炭黑填充天然橡膠超彈性本構(gòu)方程的適用性分析

王新宇，岳冬梅，楊海波，張立群

（北京化工大學(xué) 有機(jī)無(wú)機(jī)復(fù)合材料國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，北京 100029）

在提高橡膠制品研發(fā)質(zhì)量、縮短研發(fā)周期方面，有限元技術(shù)發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于超彈性本構(gòu)方程已有一些研究[1-4]，并開(kāi)發(fā)出不同混合本構(gòu)模型[5-7]或新構(gòu)造本構(gòu)模型[8]，然而在工程應(yīng)用中其適用性和準(zhǔn)確性還有待驗(yàn)證；同時(shí)輪胎和輸送帶等橡膠制品經(jīng)常在復(fù)雜的受力環(huán)境中使用，因此研究本構(gòu)方程對(duì)處于復(fù)雜受力狀態(tài)下的橡膠制品的準(zhǔn)確計(jì)算至關(guān)重要。需要指出的是，填料填充橡膠在連續(xù)循環(huán)載荷作用下，由于內(nèi)部弱鍵鏈段的纏結(jié)或斷裂，以及填料顆粒與橡膠基體之間發(fā)生弱鍵分離，導(dǎo)致橡膠產(chǎn)生應(yīng)力軟化[9-10]以及永久變形[11-13]。在以往的研究中，研究者們較少關(guān)注在永久變形條件下橡膠制品力學(xué)性能的仿真建模，故系統(tǒng)地研究不同本構(gòu)方程對(duì)在有/無(wú)永久變形條件下橡膠制品力學(xué)性能計(jì)算精度的影響非常必要。

本工作以炭黑填充天然橡膠（NR）制成的短粗三點(diǎn)彎曲壓縮試樣（以下簡(jiǎn)稱三點(diǎn)彎曲試樣）作為研究對(duì)象，采用Abaqus有限元軟件建立與試驗(yàn)過(guò)程相符的有限元模型，分析在有/無(wú)永久變形條件下試樣作用力與位移的關(guān)系，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，判斷不同本構(gòu)方程的計(jì)算精度，為工程應(yīng)用橡膠材料選擇合適的本構(gòu)方程提供參考。

1 實(shí)驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)配方

NR（RSS1） 100，氧化鋅 3，硬脂酸 1，炭黑N234 40，促進(jìn)劑CBS 1.5，硫黃 1。

1.2 試樣制備

使用哈克密煉機(jī)將塑煉NR捏合均勻，然后依次加入氧化鋅、硬脂酸和炭黑，混煉均勻后取出；密煉膠置于開(kāi)煉機(jī)上加入促進(jìn)劑和硫黃，混煉均勻后下片；混煉膠停放24 h后使用平板硫化機(jī)硫化（143 ℃×9 min）。

1.3 單軸拉伸和平面拉伸及等雙軸拉伸試驗(yàn)

使用中國(guó)臺(tái)灣高鐵檢測(cè)儀器有限公司生產(chǎn)的拉力試驗(yàn)機(jī)對(duì)單軸拉伸和平面拉伸試樣（2 mm厚）進(jìn)行10次加載-卸載試驗(yàn)，以消除試樣的Mullins效應(yīng)，并得到穩(wěn)定的加載曲線，取最后一次加載的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)。等雙軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用上述類似方法測(cè)試[14]。在進(jìn)行有限元分析時(shí)同時(shí)輸入以上3種基礎(chǔ)試驗(yàn)數(shù)據(jù)能夠確保更精確的力學(xué)性能計(jì)算精度[15]。力學(xué)性能計(jì)算精度（ζ）的計(jì)算公式為

式中，C和T分別為計(jì)算值和測(cè)試值。

1.4 三點(diǎn)彎曲試樣壓縮試驗(yàn)

三點(diǎn)彎曲試樣壓縮試驗(yàn)如圖1所示，試樣尺寸為200 cm×20 cm×30 cm，工作尺寸為70 cm×20 cm×30 cm。試驗(yàn)采用拉力試驗(yàn)機(jī)，模具為自制專用測(cè)試模具。測(cè)試時(shí)夾具固定，夾具兩端夾緊試樣，采用位移加載方式對(duì)試樣進(jìn)行加載-卸載10次，以消除試樣的Mullions效應(yīng)，直至得到穩(wěn)定的力-位移曲線，取最后一次加載的力-位移數(shù)據(jù)。為保證試驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，重復(fù)試驗(yàn)5次，測(cè)試曲線都高度重合，并在豎直方向產(chǎn)生1.1 mm的永久位移。

圖1 三點(diǎn)彎曲試樣壓縮試驗(yàn)Fig.1 Compression test of three point bending sample

2 有限元模型

2.1 幾何模型

在有/無(wú)永久變形條件下三點(diǎn)彎曲試樣的幾何模型如圖2所示。模型建立過(guò)程真實(shí)還原試驗(yàn)過(guò)程，試樣兩端上下表面建為剛性面來(lái)模擬夾具的夾持端面，采用綁定接觸方式將剛性面與試樣完全固定；建立彎頭剛性體模擬試驗(yàn)壓頭，彎頭設(shè)置沿Y軸負(fù)方向的14 mm位移載荷。原始（無(wú)永久變形）試樣模型包含6 900個(gè)單元、8 272個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元類型為C3D8H雜交單元；有永久變形試樣模型包含8 250個(gè)單元、9 856個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中C3D8H單元為5 250個(gè)、C3D8R單元為3 000個(gè)。在有限元模擬過(guò)程中，計(jì)算三點(diǎn)彎曲試樣豎直向下壓縮14 mm過(guò)程中參考點(diǎn)的作用力，得到力-位移曲線。

圖2 有/無(wú)永久變形三點(diǎn)彎曲試樣的幾何模型Fig.2 Geometric models of three point bending samples with or without permanent deformation

2.2 本構(gòu)方程

超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系是用應(yīng)變勢(shì)能來(lái)描述的，它定義了材料中某一點(diǎn)單位參考體積存儲(chǔ)的應(yīng)變能作為該點(diǎn)的應(yīng)變函數(shù)，經(jīng)過(guò)系列求導(dǎo)過(guò)程得到本構(gòu)方程。在Abaqus軟件中自帶六大類可用于近似不可壓縮材料的超彈性本構(gòu)方程：Arruda Boyce，Marlow和Van Der Waals方程，一至二階Polynomial方程，一至六階Ogden方程，一至六階Reduced Polynomial方程，共17種本構(gòu)方程。

3 結(jié)果與討論

3.1 力的計(jì)算誤差分析

17種橡膠材料超彈性本構(gòu)方程對(duì)在有/無(wú)永久變形下三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差如圖3—19所示。

由 圖3—19可 見(jiàn)，Arruda Boyce，Marlow和Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差隨著位移的增大逐漸減小，且以有永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差小于以無(wú)永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差，尤其是二階Polynomial方程在位移最大值的計(jì)算誤差僅為0.08%，即計(jì)算精度達(dá)到99.92%，其在位移小于5 mm時(shí)計(jì)算誤差大于10%，在位移為5～9 mm范圍內(nèi)計(jì)算誤差大于5%，在位移大于9 mm時(shí)計(jì)算誤差小于5%。Van Der Waals方程在位移超過(guò)2.8 mm臨界點(diǎn)后，以有永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差大于以無(wú)永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差，整體計(jì)算誤差小于20%。一至三階Ogden方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差隨著位移的增大逐漸減小，且以有永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差小于以無(wú)永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差，尤其是三階Ogden方程在最大位移時(shí)的計(jì)算誤差僅為0.73%，即計(jì)算精度達(dá)到99.27%，其在位移小于6 mm時(shí)計(jì)算誤差大于10%，在位移為6～9 mm范圍內(nèi)計(jì)算誤差大于5%，在位移大于9 mm時(shí)計(jì)算誤差小于5%；四至六階Ogden方程在位移分別超過(guò)8.3，5.7和5.0 mm臨界點(diǎn)后，以無(wú)永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差小于以有永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差，并且隨著階數(shù)的增大，臨界點(diǎn)位移逐漸減小，四階Ogden方程在位移大于9 mm時(shí)計(jì)算誤差小于1%，具有非常高的計(jì)算精度。一至二階Reduced Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差隨著位移的增大逐漸減小，且以有永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差小于以無(wú)永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差；三至六階Reduced Polynomial方程在位移分別超過(guò)7.6，4.7，3.2和2.5 mm臨界點(diǎn)后，以無(wú)永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差小于以有永久變形試樣作為建模對(duì)象的計(jì)算誤差，并且隨著階數(shù)的增大，臨界點(diǎn)位移逐漸減小，三階Reduced Polynomial方程在位移大于8 mm時(shí)計(jì)算誤差小于1%，具有非常高的計(jì)算精度。

圖3 Arruda Boyce方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.3 Force calculation errors of Arruda Boyce equation for three point bending samples

圖4 Marlow方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.4 Force calculation errors of Marlow equation for three point bending samples

圖5 Van Der Waals方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.5 Force calculation errors of Van Der Waals equation for three point bending samples

圖6 一階Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.6 Force calculation errors of Polynomial first order equation for three point bending samples

圖7 二階Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.7 Force calculation errors of Polynomial second order equation for three point bending samples

圖8 一階Ogden方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.8 Force calculation errors of Ogden first order equation for three point bending samples

圖9 二階Ogden方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.9 Force calculation errors of Ogden second order equation for three point bending samples

圖10 三階Ogden方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.10 Force calculation errors of Ogden third order equation for three point bending samples

圖11 四階Ogden方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.11 Force calculation errors of Ogden fourth order equation for three point bending samples

圖12 五階Ogden方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.12 Force calculation errors of Ogden fifth order equation for three point bending samples

圖13 六階Ogden方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.13 Force calculation errors of Ogden sixth order equation for three point bending samples

圖14 一階Reduced Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.14 Force calculation errors of Reduced Polynomial first order equation for three point bending samples

圖15 二階Reduced Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.15 Force calculation errors of Reduced Polynomial second order equation for three point bending samples

圖16 三階Reduced Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.16 Force calculation errors of Reduced Polynomial third order equation for three point bending samples

圖17 四階Reduced Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.17 Force calculation errors of Reduced Polynomial fourth order equation for three point bending samples

圖18 五階Reduced Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.18 Force calculation errors of Reduced Polynomial fifth order equation for three point bending samples

圖19 六階Reduced Polynomial方程對(duì)三點(diǎn)彎曲試樣力的計(jì)算誤差Fig.19 Force calculation errors of Reduced Polynomial sixth order equation for three point bending samples

3.2 有限元分析結(jié)果

三點(diǎn)彎曲試樣壓縮14 mm的有限元分析結(jié)果如圖20所示。

由圖20（a）可見(jiàn)，試樣中心處向下位移14 mm，試樣位移由中間向兩邊依次減小。圖20（b）—（d）分別示出沿X軸的拉伸應(yīng)變（NE11）、沿Y軸的壓縮應(yīng)變（NE22）以及在YZ平面沿Y軸的剪應(yīng)變（NE12），應(yīng)變和應(yīng)力結(jié)果表明了試樣復(fù)雜的受力狀態(tài)，與試驗(yàn)預(yù)期相符合。

圖20 三點(diǎn)彎曲試樣應(yīng)變-應(yīng)力計(jì)算云圖Fig.20 Nephograms of strain-stress calculation of three point bending samples

4 結(jié)論

隨著橡膠制品的使用環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜，對(duì)其受力計(jì)算精度的要求也越來(lái)越高。本工作選用炭黑填充NR制成三點(diǎn)彎曲試樣，在復(fù)雜的受力狀態(tài)下采用不同本構(gòu)方程對(duì)有/無(wú)永久變形試樣進(jìn)行建模和有限元分析，結(jié)果表明：對(duì)于無(wú)永久變形試樣，四階Ogden和三階Reduced Polynomial方程在大位移下有非常高的計(jì)算精度；對(duì)于有永久變形試樣，三階Ogden和二階Polynomial方程在大位移下有非常高的計(jì)算精度。

在工程應(yīng)用中，一般要求模型的計(jì)算誤差控制在10%以內(nèi)，即計(jì)算精度達(dá)到90%以上能夠滿足設(shè)計(jì)需要，本工作模型的計(jì)算精度完全滿足應(yīng)用條件。此外，本工作模型基于超彈性本構(gòu)方程，橡膠制品在使用過(guò)程中的粘彈性等影響因素在一定程度上會(huì)對(duì)其計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響。

在使用有限元軟件對(duì)橡膠制品力學(xué)性能進(jìn)行有限元計(jì)算時(shí)，慣性思維使人們直接采用試樣原始尺寸進(jìn)行建模，但是由于橡膠材料在重復(fù)使用中會(huì)發(fā)生永久變形的特殊性質(zhì)，對(duì)產(chǎn)生永久變形試樣進(jìn)行建模同樣重要。