一種線—線拓?fù)潢P(guān)系識別算法及其應(yīng)用

安曉亞，金　澄,3，徐道柱,3

1.西安測繪研究所，陜西 西安，710054；2.地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安，710054；3.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州，450052

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一種線—線拓?fù)潢P(guān)系識別算法及其應(yīng)用

安曉亞1,2，金澄1,2,3，徐道柱1,2,3

1.西安測繪研究所，陜西 西安，710054；2.地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安，710054；3.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州，450052

線-線拓?fù)潢P(guān)系的識別與檢測是空間關(guān)系研究的熱點與難點。本文改進(jìn)了平面交點算法，簡化了維度擴展的9交集矩陣，建立了線線之間局部拓?fù)潢P(guān)系的索引文件，通過搜索和組合得到了線-線之間整體而又詳細(xì)的拓?fù)潢P(guān)系；利用研究成果對道路數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)系處理，對地理要素間關(guān)系進(jìn)行沖突探測。實驗結(jié)果表明，該算法具有高效、準(zhǔn)確識別線-線詳細(xì)拓?fù)潢P(guān)系的優(yōu)點。

地理信息處理；拓?fù)潢P(guān)系；沖突檢測；拓?fù)潢P(guān)系矩陣

1　引　言

在地理信息生產(chǎn)和處理過程中，要素間關(guān)系的檢測與一致性處理至關(guān)重要，是保證最終地理信息產(chǎn)品質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。主要解決兩個問題：一是在數(shù)據(jù)綜合處理階段對原有拓?fù)潢P(guān)系的“破壞”，例如對道路進(jìn)行化簡后，導(dǎo)致道路與居民地之間的關(guān)系由相切關(guān)系變?yōu)橄嚯x關(guān)系，道路與河流發(fā)生矛盾，等高線與河流發(fā)生水曲矛盾等；二是不同來源數(shù)據(jù)之間關(guān)系的不協(xié)調(diào)、不一致等問題。解決上述問題的基礎(chǔ)和前提是識別要素間的空間關(guān)系并對其進(jìn)行描述，然后再根據(jù)制圖知識判斷關(guān)系是否協(xié)調(diào)一致，進(jìn)而進(jìn)行處理。地理信息中存在著大量的線目標(biāo)，線-線拓?fù)潢P(guān)系的識別與檢測是空間關(guān)系研究的熱點與難點。線-線目標(biāo)之間是否相交的判別及交點的求解是研究拓?fù)潢P(guān)系的基礎(chǔ)，算法效率的高低對空間拓?fù)潢P(guān)系的識別與處理起到一個決定性的作用。當(dāng)前一般采用“暴力求交”方法來判別線線是否相交，即假設(shè)平面上有n條線段，如果對n條線段兩兩求交，其時間復(fù)雜度為O(n2)，當(dāng)交點很少時，效率會更低[1]。

針對上述問題，本文將計算幾何中的平面交點算法[2](1979年由Bentley和Ottmann提出，簡稱BO算法，下同)進(jìn)行改進(jìn)應(yīng)用于線-線空間拓?fù)潢P(guān)系的識別，并對維度擴展的9交集矩陣進(jìn)行簡化，以便描述地理信息生產(chǎn)處理中的線-線拓?fù)潢P(guān)系，最后將算法應(yīng)用于地理信息生產(chǎn)處理系統(tǒng)中。

2　基本算法

2.1平面交點算法及其改進(jìn)

假設(shè)平面上有一平面線要素的集合S，掃描線(一條垂直于X軸的直線)SL從S的最左端向最右端掃描。在SL掃描過程中，算法動態(tài)地維護(hù)S∩SL的結(jié)果，這個結(jié)果一般表現(xiàn)為一個一維排序的集合。在掃描過程中，每條線段根據(jù)它與掃描線的關(guān)系，分成三種狀態(tài)，如圖1所示(SL是正在進(jìn)行的掃描線，虛線是已經(jīng)或者即將進(jìn)行的掃描線，S0-S8是線段)：

圖1　BO線段的3種狀態(tài)

(1)死亡態(tài)。位于掃描線SL的左側(cè)，例如S0，S1，指已經(jīng)參與求交運算的線段后續(xù)不再參與運算。

(2)激活態(tài)。與掃描線SL有交點的線段，例如S2至S6，指正在參與求交運算的線段。

(3)睡眠態(tài)。位于掃描線SL右側(cè)的線段，例如S7,S8，這些線段暫不參與求交運算，直到掃描線到達(dá)。

處于激活態(tài)的線段保存在結(jié)構(gòu)Y-Structure中，為了保證算法的時間復(fù)雜度，將這些線段以一定的順序存儲于Y-Structure，這個順序關(guān)系由線段和掃描線SL交點的y值決定，y值越大越靠前。

在掃描的過程中，線段的狀態(tài)不斷變化，經(jīng)歷一個從睡眠態(tài)到激活態(tài)至死亡態(tài)的轉(zhuǎn)化過程。狀態(tài)轉(zhuǎn)化發(fā)生在特定的時刻，即SL遇到線段端點或者交點的時候，這些特定的點被稱為事件點。這些事件點保存在結(jié)構(gòu)X-Structure中，并且按照事件點的x大小值維持一個全序關(guān)系。初始化時，把所有線段的端點加入到X-Structure中，在掃描過程中，動態(tài)求得的交點也要加入到X-Structure中。將X-Structure和Y-Structure定義為：

typedef struct YSTRUCTURE

{

ElementID ID; //線段所在線串的ID

long Index;//線段的索引號

Dpoint3d point[2];//線段的坐標(biāo)

Dpoint3d cutpoint;//掃描線與線段的交點坐標(biāo)

struct YSTRUCTURE *next;

}Y-Structure;

typedef struct XSTRUCTURE

{

ElementID ID; //點所在線串的ID

long Index;//點的索引號

Dpoint3d point;//點的坐標(biāo)

int flag;//值為-1時point處于睡眠態(tài)，值為0時處于激活態(tài)，值為1時為交點

struct XSTRUCTURE *next;

} X-Structure;

在掃描過程中，最關(guān)鍵的是當(dāng)事件點發(fā)生改變時如何處理，有以下3種情況：

(1)事件點是線段的左端點。如圖2所示：

圖2　事件點為線段的左端點

在這種情況下，首先將S插入至Y-Structure中；然后在Y-Structure中找到與S相鄰的前后線段above和below(在存在的情況下)，如果S與它們有交點，并且交點在SL的右側(cè)，則將這個交點插入至X-Structure。

(2)事件點是線段的右端點。如圖3所示：

圖3　事件點為線段的右端點

這時，首先把S從Y-Structure中刪除；然后在Y-Structure中找到與S相鄰的前后線段above和below(在存在的情況下)，如果S與它們有交點，并且交點在SL的右側(cè)，則將這個交點插入至X-Structure。

(3)事件點是兩線段的交點。如圖4所示：

圖4　事件點為兩線段的交點

S1和S2是相交的線段，且Y-Structure中S1在S2的上面，這時首先在Y-Structure中找到S1的上鄰above和S2的下鄰below(如果存在)，如果S1和below有交點并且交點在SL的右側(cè)，把它插入至X-Structure中；同樣，如果S2和above有交點并且交點在SL的右側(cè)，也把它插入至X-Structure中；然后在Y-Structure中交換S1和S2的次序，使得在Y-Structure中S2在S1上面。BO算法的時間復(fù)雜度是O((n+k)×logn)，空間復(fù)雜度是O(n+k)。

但BO算法存在的問題是：其對輸入線段要求比較嚴(yán)格(要求不存在垂直的線段、不存在三線共點的情況、線段的端點不能相等、線段端點或者交點x值不能相等、不存在有公共邊等情況)。針對這些問題，我們對其進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)的思路是把上述特殊情況當(dāng)做一般情況，主要包括：

(1)X-Structure中事件點的順序關(guān)系確定

BO算法根據(jù)事件點x值的大小定義事件點的順序關(guān)系，本文則首先比較點的X值大小，再比較Y值的大小。經(jīng)過這樣的改進(jìn)，算法可以處理線段端點或交點的x值相等下的特殊情況。

(2)Y-Structure中線段的順序關(guān)系確定

處理垂直線段。根據(jù)對X-Structure的改進(jìn)，掃描點總是首先到達(dá)線段的頭節(jié)點(約定線段的頭節(jié)點小于線段的尾節(jié)點)，即約定垂直的線段和與其相交線段的次序關(guān)系。

處理端點相等線段。如果是右端點，線段馬上就會轉(zhuǎn)入死亡態(tài)，所以我們只考慮左端點的情況，左端點與之類似，即約定端點相等線段次序關(guān)系。

處理重疊線段。根據(jù)線段ID值區(qū)分線段。

(3)多線相交情況的處理

對于多線相交的情況，應(yīng)該整體交換它們的次序，即只要找到經(jīng)過交點的所有線段，然后整體交換它們的次序即可。

2.2維度擴展的9交矩陣及其簡化

Egenhofer(1991)等用9交模型(9IM)描述點、線、面間的拓?fù)潢P(guān)系[3]。9交模型利用了對象內(nèi)部、邊界和外部相交的拓?fù)洳蛔兞縼韰^(qū)分不同的拓?fù)潢P(guān)系，理論上可區(qū)分的拓?fù)潢P(guān)系數(shù)為29個，但是經(jīng)過Clementini(1995)的總結(jié)，認(rèn)為真正有實際意義的空間關(guān)系只有56種[4]。9交模型的定義是：空間實體a，b的拓?fù)潢P(guān)系M(a,b)根據(jù)二者的內(nèi)部、邊界和外部三者的兩兩相交，生成一個3*3的矩陣：

上式中，a0，?a和a-分別代表空間實體的內(nèi)

部、邊界和外部，根據(jù)相交結(jié)果矩陣中的元素取值為0或1。

在9交集矩陣中，矩陣中每個要素的值域是{0，1}，即根據(jù)相交生成的幾何體是否為空(0)還是非空(1)設(shè)定。但這種描述是不夠的，還需要相交生成的幾何體的維度信息來確定其空間關(guān)系。經(jīng)過這樣修正的關(guān)系矩陣被稱為維度擴展的9交矩陣，它是這樣定義的：

上式中，dim(X)的值域是{-1，0，1，2}，分別表示交集為空和交集為點、線和面。維度擴展的9交矩陣在理論上有49種關(guān)系類型，經(jīng)過選擇排除，有實際意義的類型共81種。

Clementini(1995)將線-線拓?fù)潢P(guān)系分為33種，要判斷兩線串之間的拓?fù)潢P(guān)系，必須先研究線段與線段之間的拓?fù)潢P(guān)系。郭慶勝(2000)通過進(jìn)一步歸納總結(jié)，將兩線段之間的空間關(guān)系分為14種情況[5]，鄧敏(2006)根據(jù)4交叉模型將線線關(guān)系分為11種情況。事實上，在地理信息生產(chǎn)與處理過程中，大多數(shù)線段與線段之間的拓?fù)潢P(guān)系都用不到[6]，將其簡化為圖5中5種關(guān)系：

圖5　地理信息生產(chǎn)與處理過程中線段與線段之間的拓?fù)潢P(guān)系

上表中的模式串是這樣定義的：將9交集拓?fù)潢P(guān)系矩陣中每個元素按從左到右、從上到下排列而成。圖6所示為線串L1、L2和L3之間的拓?fù)潢P(guān)系。

圖6　數(shù)字地圖制圖中線串與線串之間的拓?fù)潢P(guān)系

顯然，線串與線串之間的拓?fù)潢P(guān)系是一系列線段與線段之間局部拓?fù)潢P(guān)系的組合，在圖6中，點1和點2處為局部相接關(guān)系，點3和點9處為局部相交關(guān)系，大的虛線橢圓內(nèi)的線段是線串L2與L3的局部包含關(guān)系。

3　線—線詳細(xì)拓?fù)潢P(guān)系的識別與檢測

3.1預(yù)處理

一是對待輸入的兩條線串進(jìn)行自相交檢查。維度擴展的9交集矩陣本身就不適應(yīng)線串自相交的情形，因此，需將其標(biāo)識出來。問題的關(guān)鍵是如何探測到線段的自相交。常規(guī)的方法是對線串上的所有線段進(jìn)行求交運算，但其運算效率十分低。這里采用趙紅超(2005)提出的INum結(jié)論：即對于兩個不自相交的簡單幾何體，交點的情況可以分成交點0次、1次、2次或者4次四類。定義INum(i)表示交點i的次數(shù)，D表示不自相交的簡單幾何體的交點集合，INum結(jié)論可以用數(shù)學(xué)的形式化表達(dá)如下：i∈D，INum(i)={0,1,2, 4}，表示不存在自相交，如圖7(a)～(d)；如果交點為3，表示不滿足INum結(jié)論，說明存在自相交，如圖7(e)所示。

圖7　判斷自相交的INum結(jié)論

二是為提高效率，有必要對待處理的線串集進(jìn)行篩選處理。本文利用線串的最小外接矩形(MBR)來篩選，如圖8所示：算法并不是對線串包含的所有線段進(jìn)行初始化，只是對兩線串的最小外接矩形交集內(nèi)的線段進(jìn)行初始化。

圖8　輸入線段的優(yōu)化

3.2線-線詳細(xì)拓?fù)潢P(guān)系的識別

首先定義存儲所有線串信息的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為：

typedef struct INITIALSTRUCTURE{

ElementID ID; //線串的ID

Dpoint3d point[5];//線串的外接矩形

TongYong tongyong;//線串在數(shù)據(jù)庫中的屬性記錄

struct INITIALSTRUCTURE *next;

}Initial-Structure;

若通過線串中線段的局部拓?fù)潢P(guān)系得到整個線串的詳細(xì)關(guān)系，必須要有相應(yīng)的數(shù)據(jù)庫或文件來記錄這些局部拓?fù)潢P(guān)系，以方便后續(xù)工作的處理?？紤]到檢索的效率，本文以索引文件的形式來記錄這些局部拓?fù)潢P(guān)系，表1為圖6三線串局部拓?fù)潢P(guān)系索引文件的記錄形式：

表1線串局部拓?fù)潢P(guān)系的索引文件記錄

CIDCPOINTLINEINDEX1LINEINDEX2LINESTRINGID1LINESTRINGID2BianMa1BianMa2MODECODE1(232.483,56.397)004823748376140309140309001000102(268.313,102.751)004837648532140309140307001100103(298.245,145.901)11483764853214030914030701**000*04(403.147,101.492)214837648532140309140307001100105(403.147,101.492)224837648532140309140307001000106(521.431,168.258)324837648532140309140307000010007(600.389,76.591)434837648532140309140307000010008(690.627,103.615)5448376485321403091403070000*00019(746.421,136.367)65483764853214030914030701**000*0

各數(shù)據(jù)項的具體含義如下。CID：記錄線段交點的順序標(biāo)識號；CPOINT：交點的平面坐標(biāo)；LINE INDEX1：第一條相交線段在所屬線串中的索引號；LINE INDEX2：第二條相交線段在所屬線串中的索引號；LINESTRING ID1：唯一標(biāo)識第一條線串的ID號；LINESTRING ID2：唯一標(biāo)識第二條線串的ID號；BianMa1：第一條線串對應(yīng)的編碼；BianMa2：第二條線串對應(yīng)的編碼；MODE CODE：相交線段對應(yīng)的模式串。

在利用改進(jìn)的平面交點算法對所有線段求交的過程中，每求出一個交點，就往索引文件中寫入一條記錄，待將所有線段求交完畢后，整個索引文件就記錄了所有線串的局部拓?fù)潢P(guān)系。但是在寫入的過程中必須注意，圖6中如果超過兩條線段交于一點時，交點須重復(fù)記錄；對于重合或者局部重合的線段，交點只記錄一次(規(guī)定只記錄末端點)。例如，圖6中，交點4和交點5為重合點，交點6、交點7和交點8只記錄一次。

要獲取線串的整體詳細(xì)的局部關(guān)系，只需根據(jù)索引文件中記錄的模式串、線串的編碼、線段的索引號，通過檢索和組合即可得到。

通過前文的分析發(fā)現(xiàn)，獲取線線詳細(xì)拓?fù)潢P(guān)系的基本思路是首先將全局的、整體的拓?fù)潢P(guān)系分解為局部的、線段之間的局部拓?fù)潢P(guān)系，然后通過檢索組合獲取線線整體而又詳細(xì)的拓?fù)潢P(guān)系[7]?；玖鞒倘缦拢?/p>

圖9　獲取線線詳細(xì)的拓?fù)潢P(guān)系

4　實驗與分析

4.1重合道路的處理與道路合并

在地理信息更新生產(chǎn)過程中，存在兩個問題：一個問題是不同等級、相同等級之間完全重合的道路比較多見，一幅數(shù)據(jù)重合的道路可能達(dá)到數(shù)百條之多；另一個問題是數(shù)據(jù)的破碎程度比較嚴(yán)重，有的一條完整的道路由幾十條短小道路組成，若不進(jìn)行處理，更新出來的基礎(chǔ)地理信息數(shù)據(jù)必然會給應(yīng)用帶來很大的困難。為此，需利用本文關(guān)于線線之間的拓?fù)潢P(guān)系的研究成果，根據(jù)相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范有條件地對重合道路進(jìn)行刪除，對短小的道路進(jìn)行合并。實驗數(shù)據(jù)為某地區(qū)1幅1∶25萬地理信息數(shù)據(jù)。

刪除重合道路的基本思路是：搜索索引文件中模式串為“00001000”(完全重合)和“0000*1000”(部分重合)的所有線段，找到模式串對應(yīng)兩線段的屬性值(編碼)。若編碼不相同，則將低等級道路(線段)從所在線串中打斷并刪除，同時將索引文件中對應(yīng)的交點標(biāo)識為已經(jīng)處理過；若編碼相同，則根據(jù)線串的ID值找到數(shù)據(jù)庫中該道路的其它屬性值，進(jìn)行有條件刪除，其余處理同上。

合并短小道路的基本思路是：搜索索引文件中模式串為“00100010”(這類結(jié)點叫“二鏈結(jié)點”或“偽結(jié)點”)，并且編碼相同的(道路等級一致)所有線段，根據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范進(jìn)行有條件合并，即合并該交點對應(yīng)的兩線段，并將該頂點和對應(yīng)的兩線段標(biāo)識為已經(jīng)處理過。如圖10所示，左圖為重合道路處理后的結(jié)果，黑色位置為刪除后剩余的道路；右圖為道路合并后的結(jié)果，藍(lán)色為合并后的道路。

4.2地圖要素間關(guān)系沖突的探測

如前文所述，在基礎(chǔ)地理信息數(shù)據(jù)融合的過程中，必然會造成要素間關(guān)系的不合理、不協(xié)調(diào)，例如公路與河流在小范圍內(nèi)的多點相交，河流爬坡，公路、等高線和居民地入水等情況?？梢岳帽疚闹醒芯康木€線之間詳細(xì)的拓?fù)潢P(guān)系的方法來探測這些沖突，其基本思路是：

圖10　道路的重合與合并處理

首先確定要探測的要素類型，然后根據(jù)編碼在索引文件記錄中查找這些發(fā)生相交、相接、重合與包含關(guān)系的線段與交點，并將這些可能發(fā)生沖突的交點和線段標(biāo)識出來，最后通過人機交互的方式去處理沖突。如圖11所示，縣道與常年河在小范圍發(fā)生沖突，虛線圓為計算機自動探測到的出現(xiàn)交點的地方。需要注意的是，在實際操作中，由于數(shù)據(jù)的情況異常復(fù)雜，因此不可能發(fā)生一次交點就將其標(biāo)識出來，因為在許多情況下這種情況是合理的，比如河流與道路相交的地方有橋就屬于合理的情況，因此這才將其限定為“小范圍內(nèi)的多點相交”。

圖11　河流與道路之間的沖突

4.3比較與分析

為了對本文提出的線-線拓?fù)潢P(guān)系識別與檢測性能進(jìn)行評估，我們與傳統(tǒng)的采用“暴力求交”算法識別線-線拓?fù)潢P(guān)系在相同的硬件環(huán)境和數(shù)據(jù)條件(與4.1數(shù)據(jù)一致，主要檢測識別道路與河流拓?fù)潢P(guān)系)下進(jìn)行實驗，比較二者的耗時情況。橫坐標(biāo)為輸入的線串?dāng)?shù)，縱坐標(biāo)為所耗時間，如圖12所示。

圖12　性能對比

分析圖12發(fā)現(xiàn)，當(dāng)輸入的線串個數(shù)小于500時，本文的方法與“暴力求交”的方法耗時差別不大，但當(dāng)大于500時，“暴力求交”算法耗時成幾何級數(shù)增加，而本文的方法耗時增長曲線沒有成幾何級數(shù)增加。之所以出現(xiàn)這種情況，理論上有以下分析：

(1)按照“暴力求交”方法，對n條線段兩兩求交，其時間復(fù)雜度為O(n2)，而本文算法的時間復(fù)雜度是O((n+k)×logn)，空間復(fù)雜度是O(n+k)，k為交點個數(shù)；

(2)通過求輸入線串的最小外接矩形交集中的線段，對輸入線段進(jìn)行優(yōu)化，對算法的效率有較大的提高；

(3)以索引文件的形式存儲線-線局部拓?fù)潢P(guān)系，有助于高效地檢索和獲取線線整體的拓?fù)潢P(guān)系。

5　結(jié)束語

高效的線-線拓?fù)潢P(guān)系檢測與識別在地理信息生產(chǎn)處理過程中十分重要。本文利用描述拓?fù)潢P(guān)系的9交集模型和改進(jìn)的平面交點算法重點研究了線-線之間的拓?fù)潢P(guān)系，利用研究成果對道路數(shù)據(jù)中完全重合的道路、部分重合的道路進(jìn)行處理，并對數(shù)據(jù)中比較破碎的道路進(jìn)行有條件合并處理，同時將其應(yīng)用于道路河流空間沖突的檢測，實驗結(jié)果表明本文的方法是高效的。

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An Algorithm Identifying Topological Relations between Lines and Its Application

An Xiaoya1,2,Jin Cheng1,2,3,Xu Daozhu1,2,3

1. Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping , Xi’an 710054，China 2. State Key Laboratory of Geo-information Engineering, Xi’an 710054，China 3. Institute of Geospatial Information, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China

Identifying line-line topological relations is the focus and difficulty of spatial relations research. This paper is trying to improve plane sweep algorithm, simplify dimension extending 9 intersection matrix and establish index documents of the local topological relations between lines. Then this paper attempts to acquire the holistic and detailed topological relations between lines by searching index documents and compounding. Besides the paper deals with the superposition and combination of the road data, detects and disposes the relations between road and area inhabited. Experiment results show that this method has some advantages such as high efficiency and accuracy in identifying topological relations between lines.

geographical information processing; topological relations; conflict detection; topological relations matrix

2015-06-01。

國家自然科學(xué)基金資助項目(41201469；41071297)，地理信息工程國家重點實驗室開放基金資助項目(SKLGIE2013-Z-4-1，SKLGIE2013-M-4-5)。

安曉亞(1982—)，男，助理研究員，主要從事地理信息處理與服務(wù)研究。

P208

A