群為超可解群的另一個充要條件

曾利江

(遵義師范學(xué)院黔北文化與經(jīng)濟研究院， 貴州 遵義563000)

有限群有著廣泛的研究內(nèi)容，文[1]-[5]都對有限群有過研究，在文[6]和[7]中，分別給出了判別一個群為超可解群的充要條件與充分條件，本文給出了幾個定義，最后定義了一個群的廣義中心的概念，證明了一些性質(zhì)，最后給出了一個群為超可解群的另一個充要條件。

文[8]用9個引理證明了一個定理1，由這個定理1可以得到一個顯然的推論，這個推論如下：

引理1群G為超可解的充要條件是G/(G) 超可解。

群G的兩個子群H，K若滿足HK=KH，則稱H與K可換，易知H與K可換的充要條件是HK為G的子群，即HK≤G。

下面推廣中心元的概念。

定義1群G之元x生成的子群如果與G的每個Sylow子群可換，就把x叫做G的廣義中心元。

顯然，中心元必為廣義中心元，且有下面的推論(我們把它寫成引理2)。

引理2群G之正規(guī)循環(huán)子群中的每個元都是G的廣義中心元，因而超可解群必有非平凡的廣義中心元。

1 一些準(zhǔn)備

設(shè)H=?G，則H之元為αλ形，但<αλ>?G，故<αλ>與G的每個子群當(dāng)然可換，即αλ為廣義中心元。為研究廣義中心元以及隨后將要定義的廣義中心，先看廣義中心元在取子群與取商群時的情況。

引理3設(shè)x為G的廣義中心元：

(1)若x∈H≤G，則x亦為H的廣義中心元；

(2)若θ是G的同態(tài)映射，則χθ為Gθ的廣義中心元。

證明 (1)?Hp∈Sylp(H)(H的Sylowp-子群的集合)，?GP∈Sylp(G)使Hp≤Gp，于是Hp≤H∩Gp；但H∩Gp又是H的p-子群，故這時有Hp=H∩Gp，因x是G的廣義中心元，故Gp=Gp，再利用H?得H∩Gp=(H∩Gp)=Hp亦為子群，即與Hp可換，故x為H的廣義中心元。

(2)?N?G使Gθ?G/N(即N=kerθ)，故Gθ的任一西洛p-子群必對應(yīng)某A/N∈Sylp(G/N)，于是(|G：A|，p)=1，故取S∈Sylp(A)時，則必有S∈Sylp(G)，因此SN/N∈Sylp(G/N)，于是從SN≤A，有A=SN.然而Aθ=(SN)θ=SθNθ=Sθ，而Aθ?A/N說明Gθ的每個Sylowp-子群Aθ必為G的一Sylowp-子群S的像Sθ。

因x為G的廣義中心元，故S=S，于是得(S)θ=(S)θ?θSθ=Sθθ，即θSθ=Sθθ，表明與Gθ的每個Sylow子群S可換，故xθ為G的廣義中心元。

下面的引理將說明研究一般的廣義中心元可以歸結(jié)為研究廣義中心p-元。

引理4設(shè)x為群G的廣義中心元，o(x)=prm，p是素數(shù)且(p,m)=1，于是x=yz=zy，o(y)=pr，o(z)=m，y是廣義中心元且y∈Op(G)(G的正規(guī)p-子群的全體)。特別，G的廣義中心p-元全在Op(G)內(nèi)。

證明(p,m)=1??λ，μ∈Z,使λpr+μm=1，故x=xμm·xλpr，于是令y=xμm，z=xλpr，則x=yz=y=zy，且顯然有o(y)=pr，o(z)=m，于是為的唯一一個Sylowp-子群，今取Gp∈Sylp(G)，則由Gp為G的子群得|∶∩Gp|=|Gp∶Gp|與p互素，而∩Gp為的p-子群，故∩Gp為的Sylowp-子群，且有∩Gp=，即y∈Gp，因而y∈Gp=Op(G)。

再任取Gq∈SyLq(G)，q≠p，則Gq為G的子群，而|Gq∶|=|||Gq|/|||∩Gq|||=m|Gq|/||∩Gq|又與p互素，故知是∩Gq的Sylowp-子群，但|≤(Gq)∩Op(G)，而Gq∩Op(G)又為Gq的p-子群，故=Gq∩Op(G)，因此|?Gq?Gq≤NG()，從而有Gq=Gq，這就證明了y為G的廣義中心元。

證明令o(x)/piɑi=mi(i=1，2，…，t)，則

(m1,m2,……mi)=1??ki∈Z(i=1,2,…,t)使k1m1+…+kimi=1，故令xi=xkimi時，則o(xi)=piɑi，xixj=xjxi(i≠j)，且x=x1x2…xi.

xixj=xjxi，o(xi)=piɑi，o(xj)=piɑj，故從(pi,pj)=1知o(xixj)=piɑipjɑj，于是反復(fù)運用可得o(x2x3…xi)=m=p2ɑ2…p1ɑ1，故令y=x1，z=x2x3…xt時，則x=yz=zy，o(y)=p1ɑ1，o(z)=m，由引理4知，y=x1為廣義中心元且x1∈Op1(G)。同理可證x2……,xt均為廣義中心元且xi∈Op1(G)。因此，x∈Op1(G)×…×Op1(G)≤Fit(G)。

附注 此引理5說明：(1)研究一般的廣義中心元可以歸結(jié)為研究廣義中心元p-元；(2)任何廣義中心元必在Fit(G)內(nèi)；(3)廣義中心p-元還在Op(G)內(nèi)；(4)實際上，容易驗證x=x1x2…xt的表示還是唯一的。

2 廣義中心的定義和性質(zhì)

定義2群G的所有廣義中心元生成的子群稱為G的廣義中心，記作genz(G)，即：

genz(G)=

由于G的任何自同構(gòu)把廣義中心元仍然變?yōu)閺V義中心元(引理3)，故genz(G)為G的特征子群，即genz(G)charG，而且還有下面更深刻的結(jié)果。

引理6genz(G)是G的冪零特征子群，且它的Sylow子群都可由G的廣義中心元所生成。

引理7設(shè)N是群G的由一些廣義中心元生成的子群，則N是冪零群且它的Sylow子群都可由G的廣義中心元所生成。特別地，N可由素數(shù)冪階的廣義中心元所生成。

證明設(shè)N=，u，v，…，w為廣義中心元，則由引理4的推論引理5可知u，v，…，w∈Fit(G)，故N≤Fit(G)，從而N是冪零群。

又設(shè)o(u)，o(v)，…，o(w)的所有素因數(shù)的集合為{p1，…，pt}，于是由引理4的推論引理5知u=u1u2…ut，v=v1v2…vt，…，w=w1w2…wt，式中ui，vi，…，wi均為廣義中心p-元(i=1，…，t)(若某pi不整除o(u)，則ui=1.余類推)，由于=×… ×等等，可得

N=

=

=,…,w1;…;u1vt,…,wt>

設(shè)Ni=，則Nt在N的唯一一個西洛pi-子群中(因為N為冪零群)，所以N==N1×N2×…×Nt，即Ni為N的西洛pi-子群，由廣義中心pi-元ui,vi,…,wi所生成。

定義3群G的一個正規(guī)群列

1=G0

如果對0≤i≤r-1，每個Gt+1/Gt由G/Gi的廣義中心元生成，則稱1到Gr間的群列為G的廣義中心列，Gr稱為此廣義中心列的末項。

由引理7知G1冪零，且其每個Sylow子群都由G的廣義中心元所生成；同理，Gi+1/Gi也冪零，其每個Sylow子群可由G/Gi的廣義中心元所生成.由引理4及引理7，可知對于廣義中心列的每項討論的關(guān)鍵在于對廣義中心p-元的性質(zhì)的掌握，故下面的引理很有用。

引理8 設(shè)x為群G的廣義中心p-元，則

(1)x在G的每個Sylowp-子群內(nèi)，即；x∈Op(G);

(2)若素數(shù)q≠p，那么G的任何西洛q-子群Gq≤NG();

(3)若素數(shù)q還滿足(q，p(p-1))=1，則Gp≤CG。

證明 (1)為引理4結(jié)論之一。

(2)由引理4的證明可得=(Gq)∩Op(G)?Gq,故Gq≤NG()。

(3)令||=pe，則因NG()/CG()≤Aut()，故

|NG()/CG(|||Aut()|=p(p-1)，

于是從(q，p(p-1))=1得知(|NG()/CG()|,q)=1，所以再從Gq≤NG()|Gp|||CG()|得，因此取Q∈Sylp(CG())時，有Q∈Sylp(NG())，從而有g(shù)∈NG()使Gq=QG，故

Gq=QG≤(CG))G=CG()

下面給出今后研究超廣義中心時需要的一個重要性質(zhì)，即

引理9設(shè)x為群G的廣義中心p-元，L=G=為在G中的正規(guī)閉包。如果G/L為超可解群，則G就必是超可解的。

證明 對群階進行歸納，首先解決G的任何真商群G=G/N(即1

x為G的廣義中心p-元?xg仍為G的廣義中心p-元(引理3(2))，故每個xg∈Op(G)?L≤Op(G)，即L為p-群。

設(shè)q為|G|的最大素因數(shù)，若q≠p，則由G/L的超可解性可知G/L有q階正規(guī)子群C/L，由于(|L|，|C/L|)=1，設(shè)D為C的Sylowq-子群，則D為q階的且C=LD；因q>p，故(q，p(p-1))=1，由引理8可知D中心化每個xg(即D≤CG((xg)))，于是C=L×D，從而D為C的特征子群(即DcharC)，故再由C?G得D?G，這時得到G的真商群G/D，因而是超可解的，但D為循環(huán)的，故G是超可解群；

剩下只需考慮ф(S)=1的場合，這時S=S/ф(S)為初等交換p-群。設(shè)R是G的任意Sylowr-子群(任意素數(shù)r||G| )若r≠p,則由引理8知R≤NG();若r=p,則R=S,而因S交換，得知S≤NG().總之，G的每個Sylow子群都在NG()內(nèi)，從而G=NG()，即?G，于是G/為G的真商群，因而是超可解的，故由的循環(huán)性得G的超可解性。

3 最后的證明和定義

定理1設(shè)Gn為群G的某個廣義中心列的一項，S為G的超可解子群，則SGn為G的超可解子群。

證明 對群階進行歸納，不妨令Gn為下述廣義中心列的末項

1=G0

若SGn

1=G0

為SGn的廣義中心列，Gn為其末項，于是由|SGn|<|G|按歸納法可知SGn為超可解的。

1=L/L≤G1/L

為G/L的廣義中心列，其中Gn/L為末項。另一方面，SL/L為G/L的超可解子群，故從|G/L|<|G|而由歸納法可知SL/L·Gn=SGn/L為G/L的超可解子群，注意到SGn=G，即得G/L是超可解群，于是再由引理9得知G=SGn為超可解的。

推論1群G的一個廣義中心列的每一項都在G的任何極大超可解子群里，從而廣義中心列的每項自身是超可解的。

證明 設(shè)Gn為G的某廣義中心列的一項，S為G的一個極大超可解子群，由定理1知SGn為超可解的，但SGn≥S，故由S的極大超可解性得SGn=S，故Gn≤S。

類似于通常的上中心列概念，現(xiàn)在可以給出上廣義中心列的定義，即：

定義4設(shè)G0=1，令群G的廣義中心genz(G)=G1，再令genz(G/G1)=G2/G1，如此下去當(dāng)Gi定義以后可取gen(G/Gi)=Gi+1/Gi，由引理6得到G的特征群列1=G0

此鏈一定終止某項Gr，即genz(G/Gr=1)(有可能G1=G0，則r=0),那么

1=G0

稱為G的上廣義中心列，其末項Gn稱為G的超廣義中心，記作genz∞(G)。

推論2群G的超廣義中心是G的超可解特征子群，且為G的每個極大超可解子群的子群。

推論3群G為超可解群當(dāng)且僅當(dāng)genz∞(G)=G。

證明 若genz∞(G)=G，則genz∞(G)的超可解性(推論2)說明G是超可解群.

反之，若G為超可解群，則由本文的開頭知G有非平凡的廣義中心元，從而genz(G)=G1≠1，即上廣義中心列的第一項是非平凡的；由G/G1仍為超可解的，故只要genz(G)=G1≠G,則G/G1又有非平凡的廣義中心元，即genz(G/G1)=G2/G1≠1，即上廣義中心列的第二項G2真大于第一項G1，依次類推，上廣義中心列的某項只要不達到G，則上廣義中心列就可繼續(xù)上升，即上廣義中心列只能終于G，故genz∞(G)=G.

4 結(jié)語

推論3是本文最終的結(jié)果，它簡潔地給出了一個群為超可解群的充要條件，由定義4可知，當(dāng)群G為超可解群時，它的廣義中心列一直上升到群G為止，并且只有這種情況，群G才是超可解群。