關(guān)注方程思想，重視建模應(yīng)用

唐倩

【摘要】數(shù)學(xué)方程是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用方程解決實(shí)際問題對學(xué)生來說有些困難.本文追本溯源，幫助學(xué)生逐步建立方程的模型，繼而強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用方程的意識，體會方程解決實(shí)際問題的優(yōu)勢，旨在幫助學(xué)生掌握用方程解決實(shí)際問題的能力，從而提高學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】方程;方程思想;方程模型;方程意識

“簡易方程”安排在蘇教版五年級下冊第一單元，方程作為在一種新的思想方法，是學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的一種過渡，學(xué)生需要打破已有多年的算術(shù)思維的模式，運(yùn)用方程來解決實(shí)際問題，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高有著重大的意義.在實(shí)際教學(xué)過程中，在等式的基礎(chǔ)上引入方程的概念，學(xué)生都能夠脫口而出：“含有未知數(shù)的等式是方程.”學(xué)生也能利用等式的性質(zhì)解決一些簡易方程，但是在實(shí)際解決問題過程中，學(xué)生往往不會靈活選擇方程來解決實(shí)際問題.

一、關(guān)注方法——方程思想的拾起

簡易方程這一單元在解決實(shí)際問題過程中，出現(xiàn)了這樣一類題，要求選擇合適的方法解決下面的問題.

1.少先隊(duì)員參加植樹活動(dòng)，五年級去了205人，四年級去的人數(shù)是五年級的1.2倍少12人，五年級去的人數(shù)比六年級的1.5倍少5人.

（1）四年級去了多少人？

（2）六年級去了多少人？

這道題的設(shè)計(jì)意圖很明顯，第一個(gè)問題利用算術(shù)方法方便解決，第二個(gè)問題利用方程更容易解決，但是在學(xué)生呈現(xiàn)的作業(yè)答案，兩種方法使用非常隨意，甚至出現(xiàn)方法對調(diào)的現(xiàn)象，讓我困惑不解.

在一次測試中，我特意關(guān)注了這樣的現(xiàn)象，解決實(shí)際問題中有這樣一道題：李老師和張老師每天早晨都在學(xué)校操場的環(huán)形跑道上跑步，跑道的全長是360米.如果李老師平均每秒跑6.5米，張老師平均每秒跑4.5米，而且他們從跑道的同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都按逆時(shí)針方向跑，經(jīng)過多長時(shí)間李老師正好比張老師多跑一圈？

看完題目后，相信老師心中已經(jīng)有了判斷，這是一道列方程解決相遇問題的典型習(xí)題，可是學(xué)生的正確率以及方法的選擇讓我很驚訝.我統(tǒng)計(jì)了我校五年級四個(gè)班161名學(xué)生的解答情況，結(jié)果如下.

結(jié)果顯示，不同班級正確率稍有差異，但是從整體上看這道解決實(shí)際問題的正確率較為均衡，都不算高.方法選擇上，十分明顯的是選擇算術(shù)方法的多于選擇方程方法的.學(xué)生為什么會選擇算術(shù)方法而不選擇方程解答呢？我十分疑惑.課后隨機(jī)詢問了年級中的幾名同學(xué)，他們幾乎一致地告訴我，方程的解答過程太煩瑣了，需要寫“解”“設(shè)”，解方程也比較麻煩.還有一部分學(xué)生表示，當(dāng)時(shí)沒有想到解方程這種方法，就用算術(shù)方法做，結(jié)果做錯(cuò)了.

看來，想要讓學(xué)生學(xué)會列方程解決實(shí)際問題，就要從根源抓起，讓學(xué)生真正理解方程的內(nèi)涵，讓學(xué)生心中有方程，甚至喜歡上方程.

二、追本溯源——方程模型的建立

在學(xué)習(xí)方程之前，學(xué)生從來沒有接觸過方程，雖然之前教師沒有提出方程的概念，但是學(xué)生實(shí)際上已經(jīng)有了方程的意識.那么，方程到底從何而來呢？

（一）四則運(yùn)算中滲透方程意識

一年級開始就有類似的題：（ ）+3=10，要填出括號里的數(shù)，實(shí)質(zhì)上就是在求未知數(shù).記得當(dāng)時(shí)教學(xué)時(shí)會讓學(xué)生思考，幾加3等于10呢，這就是方程的觀念.看來從一年級開始就有方程意識的滲透！之后的運(yùn)算中像這樣的練習(xí)更多了，比如△×△×△=8，△+□=11，△=（ ?），□=（ ?）.在這樣一次次練習(xí)中，“方程”已悄然在孩子心中播下了一顆種子.

（二）用字母表示數(shù)鋪墊方程概念

五年級上學(xué)期學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，這是一個(gè)獨(dú)立單元，教師往往就教材而教，忽略了這部分內(nèi)容與前后的聯(lián)系，這一單元實(shí)際就是為了學(xué)習(xí)方程作鋪墊的，讓學(xué)生學(xué)會用含有字母的式子表示數(shù)以及數(shù)量關(guān)系，正確厘清數(shù)量之間的關(guān)系，并學(xué)會用含有未知數(shù)的表達(dá)式列方程解決實(shí)際問題.

（三）簡易方程構(gòu)建方程模型

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.” 我覺得方程是建立未知與已知之間等量關(guān)系的模型.在這一單元教學(xué)過程中要循序漸進(jìn)，讓學(xué)生有效地參與學(xué)習(xí)和探索活動(dòng)，讓學(xué)生在自主探索和合作交流中逐步理解方程的含義和解法，經(jīng)歷列方程解決實(shí)際問題的過程，不斷體會方程的特點(diǎn)和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.在初步認(rèn)識方程中，教師可利用天平這一工具進(jìn)行演示，讓學(xué)生能夠直觀地感受到數(shù)量之間的等量關(guān)系，體會方程的特點(diǎn)及含義，也是直觀建立方程模型的過程.

對學(xué)生來說，從具體的、確定的數(shù)過渡到用字母表示未知的、可變的數(shù)，再由列算式解決實(shí)際問題到列方程解決實(shí)際問題，這是認(rèn)識上的一次飛躍，更是思維的一個(gè)大轉(zhuǎn)折.在概念學(xué)習(xí)的過程中教師提前向?qū)W生滲透方程建模的意識與方法，把握方程模型最核心的價(jià)值，有利于幫助學(xué)生突破列方程解決實(shí)際問題的難點(diǎn).

三、指導(dǎo)過程——方程應(yīng)用意識的植入

（一）提高學(xué)生解方程的能力

部分學(xué)生不愿意用列方程解決實(shí)際問題，就是因?yàn)樗麄兘夥匠棠芰Ρ∪?在列方程解決實(shí)際問題過程中，有的只需要一步計(jì)算，而有的需要兩步或者三步計(jì)算.在教學(xué)解方程的過程中，教師通常要求學(xué)生利用等式的性質(zhì)來解方程，學(xué)生也初步掌握了x+a=b，x-a=b，ax=b和x÷a=b等一步計(jì)算方程的解法.對于一些特別的方程，例如a-x=b，a-bx=c，教師需要啟發(fā)他們靈活運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)以及等式的性質(zhì)去解決，進(jìn)一步理解方程的特點(diǎn)及解法，提高解方程的能力.

（二）突出方程方法的優(yōu)勢

在學(xué)生由算數(shù)方法向方程方法過渡時(shí)，教師在注重方程格式的同時(shí)，要突出運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的優(yōu)越性.教師可以設(shè)計(jì)同樣一道題目，用算數(shù)方法解起來很煩瑣，而用方程解起來卻輕而易舉，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)方程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣.

例如，學(xué)生錯(cuò)誤率極高的這道練習(xí)：少先隊(duì)員參加植樹活動(dòng)，五年級去了205人，四年級去的人數(shù)是五年級的1.2倍少12人，五年級去的人數(shù)比六年級的1.5倍少5人.

（1）四年級去了多少人？

（2）六年級去了多少人？

教師要引導(dǎo)學(xué)生找出題中的數(shù)量關(guān)系，四年級的人數(shù)等于五年級人數(shù)×1.2-12，由于五年級人數(shù)是已知的，因此直接列算式非常方便.六年級人數(shù)的數(shù)量關(guān)系是五年級人數(shù)=六年級人數(shù)×1.5-5.數(shù)量關(guān)系中已知的是五年級人數(shù)，六年級人數(shù)是未知的，為了順應(yīng)思維順序，可以設(shè)六年級人數(shù)為x，這樣自然而然地就可以列方程解決了.

我們還可以通過兩種方法的對比，進(jìn)一步讓學(xué)生體會方程的優(yōu)勢.求六年級的人數(shù)的關(guān)系式是：五年級人數(shù)=六年級人數(shù)×1.5-5.運(yùn)用方程解決是順向思維，如果一定要運(yùn)用算術(shù)方法解決，那我們就要逆向思維了，難度一下子提升了.條件“五年級去的人數(shù)比六年級的1.5倍少5人”，已經(jīng)知道的是五年級的人數(shù)，那我們可以先算出六年級人數(shù)的1.5倍，也就是五年級的人數(shù)多5人，列式為205+5=210（人），也就是210人是六年級的1.5倍，六年級的人數(shù)為210÷1.5=140（人）.相信通過這樣的對比練習(xí)，學(xué)生能夠領(lǐng)悟到算術(shù)方法和方程之間的聯(lián)系與區(qū)別，更能凸顯出方程在這一類題型中的優(yōu)勢所在，也有利于以后解題方法的選擇.

（三）依靠常見數(shù)量關(guān)系列方程

列方程解決實(shí)際問題最關(guān)鍵的就是厘清條件與問題之間的數(shù)量關(guān)系，按照順向思維順序，利用未知數(shù)，列出方程，并且解方程.因此把握數(shù)量關(guān)系是列方程解決問題的前提條件.題目千千萬萬，有一些最基本的數(shù)量關(guān)系是不變的，比如：涉及行程問題時(shí)，要能想到：速度×?xí)r間=路程，涉及購物問題時(shí)，要能想到：單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，還要想到數(shù)量之間的比較，數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系等.其他一些較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系實(shí)際上就是由這些基本的數(shù)量關(guān)系組合而成的.依靠常見的數(shù)量關(guān)系，能夠幫助我們逐步探究出正確的等量關(guān)系，從而依據(jù)等量關(guān)系，列出正確的方程.

為了進(jìn)一步突破找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系這一難點(diǎn)，教師可以設(shè)計(jì)找等量關(guān)系的專項(xiàng)練習(xí)，幫助學(xué)生學(xué)會根據(jù)不同的具體情境發(fā)現(xiàn)其中的等量關(guān)系并列出方程，學(xué)會判斷哪些等量關(guān)系能列出方程.

（四）練習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生用方程解決問題的意識

為了鞏固列方程解決實(shí)際問題這一新本領(lǐng)，強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用方程模型的意識，教師在教學(xué)后安排適量的練習(xí)是非常有必要的.教師還要有針對性地設(shè)計(jì)一些稍復(fù)雜的問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中，體會方程的優(yōu)越性，培養(yǎng)他們用方程解決問題的意識.

例如，在列方程解決問題練習(xí)中，可以設(shè)計(jì)這樣的題目：某市實(shí)行階梯水價(jià)，規(guī)定每戶每月用水量在標(biāo)準(zhǔn)量以內(nèi)部分的水價(jià)為3元/ 噸，超過的部分水價(jià)為5元/噸，李阿姨家上個(gè)月用水 13噸，交水費(fèi) 49 元.該市每戶每月用水的標(biāo)準(zhǔn)是多少噸？

解決問題先找數(shù)量關(guān)系，規(guī)定部分的水費(fèi)+超過部分的水費(fèi)=49元.這樣的問題用算術(shù)方法解決比較復(fù)雜，而用方程解答則思路很順暢，很容易理解等量關(guān)系，求出正確的結(jié)果.當(dāng)然在解決問題過程中教師不需要每題都明確用方程解決，先讓學(xué)生嘗試自己解決，在解決中發(fā)現(xiàn)有困難可以適當(dāng)點(diǎn)撥，解決后也可以對比算算術(shù)方法和方程，不能光比形式上，更重要的是讓學(xué)生說說思維的過程.在這樣自己解答，對比方法的過程中，學(xué)生能夠清晰地感知到用方程解決問題的優(yōu)勢，并自覺地構(gòu)建方程思想.

以上是筆者在教學(xué)用方程解決實(shí)際問題過程中的一些發(fā)現(xiàn)與思考.我知道方程教學(xué)也只是代數(shù)領(lǐng)域的一個(gè)墊腳石，能為今后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題奠定基礎(chǔ).因此，在方程教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生感受方程思想，體會用方程解決問題的優(yōu)越性，打破學(xué)生固有思維，滲透代數(shù)思想，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

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