二維三角晶格垂直于平面的振動模式研究

金麗珍,王行樂,上官曉霞,吳顯麗,陳 昊,毛勇華,謝建平

(1.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000；2.湖州學(xué)院 理工學(xué)院，浙江 湖州 313000； 3.維正知識產(chǎn)權(quán)科技有限公司，浙江 臺州 318000)

晶格振動是固體物理學(xué)重要的教學(xué)內(nèi)容之一[1].晶格振動的研究始于晶體熱學(xué)性質(zhì)的研究.但晶格振動的理論已不限于解釋晶體的熱性質(zhì)，目前它已成為研究固體宏觀性質(zhì)和微觀變化過程的重要理論基礎(chǔ).

近年來，低維納米材料，特別是單原子的二維原子晶體材料的研究非常熱門[2-7]，涵蓋了絕緣體、半導(dǎo)體、半金屬、金屬和超導(dǎo)體，是目前凝聚態(tài)物理和材料科學(xué)領(lǐng)域的研究熱點之一.由于受到量子限域效應(yīng)的影響，二維晶體材料呈現(xiàn)出與三維材料迥然不同的獨(dú)特性質(zhì)，在光電器件、能源及催化等諸多領(lǐng)域展示出了巨大的應(yīng)用前景.

二維晶體材料的諸多性質(zhì)與晶格振動密切相關(guān).當(dāng)前二維晶格平面內(nèi)的振動研究較多[8-14]，但二維晶格垂直于平面的振動研究較少.本文以二維正三角晶格為研究對象，討論其垂直于平面的晶格振動，利用簡諧振動模型，在最近鄰近似(第一近鄰)下討論晶格振動的動力學(xué)模型、運(yùn)動方程和方程的解，計算推導(dǎo)倒空間中第一布里淵區(qū)內(nèi)3個特殊方向上的色散關(guān)系，并利用Matlab軟件作出二維色散關(guān)系曲線.

1 二維三角格點晶格振動

1.1 動力學(xué)模型

圖1 二維正三角晶格的周期性結(jié)構(gòu)及其原胞和基矢Fig.1 The periodic structure of two-dimensional regular triangular lattice with its primitive cells and basis vectors

二維三角晶格中原子配位數(shù)為6，即每個原子有6個最近鄰原子，以原子(l,m)為例，最近鄰原子位置和序號如圖2所示.設(shè)相鄰原子間恢復(fù)力系數(shù)均為β，原子限制在垂直于平面的方向運(yùn)動，用μlm表示第l列、第m行的原子(l,m)在垂直方向上偏離平衡位置的位移，如圖3所示.

圖2 二維三角晶格6個最近鄰原子位置及序號Fig.2 Position and sequence number of the six nearest neighbor atoms in the triangular lattice

1.2 運(yùn)動方程

原子限制在垂直于平面的方向運(yùn)動，以第m行為例，如圖2和圖3所示，當(dāng)原子垂直于平面振動時，原子(l,m)在垂直方向?qū)⑹艿阶笥业谝唤徳?l-1,m)和原子(l+1,m)的作用力.

圖3 第m行原子垂直振動時偏離平衡位置示意圖Fig.3 Schematic diagram of atomic vertical vibration deviation from equilibrium position in line m

在簡諧近似下，類似一維單原子鏈晶格振動情況[1]，左右第一近鄰原子(l-1,m)和原子(l+1,m)對其作用力f1、f2分別為：

(1)

同理，其它兩個方向近鄰原子的作用力f3、f4和f5、f6可分別記為：

(2)

(3)

原子(l,m)所受合力為：

(4)

根據(jù)牛頓運(yùn)動學(xué)定理，并考慮作用力f1和f2、f3和f4、f5和f6的方向相反，可得原子(l,m)的運(yùn)動方程為：

(5)

每個原子對應(yīng)一個方程，若二維三角晶格有n個原子，則有n個類似的方程.方程(5)表示n個聯(lián)立的線性齊次方程組.

1.3 試探解的形式

由圖1可知，原子(l,m)距離原點的位移為：

(6)

根據(jù)波動方程的特解，并類比一維單原子[1]鏈和二維正方晶格[12]振動的格波特解，可得該二維三角晶格運(yùn)動方程的特解形式為:

(7)

將式(6)代入試探解(7)，得：

(8)

式(8)表示一個簡諧振動，代表全部原子都以同一頻率ω、同一振幅A集體運(yùn)動的一種模式，晶格中所有原子振動的位移表達(dá)式均可通過式(8)給出.

1.4 色散關(guān)系

將方程解式(8)帶入運(yùn)動方程式(5)，化簡可得二維三角晶格垂直于平面振動時的色散關(guān)系函數(shù)：

(9)

其中，ωT為三角晶格振動頻率.式(9)與原子序號(l,m)無關(guān)，表明n個聯(lián)立的方程都?xì)w結(jié)為式(9).只要振動頻率與波矢滿足上述關(guān)系，式(8)就表示聯(lián)立方程式(5)的解.

2 結(jié)果分析與討論

2.1 色散關(guān)系曲線

(10)

由式(10)計算可得倒格原胞基矢大小相等，夾角為120°.由倒格基矢構(gòu)造倒格空間，倒格空間中原胞及第一布里淵區(qū)如圖4所示，Γ、M、K點為第一布里淵區(qū)內(nèi)的3個高對稱點.

圖4 二維三角晶格倒空間(a)和第一布里淵區(qū)(b)Fig.4 The reciprocal space (a) and its first Brillouin zone (b) of two-dimensional triangular lattice

2.1.1 ΓM方向色散關(guān)系

在第一布里淵區(qū)內(nèi)，設(shè)kx沿著ΓM方向，當(dāng)波矢沿著ΓM方向取值時，有k=kx，ky=0，得色散關(guān)系：

(11)

2.1.2 ΓK方向色散關(guān)系

(12)

2.1.3 MK方向色散關(guān)系

(13)

第一布里淵區(qū)3個對稱方向的色散關(guān)系曲線如圖5所示.二維三角晶格原胞內(nèi)只包含一個原子，若限制晶格嚴(yán)格垂直于平面振動，自由度為1，只有一支格波(色散關(guān)系)，且為聲學(xué)波.

圖5 第一布里淵區(qū)3個對稱方向的色散關(guān)系曲線Fig.5 Dispersion curves of three symmetrical directions in the first Brillouin zone

2.1.4 二維色散關(guān)系

當(dāng)波矢k任意取值時，根據(jù)色散關(guān)系式(9)并利用Matlab軟件作圖，得到幾個周期內(nèi)的色散關(guān)系圖(圖6(a))，以及第一布里淵區(qū)內(nèi)的二維色散關(guān)系圖(圖6(b)).

圖6 色散關(guān)系圖Fig.6 Dispersion relation

2.2 與二維六角晶格對比

以二維三角晶格振動模型為基礎(chǔ)，進(jìn)行二維六角晶格振動模型的搭建及運(yùn)動模式求解.考慮一個二維六角晶格模型，如圖7所示，晶格由全同原子組成，設(shè)每個原子質(zhì)量為m，原子間的距離為a，恢復(fù)力系數(shù)為β.

圖7 二維六角晶格結(jié)構(gòu)(a)及原子第一近鄰原子位置(b)Fig.7 The two dimensional hexagonal lattice structure (a) and the position of the first nearest neighbor atoms (b)

考慮到不同原子所處的環(huán)境不同，可將二維六角晶格中的原子分為A原子和B原子兩類.考慮第一近鄰相互作用，任意原子的振動都將受到第一近鄰原子的3個原子的相互作用力，如圖7(b)所示，分別對應(yīng)A原子和B原子.以A原子為例，簡諧近似下的合力為：

FA=β(μL-1,M-μL,M)+β(μL,M+1-μL,M)+β(μL+1,M-1-μL,M).

(14)

運(yùn)動方程為：

(15)

類比二維三角晶格最近鄰振動的格波試探解，可得該二維六角晶格模型晶格的A原子和B原子在振動時的運(yùn)動方程具有相同形式的試探解：

(16)

將各解帶入振動方程，并約去公因式，可得二維六角晶格中A原子和B原子垂直于平面振動的相同的色散關(guān)系函數(shù)(簡并)：

(17)

其中，ωH為六角晶格振動頻率.式(17)與原子序號(L,M)無關(guān)，表明n個聯(lián)立的方程都?xì)w結(jié)為式(17).只要振動頻率與波矢滿足關(guān)系式(17)，式(16)就表示聯(lián)立方程(15)的解.

3 結(jié) 論