悟“數(shù)”想“形”，歸“本”求“真”
——一堂“二次函數(shù)與一元二次方程”新授課的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué) (215400) 朱建良

探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦，學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，感悟知識(shí)的發(fā)現(xiàn)發(fā)生過(guò)程，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)才是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂所在.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)回歸教材，在理解教材的基礎(chǔ)上，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，基于學(xué)生的思維而生成拓展新問(wèn)題，通過(guò)剖析問(wèn)題本質(zhì)，喚醒學(xué)生辯證認(rèn)識(shí)“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)變式問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)探究思辨，生成經(jīng)驗(yàn).本文筆者結(jié)合教學(xué)案例談?wù)勑率谡n中嘗試引導(dǎo)學(xué)生感悟問(wèn)題本質(zhì)，獲得認(rèn)知數(shù)學(xué)方法的一些理解，以求拋磚引玉.

1.教學(xué)分析

1.1 教材解析

教學(xué)內(nèi)容為蘇科版九年級(jí)上冊(cè)§5.4 二次函數(shù)與一元二次方程(第1課時(shí))，§5.1-5.3所學(xué)的二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)，本課時(shí)借助二次函數(shù)圖像解決一元二次方程求根問(wèn)題，其方法比較抽象，要求學(xué)生積累抽象函數(shù)本質(zhì)特征所需的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，要求會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題，本節(jié)課揭示了方程、函數(shù)、不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，為后階段高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著承前啟后的橋梁作用.

1.2 學(xué)情分析

九年級(jí)學(xué)生接受能力強(qiáng)，思維活躍，具備了一定的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)經(jīng)歷，學(xué)生已經(jīng)掌握了不同類型的方程的解法及其應(yīng)用，掌握了研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及函數(shù)的應(yīng)用的一般方法，有較強(qiáng)的推理分析能力，為順利完成本課學(xué)習(xí)打下了扎實(shí)的基礎(chǔ).從學(xué)生有待于提高的知識(shí)和技能來(lái)看，嘗試通過(guò)探索函數(shù)與方程關(guān)系，感受“對(duì)立統(tǒng)一”的唯物辯證法，通過(guò)由圖像求方程的根的探索活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”探討問(wèn)題的研究能力.

1.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)理解二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系；

(2)能夠根據(jù)二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)情況判斷相應(yīng)的一元二次方程根的情況；

(3)理解二次函數(shù)、一元二次方程之間的相互聯(lián)系，用對(duì)立統(tǒng)一的辯證觀點(diǎn)體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

1.4 教學(xué)重點(diǎn)

應(yīng)用一元二次方程根的判斷式及求根公式，對(duì)二次函數(shù)圖像進(jìn)行再研究，并結(jié)合二次函數(shù)圖像加以記憶，基于通過(guò)“形”的視角，理解二次函數(shù)和一元二次方程的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)從二次函數(shù)圖像深度理解一元二次方程根的幾何特征.

2.教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)析

2.1 知識(shí)連接點(diǎn)處，明晰概念

教育價(jià)值是教學(xué)設(shè)計(jì)的靈魂，也是教學(xué)邏輯的起點(diǎn)，提出一次函數(shù)與一元一次方程的辨析反思問(wèn)題.在困惑思辨中，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，提出的問(wèn)題從字母x表示的意義入手，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思考，直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)，即函數(shù)研究變量x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，方程研究未知與已知量之間的相等關(guān)系，求方程解.

(2)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)、關(guān)于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)分別建立了哪些量之間的關(guān)系？它們各自考慮問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)有什么不同？

(3)一次函數(shù)與一元一次方程存在什么聯(lián)系？

教后反思：一次函數(shù)中x表示未知數(shù)，函數(shù)刻畫(huà)的是變量x、y的變化規(guī)律，方程尋求的是相等關(guān)系下未知數(shù)與已知量之間的數(shù)量關(guān)系，即方程的解，在概念辨析中挖掘研究對(duì)象的問(wèn)題價(jià)值，尊重學(xué)生的認(rèn)知，圍繞學(xué)習(xí)目標(biāo)，關(guān)注了思維價(jià)值.問(wèn)題1低起點(diǎn)、緩坡度，較好地體現(xiàn)了函數(shù)、方程與不等式之間的關(guān)系 ,突出了新課程注重基礎(chǔ)、關(guān)注聯(lián)系與綜合的特點(diǎn).

2.2 經(jīng)驗(yàn)連接點(diǎn)處，經(jīng)歷轉(zhuǎn)化

通過(guò)類比，巧妙過(guò)渡，順理成章地運(yùn)用解決一次函數(shù)與一元一次方程數(shù)形結(jié)合的方法，分別研究二次函數(shù)y=x2-2x-3，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)與分別相對(duì)應(yīng)的一元二次方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+2=0的根的情況，從學(xué)生已有的認(rèn)知，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知，用數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)即利用拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定相對(duì)應(yīng)的一元二次方程解的情況，從整體關(guān)聯(lián)的視角認(rèn)識(shí)一元二次方程與二次函數(shù)聯(lián)系.

問(wèn)題2 分別在三個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出二次函數(shù)y=x2-2x-3、y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的圖像.觀察思考：

(1)分別判斷一元二次方程x2-2x-3=0、x2-2x+1=0、x2-2x+2=0根的情況？

(2)你能利用圖像解析一元二次方程的根的不同情況嗎？

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有什么關(guān)系？

解析：(1)分別計(jì)算根的判別式△；(2)鑒別關(guān)注拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)△>0時(shí)，分別對(duì)應(yīng)該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△<0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

教后反思：判斷一元二次方程根的情況，引導(dǎo)學(xué)生怎么想到利用圖像法判斷？為什么要這樣？一定要這樣嗎？有方法層面比較后的思考嗎？引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),，同時(shí)把數(shù)形結(jié)合思想反映得淋漓盡致，數(shù)學(xué)課堂知識(shí)、方法、結(jié)構(gòu)如下圖.

2.3數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化思維

看“形”思“數(shù)”，見(jiàn)“數(shù)”想“形”.把握學(xué)生思維的切入點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生自己畫(huà)出拋物線并觀察思考，如何確定二次函數(shù)y值的非負(fù)性，關(guān)鍵取決于對(duì)y=ax2+bx+c中的系數(shù)a的符號(hào)判定，及△=b2-4ac的值，在分類討論中，真正理解一元二次方程根的幾何意義，實(shí)質(zhì)就是以“數(shù)”化“形”，嘗試從函數(shù)內(nèi)部特征挖掘出有價(jià)值的新問(wèn)題，揭示出函數(shù)、方程之間的聯(lián)系.

問(wèn)題3 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)及其分別對(duì)應(yīng)的圖像如圖1，圖2，圖3，對(duì)稱軸為直線x=3.

圖1 圖2 圖3

(1)觀察三個(gè)圖像，設(shè)y=0，分別觀察拋物線上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)在哪里？你能解關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0嗎？如圖3，若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍？

(2)類比上述問(wèn)題，請(qǐng)?zhí)岢鲂聠?wèn)題探究討論.

解析：當(dāng)x=3時(shí)，ymax=-1，即m<-1，也可轉(zhuǎn)化為ax2+bx+c=m，研究拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m的交點(diǎn)入手，研究交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，也可通過(guò)平移拋物線y=ax2+bx+c-m的角度討論m的取值范圍.此問(wèn)題也可變式為：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有實(shí)數(shù)解，求m的最大值？

教學(xué)反思：讀懂圖中有效信息，展開(kāi)對(duì)比式訓(xùn)練, 拉近點(diǎn)狀知識(shí)間的距離, 尋找不同問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感悟研究問(wèn)題的方法不變，從函數(shù)、方程、不等式的角度，在自然的探究活動(dòng)中體會(huì)到其中內(nèi)涵，這種由淺入深、由易到難,，循序漸進(jìn)的設(shè)計(jì)中，學(xué)生整體感受了其內(nèi)在聯(lián)系，“類比“和“抽象”的思想也得到了自然滲透.

2.4 沉淀思維，提煉方法

變式問(wèn)題，螺旋式遞進(jìn)，設(shè)計(jì)拋物線y=x2-4x+k+2與x軸交點(diǎn)問(wèn)題的變化，引發(fā)學(xué)生思考，依據(jù)條件，嘗試構(gòu)造圖形，由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密，巧妙轉(zhuǎn)化，探求結(jié)論，以“數(shù)”化“形”，以“形”變“數(shù)”相結(jié)合，關(guān)注在探究活動(dòng)中生成的問(wèn)題，聚焦在解決問(wèn)題時(shí)學(xué)生產(chǎn)生的疑惑.

問(wèn)題4 已知二次函數(shù)y=x2-4x+k+2，若該二次函數(shù)的圖像與x軸有公共點(diǎn)，求k的取值范圍？

此題易解且有如下變形：

變式1k為何值時(shí)，該二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)？

變式2k為何值時(shí)，該二次函數(shù)的圖像與x軸兩交點(diǎn)間的距離為2？

變式3k為何值時(shí)，該二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)到x軸的距離為2？

拓展1 若二次函數(shù)y=x2-4x+k+2的值恒大于零，求k的取值范圍？

拓展2k為何值時(shí)，拋物線y=x2-4x+k+2與直線y=x-1只有一個(gè)交點(diǎn)？

教學(xué)反思：由拋物線y=x2-4x+k+2與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題的討論拓展到該拋物線與直線y=x-1交點(diǎn)問(wèn)題的研究，再次強(qiáng)化逐步分解問(wèn)題，關(guān)注解決問(wèn)題的方法策略，即拋物線與x軸有無(wú)交點(diǎn)，怎樣通過(guò)交點(diǎn)問(wèn)題研究一元二次方程的解，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)理解逐步深刻，由低價(jià)思維走向高階思維，思維訓(xùn)練拾級(jí)而上.

2.5 延伸探究，鞏固提升

深度學(xué)習(xí)是一個(gè)由薄到厚，再由厚到薄的再創(chuàng)造過(guò)程，在明晰求解一元二次方程解的基礎(chǔ)上，類比相關(guān)概念，尋找解決問(wèn)題的突破口，正確理解拋物線與x軸交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的一元二次方程解的內(nèi)在聯(lián)系.

問(wèn)題5(1)函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與y=x的圖像如圖4所示，以下結(jié)論正確的是：①b2-4c>0；②b+c+1=0；③ 3b+c+6=0；④ 當(dāng)1

圖4

(2)已知點(diǎn)A(1,1)在二次函數(shù)y=x2-2ax+b的圖像上.

①用含a的代數(shù)式表示b；②如果該二次函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo).

解析：(1)③、④；(2)①b=2a，(2)②y=x2-2ax+2a，當(dāng)a=0時(shí)，y=x2，頂點(diǎn)(0,0)，△=4a2-8a=0，當(dāng)a=2時(shí)，y=x2-4x+4，頂點(diǎn)(2,0).

教學(xué)反思：通過(guò)延伸探究，整合函數(shù)知識(shí)體系，強(qiáng)化對(duì)方程求解問(wèn)題表征的理解.充分利用拋物線、直線的性質(zhì)和幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，然后進(jìn)行推理計(jì)算，優(yōu)化重組原有知識(shí)結(jié)構(gòu).

3.教學(xué)反思

3.1從溯源開(kāi)始，揭示本質(zhì)

本課例從分析函數(shù)圖像上特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)特征入手，從學(xué)生已有的函數(shù)認(rèn)知水平出發(fā)，由淺入深，由表及里，尋求一元二次方程的解，類比抽象出一般方法，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解由函數(shù)圖像生成求方程根的方法，領(lǐng)悟二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的結(jié)構(gòu)關(guān)系本質(zhì)，問(wèn)題設(shè)計(jì)層次感強(qiáng)，探究路徑清晰，既重視了數(shù)學(xué)知識(shí)階段學(xué)習(xí)的梳理與歸納，也注重了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的啟發(fā)和點(diǎn)撥，突出了崇尚嚴(yán)謹(jǐn)推理和理性思考的精神風(fēng)貌.

3.2從“雙基”向“四基”轉(zhuǎn)變，引領(lǐng)探究過(guò)程

義務(wù)教育課程目標(biāo)強(qiáng)化了課堂學(xué)習(xí)要發(fā)展學(xué)生的能力性目標(biāo)，本課例的問(wèn)題設(shè)計(jì)從一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系類比到二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，在學(xué)生認(rèn)知困惑處設(shè)疑問(wèn)難，深刻理解二次函數(shù)圖像和性質(zhì).梳理特殊點(diǎn)的坐標(biāo)與方程解的對(duì)應(yīng)關(guān)系，探究出函數(shù)、方程、不等式三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，問(wèn)題的設(shè)計(jì)遵循啟發(fā)性原則，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展、發(fā)生過(guò)程，在有效探究活動(dòng)中，讓學(xué)生深刻體會(huì)一般與特殊，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，抽絲剝繭般的問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)學(xué)生綜合所學(xué)的知識(shí)去理解函數(shù)思想、方程思想，并分析和解決問(wèn)題，由此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.3從“理解教學(xué)”入手，有效銜接“教”與“學(xué)”

本課例關(guān)注了教學(xué)內(nèi)容“數(shù)”與“形”相融的特點(diǎn)，關(guān)注學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)，注重學(xué)生的自主探究與教師引導(dǎo)的相互滲透和互相促進(jìn)，基于拋物線與x軸交點(diǎn)形態(tài)設(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)平移拋物線變化交點(diǎn)坐標(biāo)位置，深化問(wèn)題，拓展思維空間，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自主探究二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的幾何特征，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”的視角深刻理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的橫向聯(lián)系，掌握從函數(shù)圖像的視角去解決求方程解的方法.深刻理解感悟一元二次方程的根可能出現(xiàn)不同情況的原因，并提煉出關(guān)于一元二次方程的根可能出現(xiàn)情況的幾何形態(tài)的解釋，教學(xué)設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)，問(wèn)題引領(lǐng)下的“學(xué)”更具研究性和發(fā)展性，提升了學(xué)生的研究能力.

本課例以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的心理過(guò)程為主線，構(gòu)建了過(guò)程性的探究活動(dòng)，學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和分析問(wèn)題，學(xué)生在思考、交流、發(fā)現(xiàn)、理解中剖析問(wèn)題本質(zhì)，學(xué)會(huì)了借助形的幾何直觀性來(lái)刻畫(huà)闡述數(shù)之間的某種數(shù)量關(guān)系，深刻理解了“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的內(nèi)涵，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，開(kāi)拓了學(xué)生的思維視野.