數(shù)學(xué)廣角中培養(yǎng)學(xué)生“模型思想”的有效情境

張義紅

摘 要：數(shù)學(xué)廣角是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書從二年級(jí)上冊(cè)開始新增設(shè)的一個(gè)單元，本單元的目標(biāo)是使學(xué)生接觸最基本的數(shù)學(xué)思想和方法，獲得探索數(shù)學(xué)知識(shí)、解決問題的基本方法并提升數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)廣角教學(xué)的核心思想是培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想”，而“模型思想”的培養(yǎng)離不開有效的情境。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)廣角;模型思想;有效情境

一、幫助學(xué)生建立“植樹問題”中模型思想的問題對(duì)比情境

在“植樹問題”中，最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，如何讓學(xué)生理解從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程是教學(xué)“植樹問題”的核心。教學(xué)中可采用問題對(duì)比情境促進(jìn)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，如問題（1）：20米，5米分一段，共分幾段？這個(gè)問題是二年級(jí)學(xué)的平均分，對(duì)五年級(jí)學(xué)生來說借用以往的經(jīng)驗(yàn)可以輕松得出答案20÷5=4（段），且容易解釋列式的原因是平均分，也易畫出線段圖。出示對(duì)比問題（2）：20米，5米種樹1棵，共種幾棵？引發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)而動(dòng)手操作，在第一問的線段圖上種一種，學(xué)生得出共種5棵。為什么呢？對(duì)比兩個(gè)問題找出共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，兩個(gè)問題的共同點(diǎn)都是平均分，20米每5米為一段（一個(gè)間隔），都是平均分成4段，為什么種5棵樹呢，因?yàn)闃涫欠N在線段圖的點(diǎn)上，一棵樹對(duì)應(yīng)一條線段（間隔），最后一棵樹后沒有線段（間隔），所以共種20÷5+1=5（棵）。這樣的問題對(duì)比情境讓學(xué)生深刻建立起兩端都種時(shí)的數(shù)量關(guān)系模型：棵樹=間隔數(shù)+1，再次觀察線段圖一端種一端不種時(shí)剛好一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，這樣很容易得出一端種一端不種的關(guān)系模型：棵數(shù)=間隔數(shù)，同樣根據(jù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系再次建立起兩端都不種的關(guān)系模型：棵數(shù)=間隔數(shù)-1。而封閉線路植樹可以展開線路轉(zhuǎn)化為一端種一端不種的情況。在學(xué)生知其所以然的基礎(chǔ)上建立起模型后，再次通過手指情境增強(qiáng)對(duì)“植樹問題”三種模型的鞏固記憶。而隱含的“植樹問題”如何對(duì)應(yīng)上關(guān)系模型呢？主要是思考問題中有沒有點(diǎn)段對(duì)應(yīng)。如鋸木頭，鋸在點(diǎn)上，鋸下的每段為線段（間隔），則有點(diǎn)線段的對(duì)應(yīng)，并且木頭兩端不鋸，進(jìn)而對(duì)應(yīng)上兩端都不種的關(guān)系模型;再如鈴聲問題，鈴聲響的時(shí)間在點(diǎn)上，兩次鈴聲間的時(shí)長(zhǎng)屬于段（間隔），則有點(diǎn)段對(duì)應(yīng)，進(jìn)而對(duì)應(yīng)上兩端都種的關(guān)系模型;再如上樓問題，兩層樓間的步行時(shí)長(zhǎng)屬于段，到達(dá)的每層屬于點(diǎn)，有點(diǎn)段對(duì)應(yīng)，行走的第一層和最后一層間的時(shí)長(zhǎng)屬于兩端都種的問題。這里的問題對(duì)比情境使得學(xué)生在知其所以然的基礎(chǔ)上建立起了數(shù)學(xué)模型，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效情境。

二、幫助學(xué)生建立“抽屜原理”中模型思想的操作情境

“抽屜原理”又被稱為“狄利克雷原理”或“鴿巢原理”，其來源于一個(gè)基本的數(shù)學(xué)事實(shí)，這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)可以通過操作情境讓學(xué)生感悟出：把多于kn（k是正整數(shù)）個(gè)元素按任一確定的方式分成n個(gè)集合，那么一定有一個(gè)集合中，至少有（k+1）個(gè)元素的數(shù)學(xué)模型。這里的操作情境可以讓學(xué)生在課堂上真實(shí)操作。如下：把3本書放到兩個(gè)抽屜里，你會(huì)怎么放呢？學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn)：要么在一個(gè)抽屜里放2本書，而另一個(gè)抽屜里放1本書;要么在一個(gè)抽屜里放3本書，而另一個(gè)抽屜里不放。課堂上根據(jù)不同學(xué)生的匯報(bào)得出結(jié)論：不管是哪種情況，一定有一個(gè)抽屜里放入了至少2本書。雖然我們無法斷定哪個(gè)抽屜里放入了至少2本書，但這并不影響結(jié)論。然后將操作情境中的數(shù)變大，如把4本書放進(jìn)三個(gè)抽屜內(nèi)或把7本書放進(jìn)三個(gè)抽屜，通過多次操作，讓學(xué)生感悟模型：一定有一個(gè)抽屜里至少放幾本書的結(jié)論要考慮平均分這個(gè)最不利的因素，那么一定有一個(gè)抽屜里至少放入了（每份數(shù)+1）本書。當(dāng)然操作情境中的書可以換成鉛筆、小動(dòng)物、數(shù)等，操作情境中的抽屜可以換成對(duì)應(yīng)的筆筒、巢穴或數(shù)的集合等。如把3支筆放入兩個(gè)筆筒內(nèi)，一定有一個(gè)筆筒內(nèi)放入了至少2支筆;再如3支鳥飛入兩個(gè)巢內(nèi)，一定有一個(gè)巢內(nèi)飛入了至少2只鳥等，但是課堂教學(xué)時(shí)選取學(xué)生易操作的情境有助于學(xué)生建立起其中的數(shù)學(xué)模型。

三、幫助學(xué)生建立“烙餅問題”中模型思想的類比情境

烙餅問題屬于優(yōu)化問題，其本質(zhì)是“鍋”內(nèi)空間的充分運(yùn)用，如“鍋”內(nèi)最多能放兩張餅，每次總要有兩個(gè)面接觸“鍋”就充分運(yùn)用了空間，從“烙的餅數(shù)”共有幾個(gè)面而輕松算出“烙餅”時(shí)間。但是奇數(shù)張“餅”如何做到每次總有兩個(gè)面接觸“鍋底”呢，需要學(xué)生實(shí)際操作才能領(lǐng)會(huì)，而廚房的情境無法搬進(jìn)教室，課堂中可用學(xué)生的手類比“餅”，手心、手背類比“餅”的正反面，可黑板畫圓類比“鍋”，通過操作讓學(xué)生感知交替式“烙餅”可以實(shí)現(xiàn)每次烙兩面。這樣的類比操作情境促使學(xué)生建立起數(shù)學(xué)模型。

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