利用定義證明函數(shù)極限的教學(xué)體會

郭家勇

（江蘇連云港師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，江蘇 連云港 222006）

函數(shù)極限是微積分中一個重要的概念，它是微積分學(xué)的工具，微積分后面很多的概念都是通過函數(shù)極限來定義的，因此，掌握好函數(shù)極限這個工具在學(xué)習(xí)微積分中起到了至關(guān)重要的作用。而給出函數(shù)極限的定義也是經(jīng)過了長期漫長的工作，最終由魏爾斯特拉斯給出了ε-δ定義。由于大多數(shù)微積分的教材都是先從函數(shù)極限定義開始講起，而極限的ε-δ定義又比較抽象，很多初學(xué)者在剛開始學(xué)習(xí)時(shí)感到困難，對極限的定義理解不夠深入，從而導(dǎo)致影響下面的學(xué)習(xí)。

這種情況一方面是由于大多數(shù)學(xué)生僅僅停留在中學(xué)數(shù)學(xué)的思維上，對極限這一新的概念沒有真正理解它的含義；另一方面，很多教材過多地強(qiáng)調(diào)了極限抽象理論而忽略了直觀認(rèn)識。由于對函數(shù)極限的定義理解不夠透徹，從而導(dǎo)致了用定義證明函數(shù)極限很多學(xué)生感到了困難，針對這種情況很多微積分教材也逐漸淡化這方面的內(nèi)容，對用定義證明函數(shù)極限不做過多的要求，其實(shí)利用極限的定義證明函數(shù)極限一方面是我們討論極限的一個重要的工具，很多重要的極限都是用極限的ε-δ定義證明給出的；另一方面，利用定義來證明函數(shù)極限也有助于學(xué)生加深對極限的ε-δ定義的理解。

一、函數(shù)極限ε-δ定義的理解

用定義證明函數(shù)極限首先要理解極限的定義，即若?ε＞0，?δ＞0，當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)，總有|f(x)-A|＜ε稱函數(shù)f(x)在x0處的極限為A，記為這個定義的直觀描述就是當(dāng)x無限趨近于x0時(shí)，f(x)無限的趨近于A，也就是當(dāng)x在x0某一個空心領(lǐng)域時(shí)，函數(shù)f(x)與A的距離比任意小的正數(shù)還要小。對于理解函數(shù)的ε-δ定義需要注意以下幾點(diǎn)

1.x→x0指的是x無限趨近于x0而不等于x0，所以x接近于x0的領(lǐng)域是空心領(lǐng)域。

2.?ε＞0，指的是任意小的正數(shù)，2ε，ε2，都可以表示任意小的正數(shù)。

3.當(dāng)x無限趨近于x0時(shí)，x在x0的小空心領(lǐng)域內(nèi)接近于x0，因此可以假定x在x0的某個空心領(lǐng)域內(nèi)，比如可假設(shè)0＜|x-x0|＜1，或者等。

二、通過解不等式求出δ證明函數(shù)極限

利用函數(shù)極限的ε-δ定義證明函數(shù)極限關(guān)鍵是找δ，而如何找δ主要是通過?ε＞0，要使不等式|f(x)-A|＜ε成立，解出需要|x-x0|＜δ(ε)，從而找出δ，這也是用定義證明函數(shù)極限的最基本方法。

證明?ε＞0，要使不等式|2x+4-6|=|2x-2|=2|x-1|＜ε

三、通過不等式將|f(x)-A|放大求出δ證明函數(shù)極限

很多時(shí)候|f(x)-A|＜ε直接解不等式難以直接求出|x-x0|＜δ(ε)，

這時(shí)候我們往往可以先將|f(x)-A|用不等式放大，使得|f(x)-A|＜g(x-x0)＜ε，從而解出|x-x0|＜δ(ε)，在放大的時(shí)候要注意兩點(diǎn)

2.g(x-x0)=0這個式子要比較簡單使得g(x-x0)=0＜ε能夠比較容易的解出|x-x0|＜δ(ε)。

證明?ε＞0，要使不等式

四、假設(shè)|x-x0|＜δ1（常數(shù)）

由于x→x0指的是x在x0的空心領(lǐng)域內(nèi)無限的趨近于x0，因此，在用定義證明函數(shù)極限時(shí)，可以先假設(shè)x在x0某個的空心領(lǐng)域內(nèi)，即設(shè)0＜|x-x0|＜δ1（常數(shù)），其中常數(shù)δ1可以是任意的正的常數(shù)。從而利用這種方法便于將不等式放大。

證明?ε＞0，|x2-4x+4-1|=|(x-1)(x-3)|，設(shè)0＜|x-3|＜1，

從而|x2-4x+4-1|=|x-3+2|(|x-3|)≤(|x-3|+2)|x-3|≤3|x-3|＜ε

五、設(shè)δ小于某個正數(shù)

由于δ表示任意小的正數(shù)，因此，在證明過程中我們可以假設(shè)δ小于某個正數(shù)，從而便于我們證明。

證明 ?ε＞0，設(shè)x＞0要使不等式

成立，設(shè)0＜ε＜2，解得x＞-1＞0。從而取M=-1＞0，則?ε＞0，?M=-1＞0，當(dāng)x＞M時(shí)，總有＜ε，所以