的已知點(diǎn)坐標(biāo)值分別為A（0，0）、B（0，100）、…、C（0，4800）、D（0，4900），在這種情況下每個(gè)待定點(diǎn)坐標(biāo)的真值都是已知的，并在每個(gè)真值上隨機(jī)生成誤差觀測(cè)值。

按照條件法進(jìn)行平差，得到待定點(diǎn)坐標(biāo)平差后的估值，求得每一組的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與真值之間的差值即真誤差。同時(shí)根據(jù)誤差傳播定律也可以得到另外一組點(diǎn)位中誤差。本文采用均方根誤差和中誤差分析誤差的規(guī)律性。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文仿真實(shí)驗(yàn)的導(dǎo)線布設(shè)分別按

Y

方向和

X

方向布設(shè)。當(dāng)沿

Y

方向布設(shè)時(shí)，導(dǎo)線測(cè)量過程中的橫向誤差為

X

方向的誤差，縱向誤差為

Y

方向上的誤差；當(dāng)沿

X

方向布設(shè)時(shí)，則反之。通過100組數(shù)據(jù)算得沿

X

方向、沿Y方向的均方根誤差以及點(diǎn)位中誤差如圖2～圖9所示：

圖2 當(dāng)沿Y方向時(shí)縱向均方根與中誤差Figure 2.Vertical root mean square and mean square error when laid out in the Y direction

圖9 當(dāng)沿X方向時(shí)橫縱向中誤差Figure 9.Horizontal and vertical mean square errors when laid out in the X direction

從圖2、圖3、圖4、圖5中，可以得出導(dǎo)線在沿任意方向傳播時(shí)中誤差均小于均方根誤差，說明經(jīng)平差計(jì)算后導(dǎo)線在各方向上的誤差都變小，且優(yōu)于均方根誤差計(jì)算。從圖6、圖7、圖8、圖9中，可以得出無論是采用均方根誤差計(jì)算還是平差計(jì)算，其測(cè)角引起的橫向誤差都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于測(cè)距引起的縱向誤差，且中誤差均小于均方根誤差。

圖3 當(dāng)沿X方向時(shí)縱向均方根與中誤差Figure 3.Vertical root mean square and mean square error when laid out in the X direction

圖4 當(dāng)沿Y方向時(shí)橫向均方根與中誤差Figure 4.Horizontal root mean square and mean square error when laid out in the Y direction

圖5 當(dāng)沿X方向時(shí)橫向均方根與中誤差Figure 5.Horizontal root mean square and mean square error when laid out in the X direction

圖6 當(dāng)沿Y方向時(shí)橫縱向均方根誤差Figure 6.Horizontal and vertical root mean square errors when laid out in the Y direction

圖7 當(dāng)沿X方向時(shí)橫縱向均方根誤差Figure 7.Horizontal and vertical root mean square errors when laid out in the X direction

圖8 當(dāng)沿Y方向時(shí)橫縱向中誤差Figure 8.Horizontal and vertical mean square errors when laid out in the Y direction

同時(shí)根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得出橫向誤差、縱向誤差在導(dǎo)線中部時(shí)形成的誤差達(dá)到了最大，這也滿足誤差的累積傳播規(guī)律即平差計(jì)算后導(dǎo)線精度最弱點(diǎn)在導(dǎo)線中間部分，因此在直伸導(dǎo)線中受測(cè)角和測(cè)距誤差影響最大的點(diǎn)在導(dǎo)線的中點(diǎn)。在直伸導(dǎo)線沿

X、Y

方向傳播時(shí)根據(jù)圖8和圖9，可以發(fā)現(xiàn)兩種情況下的點(diǎn)位中誤差的最大值以及變化的基本趨勢(shì)基本一致。因此可以得出：測(cè)角、測(cè)距誤差對(duì)直伸導(dǎo)線的影響與導(dǎo)線布設(shè)的形式無關(guān)，無論導(dǎo)線的方向如何變化，測(cè)角、測(cè)距誤差對(duì)導(dǎo)線精度影響規(guī)律不變。

通過實(shí)驗(yàn)可以看出，在直伸導(dǎo)線中測(cè)角產(chǎn)生誤差對(duì)導(dǎo)線精度的影響較大，測(cè)距誤差對(duì)導(dǎo)線的影響較小。

4 結(jié)論

本文通過誤差來源的分析，主要研究了導(dǎo)線測(cè)量過程中的測(cè)角、測(cè)距誤差對(duì)導(dǎo)線測(cè)量精度的影響，實(shí)驗(yàn)證明，測(cè)角、測(cè)距誤差對(duì)直伸導(dǎo)線的影響與導(dǎo)線布設(shè)的形式無關(guān)，無論導(dǎo)線的方向如何變化，測(cè)角、測(cè)距誤差對(duì)導(dǎo)線精度影響規(guī)律不變，且在直伸導(dǎo)線中測(cè)角產(chǎn)生誤差對(duì)導(dǎo)線精度的影響較大，測(cè)距誤差對(duì)導(dǎo)線的影響較小。采用平差計(jì)算方法可以優(yōu)化誤差結(jié)果，提供測(cè)量精度。

因此，在井下坑道進(jìn)行導(dǎo)線測(cè)量時(shí)，應(yīng)盡量布設(shè)邊長(zhǎng)大致相等的直伸導(dǎo)線，在縮小測(cè)角、測(cè)距誤差的同時(shí)，采取必要的措施減少導(dǎo)線測(cè)量中偶然誤差的影響也非常重要。