手持振動(dòng)機(jī)械與手臂耦合系統(tǒng)主共振研究

楊志安，王思奇，李高峰

(1. 唐山學(xué)院 a.唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.基礎(chǔ)部，河北 唐山 063000；2.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

手臂系統(tǒng)生物力學(xué)是理解振動(dòng)引起疾病機(jī)制和評(píng)估振動(dòng)暴露風(fēng)險(xiǎn)的重要基礎(chǔ)。手是一個(gè)可儲(chǔ)存動(dòng)能與勢(shì)能的彈性體，當(dāng)手握振動(dòng)機(jī)械手柄時(shí)，激勵(lì)系統(tǒng)(手柄)與被激勵(lì)系統(tǒng)(手)會(huì)發(fā)生能量的轉(zhuǎn)移，由于手有阻尼會(huì)導(dǎo)致儲(chǔ)存的勢(shì)能以動(dòng)能形式耗散，即手的組織會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。產(chǎn)生的熱量會(huì)對(duì)手的組織、血管等產(chǎn)生傷害，長此以往會(huì)導(dǎo)致部分使用振動(dòng)機(jī)械的人患雷諾氏癥(白指病)。為深入研究人體手臂振動(dòng)與白指病發(fā)病機(jī)理的關(guān)系，需建立手持振動(dòng)機(jī)械與人體手臂耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程。手臂系統(tǒng)中有很多非線性特性存在[1]，為了使人體手臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型更加準(zhǔn)確，不能忽略非線性因素。

文獻(xiàn)[2-3]建立了手臂系統(tǒng)線性模型，并分析了不同范圍的頻率與手臂系統(tǒng)不同部位響應(yīng)之間的關(guān)系，研究表明，整個(gè)手臂對(duì)低頻振動(dòng)較為敏感，高頻振動(dòng)對(duì)手部影響較大。文獻(xiàn)[4-5]建立了振動(dòng)手柄和不同振動(dòng)工具耦合的不同自由度手臂系統(tǒng)線性模型，分析了手臂系統(tǒng)的機(jī)械阻抗特性和振動(dòng)功率吸收與外激勵(lì)頻率的關(guān)系，在較高振動(dòng)頻率下，振動(dòng)功率大部分被手和手掌吸收。文獻(xiàn)[6]探究了井窖孔制作機(jī)的手傳振動(dòng)，并建立了手臂系統(tǒng)二自由度振動(dòng)模型，研究表明，人體手臂系統(tǒng)對(duì)振動(dòng)能量的吸收隨著振動(dòng)能量的增加而增大，手臂前端吸收了振動(dòng)所產(chǎn)生的絕大部分量。文獻(xiàn)[7]測(cè)量和分析了手指和手掌的吸收功率，結(jié)果表明，手傳振動(dòng)能量吸收功率中高頻信號(hào)與白指病有關(guān)，因?yàn)樵诟哳l率時(shí)大部分能量被手部吸收。文獻(xiàn)[8]通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試得出，人體在受到振動(dòng)時(shí)確實(shí)存在非線性并且可能足夠大，以至于無法進(jìn)行線性假設(shè)。根據(jù)以上研究，有必要對(duì)手持振動(dòng)機(jī)械與人體手臂耦合系統(tǒng)進(jìn)行非線性建模。

1 人體手臂系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的振動(dòng)模型

手臂是由皮膚、皮下組織、肌肉和骨骼組成的復(fù)雜的非均勻系統(tǒng)。本文由簡入繁，研究其非線性規(guī)律，以文獻(xiàn)[9]提出的單自由度手臂系統(tǒng)線性模型為基礎(chǔ)建立非線性模型。選擇文獻(xiàn)[10]給出的標(biāo)準(zhǔn)生物力學(xué)建模坐標(biāo)系，即坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在手的第三節(jié)掌骨處，如圖1(a)所示，探究X方向上的振動(dòng)規(guī)律。采用單自由度彈簧阻尼質(zhì)量模型描述手持振動(dòng)機(jī)械與人體手臂耦合系統(tǒng)，如圖1(b)所示。

(a) (b)圖1 手臂振動(dòng)模型

手臂系統(tǒng)是非線性的，設(shè)人體手臂系統(tǒng)非線性項(xiàng)為立方項(xiàng)，根據(jù)牛頓第二定律得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

式中，m為人體手部質(zhì)量，k為剛度，k1為手部非線性剛度，c為手部阻尼，f(t)為手部受到的外界激勵(lì)。

其中手部受到的外界激勵(lì)f(t)有多種情況。首先研究系統(tǒng)受簡諧激勵(lì)時(shí)的情況，即f(t)=fcos Ωt，其中f為激勵(lì)力幅值。進(jìn)一步化簡得：

(2)

2 耦合系統(tǒng)的主共振分析

主共振是指外激勵(lì)頻率Ω接近派生系統(tǒng)固有頻率ω0時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)。非線性系統(tǒng)中的主共振和線性系統(tǒng)中的共振是不同的，在線性小阻尼系統(tǒng)中，即便是很小的激勵(lì)f也可以引起強(qiáng)烈的共振。所以，在非線性系統(tǒng)中分析主共振時(shí)需對(duì)除線性項(xiàng)以外的其他項(xiàng)加以限制，在其前面冠以小參數(shù)ε。對(duì)式(2)進(jìn)一步整理得：

(3)

本文用多尺度法研究方程的近似解。研究一次近似解時(shí)，采用兩個(gè)時(shí)間尺度T0，T1，設(shè)系統(tǒng)(3)具有如下形式的解：

x(t，ε)=x0(T0，T1)+εx1(T0，T1)。

(4)

式中，T0=t，T1=εT0。

將式(4)代入式(3)，通過比較ε同次冪的系數(shù)，得到一組線性偏微分方程：

ε0：D02x0+ω02x0=0；

(5)

(6)

方程(5)的解為：

(7)

式中：

(8)

研究系統(tǒng)主共振問題，也就是外界激勵(lì)頻率與固有頻率接近時(shí)發(fā)生的情況，引入調(diào)諧參數(shù)σ，則有：

Ω=ω0+εσ，σ=0(1)。

(9)

將式(7)代入式(6)可得：

D02x1+ω02x1=

(10)

式中：

(11)

將式(8)代入式(11)，進(jìn)行化簡，分離其實(shí)部和虛部得：

(12)

式中：

φ=σT1-β。

(13)

方程組(12)上下兩式聯(lián)立可解出a，φ，于是方程(6)的一次近似解為：

x(t)=a(T1)cos(ω0T0+φ)+O(ε)。

(14)

由穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)可知，D1a=0，D1φ=0，即：

(15)

由式(15)可得穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)方程：

(16)

化簡得：

J1a6+J2a4+J3a2+J4=0。

(17)

式中：

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，可知穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定的充要條件是：

(18)

式(18)說明系統(tǒng)主共振穩(wěn)態(tài)解與調(diào)諧參數(shù)有關(guān)，并說明對(duì)于系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)方程式(17)，在一定的范圍內(nèi)可能存在三個(gè)穩(wěn)態(tài)解，但是這些穩(wěn)態(tài)解不一定都是穩(wěn)定的。

3 數(shù)值分析

3.1 主共振幅頻響應(yīng)分析

為了定量求解，根據(jù)文獻(xiàn)[11]給出人體手臂參數(shù)，給各參數(shù)賦值：

m=0.45 kg，c=178 Ns/m，k=66.5 N/m，k1=6.65 N/m，f=10 N。

按照式(17)、式(18)計(jì)算系統(tǒng)主共振幅頻響應(yīng)曲線，并研究其穩(wěn)定性。其中橫坐標(biāo)為調(diào)諧參數(shù)、縱坐標(biāo)為振幅。

圖2為手臂系統(tǒng)主共振隨外激勵(lì)力幅值f變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖2可以看出，隨著調(diào)諧值的不斷增大，振幅并沒有發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象，也就是屬于很弱的非線性問題。當(dāng)增大外激勵(lì)力時(shí)，系統(tǒng)振幅幅值會(huì)隨著外激勵(lì)力的增大而增大，共振區(qū)域也隨著增大，且共振區(qū)域變化較大。

圖2 激勵(lì)力不同時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線

圖3為手臂系統(tǒng)主共振隨手部阻尼c變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖3可以看出，隨著阻尼系數(shù)c的不斷增大，振幅并沒有發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象；隨著手臂系統(tǒng)阻尼系數(shù)c的增加，系統(tǒng)受到的阻力增大，振幅幅值降低，共振區(qū)域變化較小。

圖3 阻尼不同時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線

圖4為手臂系統(tǒng)主共振隨非線性剛度k1變化的幅頻響應(yīng)曲線。由圖4可看出，手直接接觸振動(dòng)工具時(shí)，系統(tǒng)非線性剛度較小，曲線不會(huì)發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象；當(dāng)手戴防護(hù)設(shè)備時(shí)會(huì)增加系統(tǒng)非線性剛度，非線性剛度達(dá)到5.1×106時(shí)，曲線會(huì)發(fā)生“跳躍”現(xiàn)象。此時(shí)，便不可忽略非線性項(xiàng)的影響，而且隨著非線性剛度的不斷增大，“跳躍”現(xiàn)象會(huì)更加明顯。

圖4 非線性剛度不同時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線

圖5為手臂系統(tǒng)在三種不同調(diào)諧值下的阻尼幅頻響應(yīng)曲線。由圖5可以發(fā)現(xiàn)，隨著阻尼增加系統(tǒng)振幅會(huì)不斷減小。在一定范圍內(nèi)，振幅變化速率較快。

圖5 調(diào)諧參數(shù)不同時(shí)的阻尼幅頻響應(yīng)曲線

圖6為手臂系統(tǒng)在三種不同調(diào)諧值下的激勵(lì)力幅頻響應(yīng)曲線。由圖6可以發(fā)現(xiàn)，隨著外激勵(lì)力F不斷增大，振幅也會(huì)逐漸增大。

圖6 調(diào)諧參數(shù)不同時(shí)的激勵(lì)力幅頻響應(yīng)曲線

3.2 主共振時(shí)間歷程分析

設(shè)式(5)、式(6)線性微分方程的初始條件分別為：

(19)

(20)

將式(19)代入式(7)，得φ=0，所以：

x0=acosω0T0。

(21)

式(6)消除永年項(xiàng)得：

(22)

將式(8)代入式(22)，并進(jìn)行歐拉變換，解得：

(23)

解得主共振的一次近似解為：

x=x0+εx1。

(24)

選取初始位移a=0.008，調(diào)諧值σ=0.1，其他值不變。應(yīng)用Matlab軟件，根據(jù)四階Runge-Kutta法(數(shù)值法)得到時(shí)間響應(yīng)曲線及其相圖，并與Simulink仿真形成的圖作比較。

圖7和圖8分別為數(shù)值法得到的時(shí)間響應(yīng)曲線和相圖。由圖7可知，隨著時(shí)間增加，系統(tǒng)主共振位移逐漸減小并趨于穩(wěn)定。由圖8可知，隨時(shí)間增加，系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定，形成了一個(gè)有一定厚度的極限環(huán)。圖9與圖10分別為Simulink仿真得到的時(shí)間響應(yīng)曲線和相圖，與數(shù)值法得到的大致相同。

圖7 數(shù)值法時(shí)間響應(yīng)曲線

圖8 數(shù)值法相圖

圖9 Simulink仿真時(shí)間響應(yīng)曲線

圖10 Simulink仿真相圖

4 結(jié)論

建立手持振動(dòng)機(jī)械與人體手臂耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，用多尺度法得到系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線。分析系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)主共振幅頻響應(yīng)曲線的影響，可以得出，單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)振幅變化較快，這使得手部內(nèi)各組織相對(duì)運(yùn)動(dòng)更加劇烈，能量耗散于手部，從而誘發(fā)雷諾氏癥；減小振幅可降低相對(duì)運(yùn)動(dòng)程度。因此，對(duì)于預(yù)防此類職業(yè)病提出的建議為：可通過減小外激勵(lì)幅值來減小系統(tǒng)振幅；可通過增加阻尼減小系統(tǒng)振幅；還可以通過在特定頻率段內(nèi)使用振動(dòng)機(jī)械來避免過大振幅。