探究絕對值不等式中的“易錯問題”

歐科學

《不等式選講》在高考中主要圍繞絕對值不等式的解法及簡單不等式的證明展開，凸顯不等式的工具性和應用性，本文針對絕對值不等式中的“易錯問題”進行全方位的剖析。

一、求解絕對值不等式的解集時易忽略對參數(shù)的分類討論

例/（2021年福建高三（理）模擬節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=|ax+1|，aER。若關于x的不等式f（x）《3的解集為{x|-2《x《1}，求實數(shù)a的值。

錯解：由f（x）《3得|ax+1|《3，即

剖析：求解中注意到不等式與對應方程之間的關系，但在解不等式組-4《ac《2時忽略了對參數(shù)的討論，誤認為a》0，湊巧求對結(jié)果。

正解2：由f（x）《3得|ax+1|《3，平方可得a'x？+2ax-8=0。

又f（x）《3的解集為{x|-2《x《1}，則當a=0時，不符合題意;當a0時，由二次不等式與二次方程的對應關系知，

反思：由絕對值不等式的解集求待定參數(shù)的問題，關鍵是用“定義法或平方法”去掉絕對值，正解1轉(zhuǎn)化為一次不等式組的解集，正解2轉(zhuǎn)化為二次不等式的解集，利用不等式與函數(shù)方程之間的一對應關系構(gòu)建方程組求解，探究過程中應依據(jù)參數(shù)和零的大小關系合理進行分類。

二、證明絕對值不等式時易忽略二元變量的幾何意義和絕對值不等式的性質(zhì)

例2（2021年陜西西安模擬節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=|2x-1|，xER。若對于任意

人求證，致使取值范圍擴大，造成錯誤。

正解：利用待定系數(shù)法和絕對值不等式的性質(zhì)進行解題。設2x-1=m（x-y-1）+n（2y+l）=mx+（2n-m）y+n-m，則

反思：二元變量的一次不等式組，實質(zhì)為平面直角坐標系下的平面區(qū)域，由不等式組不能單獨求，y的范圍，否則會擴大范圍，必須整體代換，用待定系數(shù)法溝通所求變量與已知變量的關系，借助絕對值不等式的性質(zhì)放縮求解。形如y=|.xa|+|xb|的函數(shù)只有最小值;形如y=|.xal-|.xb|的函數(shù)既有最大值，又有最小值。

三、求含絕對值函數(shù)的最值時易忽略整體思維湊定值一次用均值不等式

例了（2021年廣東高三二模（理）已知函數(shù)f（x）=|x|-|x-m|的最大值為3。若

剖析：錯解中挖掘隱含條件去掉絕對值符號，注意到湊定值兩次使用均值不等式，但忽略兩次取等號的條件是否一致，湊巧求得最小值。

正解：以上過程同錯解，得到0《x《3，

反思：以絕對值函數(shù)為背景，利用絕對值三角不等式可以求出一元變量的絕對值和的最小值或絕對值差的最大值，關鍵在于湊出和或差為定值;用均值不等式求最值時常常應用“1”的整體代人展開湊積為定值一次用不等式，試回味本題中f（x）=|x|-|x-

四、證明絕對值不等式時易忽略基本的思維方法“比較法、分析法及平方法”

例4（2021年寧夏銀川一中高三）已知f（x）=|x-1|+|x-2|，使得函數(shù)f（x）》2的的取值集合為M。求證：對任意實數(shù)a，b（a≠0），當ECM時，|a+b|+|a-bl》|a|f（x）恒成立。

所以所證命題成立。

剖析：錯解中運用了分析法和綜合法，但忽略了對f（x）》2的解集為

反思：證明含有絕對值的不等式的思路：一是恰當?shù)剡\用絕對值三角不等式||a|-|6||《|a+b|《|a1+|6|進行放縮，并注意不等號的傳遞性及等號成立的條件;二是把含有絕對值的不等式等價轉(zhuǎn)化為不含有絕對值的不等式，再利用比較法、綜合法、分析法、放縮法等進行證明。

（責任編輯王福華）