數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)與案例

何小亞 張 敏 李湖南 羅 靜 張艷虹

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)指的是，對中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中若干小節(jié)或一章的內(nèi)容進(jìn)行的整體性設(shè)計(jì).數(shù)學(xué)單元設(shè)計(jì)能解決數(shù)學(xué)概念原理孤立分散、輕重不分、認(rèn)識膚淺等問題.通過數(shù)學(xué)單元設(shè)計(jì)，能抓住核心概念、原理及其邏輯聯(lián)系，深化數(shù)學(xué)知識的理解，整體把握知識體系，最終達(dá)到華羅庚先生的“把書讀薄”之境界.下面，以人教版高中數(shù)學(xué)新教材第五章三角函數(shù)[1]為例，介紹數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn).

1 課程教材分析

(1)基本內(nèi)容：把單元基本內(nèi)容以結(jié)構(gòu)框架或思維導(dǎo)圖的方式呈現(xiàn)出來.

三角函數(shù)章節(jié)知識內(nèi)容結(jié)構(gòu)

(2)核心內(nèi)容：篩選出核心概念、核心原理，明確數(shù)學(xué)主線.

A.核心概念：單位圓、弧度制；正弦、余弦、正切函數(shù).

B.核心原理：正余弦平方關(guān)系、弦切關(guān)系；誘導(dǎo)公式；兩角差的余弦公式.

C.數(shù)學(xué)主線：基本初等函數(shù)是函數(shù)家族中最簡單的函數(shù).在數(shù)學(xué)世界和真實(shí)世界中，有許多難題最終要化歸為復(fù)雜的函數(shù)問題，而面對復(fù)雜的函數(shù)問題，我們必須將此函數(shù)問題化歸為簡單的基本初等函數(shù)問題，從而使難題獲解.本單元簡單化的思路：一是角度層面，把任意角化歸為銳角處理；二是函數(shù)層面，把復(fù)雜的三角函數(shù)化歸為簡單的正弦、余弦、正切函數(shù)處理.

(3)地位作用：厘清單元知識的前后聯(lián)系；明確跨學(xué)科的、知識應(yīng)用的橫向聯(lián)系；把握單元內(nèi)容的功能定位.

初中是在初三的圖形與幾何—圖形的變化—圖形的相似中介紹了銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA).高中的三角函數(shù)是初中的三角函數(shù)的推廣深化(銳角推廣為任意角；角度推廣為實(shí)數(shù)).單位圓在三角函數(shù)單元中處于聯(lián)系的中心地位，借助單位圓，引入弧度制和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；直觀簡潔地揭示了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義和性質(zhì)；利用單位圓的對稱性，證明了誘導(dǎo)公式.用三角函數(shù)模型能解決大量的周期性問題.借助于信息技術(shù)的支持，三角函數(shù)模型能解決大量復(fù)雜的實(shí)際問題.

2 教學(xué)目標(biāo)分析

結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求[2]，按照三維目標(biāo)的操作性理論[3]去明確、分析.

2.1 知識與技能

言語信息；認(rèn)知技能；動(dòng)作技能.主要回答知道什么？理解什么？會(huì)做什么？

(1)任意角和弧度制

理解任意角的概念和弧度制，以及引入弧度制的必要性,會(huì)做弧度與角度的互化.

(2)三角函數(shù)

①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義；②借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式,并畫出三角函數(shù)的圖像；③借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π],正切函數(shù)在(-π/2,π/2)上的性質(zhì)(如周期性、奇偶性、單調(diào)性、最大最小值，等等)；④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；⑤借助計(jì)算機(jī)畫出y=Asin(ωx+φ)的圖像,觀察3個(gè)參數(shù)對函數(shù)圖像變化的影響；⑥能用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題,知道三角函數(shù)是描述周期變化的函數(shù)模型.

(3)三角恒等變換

①用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程；

②能用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差公式，倍半角公式；

③運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的恒等變形(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式).

2.2 過程與方法

數(shù)學(xué)教學(xué)不能只滿足于“雙基”(基礎(chǔ)知識和基本技能)的教學(xué)，還應(yīng)該通過大大小小的環(huán)節(jié)去追求更高大上的目標(biāo)：數(shù)學(xué)思想方法的把握；數(shù)學(xué)問題解決與思維品質(zhì)的改善；數(shù)學(xué)能力(含數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng))的提升；數(shù)學(xué)眼光的形成；基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.

A.數(shù)學(xué)思想方法：化歸思想、函數(shù)思想、方程思想；數(shù)形結(jié)合、分類討論、換元法、待定系數(shù)法.

B.數(shù)學(xué)問題解決與思維品質(zhì)的改善：數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，可以從廣闊性、深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性、嚴(yán)謹(jǐn)性這些角度去思考.

給學(xué)生提供情境新穎的問題，讓其獨(dú)立解決問題，可以有效地提升其數(shù)學(xué)問題解決能力.例如，已知tan2θ=2tanθ+1,0<θ<2π.(1)求tan2θ的值；(2)若tanθ=2+tan3θ,試求出滿足題設(shè)條件的θ，并將其表示為有理數(shù)與π的積的形式.

C.數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(關(guān)鍵能力)可以在此體現(xiàn)，但不必面面俱到，應(yīng)該有所側(cè)重.例如，本單元比較突出的是：

幾何直觀：借助單位圓直觀地認(rèn)識任意角、任意角的三角函數(shù),理解三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)、誘導(dǎo)公式等恒等變換,從而理解三角函數(shù)在一個(gè)周期上的周期性、單調(diào)性、最大值、最小值、圖像與x軸的交點(diǎn)等性質(zhì).

數(shù)學(xué)建模：將三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型.首先提供豐富的實(shí)際背景,通過概括、抽象和分析,建立相應(yīng)的三角函數(shù)模型,其次運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法研究三角函數(shù)模型,最后利用三角函數(shù)模型去更好地解釋實(shí)際問題.這種處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程,有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

D.數(shù)學(xué)眼光：就是觀察數(shù)學(xué)世界和真實(shí)世界的一種意識，是在思考問題時(shí)數(shù)學(xué)方面的自覺意識、關(guān)注和習(xí)慣.包括：精確的眼光、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难酃?、簡潔的眼光、概括的眼光、統(tǒng)一的眼光[4]；理想化的眼光(將實(shí)體簡化假設(shè)為幾何模式或代數(shù)模式)、共性化的眼光(對共同屬性的敏感和發(fā)現(xiàn))；數(shù)的意識、符號的意識、空間觀念、數(shù)據(jù)分析的意識、數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識.

三角函數(shù)單元在形成簡潔的眼光；概括的眼光、統(tǒng)一的眼光、理想化的眼光方面應(yīng)該發(fā)揮重要的作用.

E.基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：通過三角函數(shù)的應(yīng)用，積累問題解決和數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn).

2.3 情感態(tài)度價(jià)值觀

數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)興趣、數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的喜好與感受.

追求簡單化是數(shù)學(xué)的靈魂；化歸是將復(fù)雜變簡單的利器；感受三角公式的概括性(以一個(gè)有限的模式駕馭無窮的具體)；佩服正弦、余弦兄弟超強(qiáng)的數(shù)字壓縮功能；喜歡單位圓(數(shù)學(xué)小可愛“園園”)強(qiáng)大的統(tǒng)一聯(lián)系功能；崇拜正切變換“盼盼”，他能帶領(lǐng)正弦余弦兄弟由[-1，1]穿越到浩瀚的實(shí)數(shù)空間(-∞,+∞).

3 重點(diǎn)數(shù)學(xué)解析

3.1 函數(shù)概念的本質(zhì)

初中的銳角三角函數(shù)是用直角三角形中的邊之比來定義的，其中自變量的取值是60進(jìn)位制的角度、不是10進(jìn)位制的實(shí)數(shù)，是函數(shù)的變量說，不符合高中的對應(yīng)關(guān)系函數(shù)定義.高中的函數(shù)必須是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)，因?yàn)橹挥羞@樣才能進(jìn)行基本初等函數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算、復(fù)合、求反函數(shù)等).

高中的三角函數(shù)是通過角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)及其比來定義的，受制于初中函數(shù)變量說定義的局限性，這里師生容易誤將變量當(dāng)成函數(shù)，而且難以理解變量x是角變量的函數(shù).

突破難點(diǎn)對策是：通過冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠理解：“函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的一種對應(yīng)關(guān)系；在一個(gè)集合中任意取定一個(gè)數(shù)，總可以在另一個(gè)集合里找到唯一確定的數(shù)與它對應(yīng)；前面的集合叫定義域，那些被唯一確定的所有數(shù)組成了叫做值域的集合；函數(shù)概念的關(guān)鍵是由誰唯一確定了誰；函數(shù)概念與兩個(gè)變量所用的符號沒有什么關(guān)系，就像人的名字一樣(圓面積S是半徑r的函數(shù)，這里并沒有x、y)；函數(shù)其實(shí)就是一個(gè)系統(tǒng)，一臺機(jī)器，它由兩個(gè)變量，兩個(gè)非空數(shù)集，對應(yīng)法則f(比如乘2加3，平方，表格對應(yīng)，箭頭對應(yīng)，……)構(gòu)成，不能把函數(shù)值f(x)當(dāng)成函數(shù),也不能把對應(yīng)法則f當(dāng)成函數(shù).我們可以說一個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù)，但不能把變量x、y當(dāng)成函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)不是變量，而是一個(gè)系統(tǒng).”[5]

用單位圓來定義正弦、余弦、正切函數(shù)，似乎簡單了，但其應(yīng)用的功能減弱了，因?yàn)閷τ谝粋€(gè)角的終邊上，不在單位圓上的那些點(diǎn)的坐標(biāo)條件的應(yīng)用還是需要單位圓定義的三角函數(shù)坐標(biāo).因此，為了提高定義的應(yīng)用功能以及“大道至簡”的原則，在利用相似三角形的性質(zhì)講初中的三角函數(shù)定義與高中的新定義的聯(lián)系和統(tǒng)一時(shí)，順勢引入三角函數(shù)的終邊定義，并指出兩種定義的等價(jià)性.

3.2 角度制與弧度制

角度制適用于初等數(shù)學(xué).用角度作為自變量表示三角函數(shù)，除了函數(shù)定義的缺陷外，還存在著另外一個(gè)問題，就是自變量的值與函數(shù)值不能進(jìn)行運(yùn)算(例如，60°與 sin 60°不能相加，阻礙了三角函數(shù)通過運(yùn)算法則形成其它初等函數(shù).

正是由于更簡潔這個(gè)原因, 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的文獻(xiàn)中, 與三角函數(shù)有關(guān)的量一律采用弧度制.

“弧度制是高中數(shù)學(xué)中另一個(gè)與接受假設(shè)相關(guān)的重要概念，由于教學(xué)中處理不當(dāng)，學(xué)生難以理解引入弧度制的必要性與合理性.角度制是同一量綱范疇下的度量，學(xué)生可接受理解，但弧度制則是不同量綱范疇下的度量，學(xué)生難以理解和接受.例如，對于1800=π，學(xué)生的困惑是：左邊是一個(gè)角度，右邊是一個(gè)實(shí)數(shù)，怎么可能相等?事實(shí)上，學(xué)生的質(zhì)疑是有道理的，這個(gè)等式的相等其實(shí)只是一一對應(yīng).要解除學(xué)生的困惑，首先是對“=”的理解需要從算術(shù)意義跨越至代數(shù)意義.”[6]

其次，教師可以如此說明：分別以米和厘米量一段3米長的鐵絲時(shí)，結(jié)果分別是3份和300份，即3米=300厘米.用周角的360分之一,即1度角作為一個(gè)單位去度量周角，得到360度.用1度角作為一個(gè)單位去度量周角，等價(jià)于用圓周長的360分之一(即1份)去度量了圓周長，得到了360份，而用半徑r作為一個(gè)單位(弧度)去度量圓周長2πr，得到2π份(弧度)，所以，360份=2π弧度，3600=2π弧度，即1800=π.

解決引入弧度制的必要性與合理性問題，一條思路是按照弧度制發(fā)展的歷史設(shè)計(jì)教學(xué)[7]；另一種方法是借用汽車?yán)锍瘫砟Ｐ蛠碚f明弧度制的必要性與合理性.

3.3 對三角公式的重新審視

本單元核心的數(shù)學(xué)原理：正余弦平方關(guān)系、弦切關(guān)系；誘導(dǎo)公式；兩角差的余弦公式.

誘導(dǎo)公式是化歸的神器，能將復(fù)雜的任意角的三角函數(shù)的推理計(jì)算化歸到簡單的第一象限角的三角函數(shù)的推理計(jì)算.

兩角差的余弦公式則是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，以及積化和差與和差化積等三角變換的核心公式，由其可以推演出后續(xù)其余的公式.

公式是一種數(shù)學(xué)原理，原理學(xué)習(xí)的本質(zhì)是[8]P60-63：

(1)原理學(xué)習(xí)實(shí)際上是學(xué)習(xí)一些概念之間的關(guān)系；

(2)原理學(xué)習(xí)不是習(xí)得描述原理的言語信息，而是習(xí)得原理的心理意義，它是一種有意義的學(xué)習(xí)；

(3)原理學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是習(xí)得產(chǎn)生式：只要條件信息一滿足，相應(yīng)的結(jié)論的行為反應(yīng)就自然出現(xiàn).學(xué)習(xí)者據(jù)此指導(dǎo)自己的行為并解決遇到的新問題；

(4)習(xí)得原理不是孤立地掌握一個(gè)原理，而是要在原理之間建立聯(lián)系，形成原理網(wǎng)絡(luò).

數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的核心是要幫助學(xué)生把握原理結(jié)構(gòu)的不變性，理解數(shù)學(xué)原理的概括性(即：以一個(gè)有限的原理模式駕馭無窮的具體)，以及表達(dá)這一不變性的多樣性.

小學(xué)、初中、高中、大學(xué)的數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)，本質(zhì)是一樣的，也就是：結(jié)構(gòu)的確定性與字母的可變性！例如，學(xué)習(xí)兩角和的余弦公式，就要擺脫符號的約束，構(gòu)建結(jié)構(gòu)圖式：

cos﹙□+△﹚?cos□cos△-sin□sin△.

3.4 三角變換的透視與數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)

正弦、余弦變換是周期性壓縮變換：R→[-1,1]，但不可逆，因?yàn)樗皇?-1對應(yīng)；

正切變換：(-π/2, π/2)→R，是1-1對應(yīng)，可逆.正切值?實(shí)數(shù)；

通過三角變換的相關(guān)證明，要讓學(xué)生明白：數(shù)學(xué)證明的本質(zhì)是尋求題設(shè)和結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系.學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)證明的思維方式：由因?qū)Ч?，?zhí)果索因，上下緊逼，前后夾攻，思路貫通.

教師心中要非常清楚數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值：(1)理解、深化數(shù)學(xué)概念；(2)鞏固、掌握數(shù)學(xué)原理；(3)獲得數(shù)學(xué)證明的思維方式；(4)訓(xùn)練提高推理能力，培養(yǎng)理性精神；(5)學(xué)會(huì)邏輯地表達(dá)交流；(6)理解命題，相信數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)自信.