基于機(jī)理分析法建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題
——6.9二元一次方程組及其解法

付慧玲

（上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)，上海 200000）

眾所周知，機(jī)理分析法是通過對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部原因（機(jī)理）的分析研究，從而找出其發(fā)展變化規(guī)律的一種科學(xué)研究方法，機(jī)理分析法立足于揭示事物內(nèi)在的規(guī)律。建立數(shù)學(xué)模型[1]對(duì)現(xiàn)實(shí)情境問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決實(shí)際問題[2]；在初中階段可以通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)。建立數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)的思考方法，也是運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言與方法通過抽象、構(gòu)建能解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)手段。

一、在教學(xué)的過程中確定問題的本質(zhì)，探尋知識(shí)間的聯(lián)系

例如，在學(xué)習(xí)上海教育出版社九年義務(wù)教育課本6.9二元一次方程組及其解法的過程中，開始有一個(gè)實(shí)際問題，中國(guó)古代的《孫子算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的雞兔同籠問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”

我們將此問題抽象為兩個(gè)數(shù)學(xué)等量關(guān)系，設(shè)籠中有雞有x只，兔有y只，根據(jù)題意，得：

該實(shí)際問題的用途是為了引出二元一次方程組的概念及其解法。在本節(jié)課中，我們完成了具體的既定要求的教學(xué)目標(biāo)，但其實(shí)我們可以繼續(xù)思考學(xué)習(xí)，繼續(xù)研究，假設(shè)這里的系數(shù)分別為a1,1b,c1,a2,b2,c2，那么我們就可以得到一個(gè)一般的二元一次方程組，從而建立了一個(gè)二元一次方程組模型：不難發(fā)現(xiàn)，該模型不僅僅可以解決“雞兔同籠”問題，也可以解決“雞鴨同籠”等“某某同籠”問題，同樣可以解決“物品價(jià)格”以及“班級(jí)人數(shù)”等兩個(gè)等量關(guān)系的問題，如下面三個(gè)問題：

問題1、參觀上?？萍拣^的成人票、學(xué)生票分別為60元、45元。一天、科技館賣出成人票、學(xué)生票共1萬張，票務(wù)收入為51萬元，問這兩種票各售出多少?gòu)垼?/p>

解：設(shè)售出成人票x萬張，學(xué)生票y萬張根據(jù)題意，得

問題2、甲、乙兩件商品按原價(jià)售出可得營(yíng)業(yè)額140元，因季節(jié)原因，甲商品提價(jià)20%，乙商品降價(jià)20%，售出后的營(yíng)業(yè)額比原標(biāo)價(jià)少4元。問甲商品提價(jià)多少元？乙商品降價(jià)多少元？

解：設(shè)甲商品原報(bào)價(jià)x元，乙商品原標(biāo)價(jià)y元，根據(jù)題意，得問題3、六年級(jí)（1）班、（2）班各有44人，兩個(gè)班都有一些同學(xué)參加課外天文小組。（1）班參加的人數(shù)恰好是（2）班沒有參加的人數(shù)的；（2）班參加的人數(shù)恰好是（1）班沒有參加的人數(shù)的。問六年級(jí)（1）、（2）班沒有參加天文小組的各有多少人。

解：設(shè)六年級(jí)（1）班沒有參加天文小組的有x人，（2）班沒有參加的有y人，根據(jù)題意，得

不難發(fā)現(xiàn)，以上幾個(gè)問題所列的方程組只有系數(shù)不同而已。

二、關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知水平、注重知識(shí)間的螺旋上升

繼續(xù)螺旋上升，在一次函數(shù)的應(yīng)用中該模型的解就是兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)，這樣問題就從數(shù)轉(zhuǎn)化到了圖形的問題上，由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化是知識(shí)難度的提高，也是學(xué)生認(rèn)知水平的提升。我們知道圖形的交點(diǎn)在視覺上是直觀的，而如何求解在剛接觸的時(shí)候稍有困難，那么教師就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋問題的本質(zhì)：聯(lián)立兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式，把求兩個(gè)一次函數(shù)交點(diǎn)的問題就轉(zhuǎn)化為了舊知識(shí)—求解二元一次方程組的解。如下面的問題：

問題1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1與一次函數(shù)y=5-x相交于點(diǎn)B（2，3）；解二元一次方程組的解為

通過對(duì)二元一次方程組模型的認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)，在熟知模型后，學(xué)生在預(yù)備年級(jí)不用被看似復(fù)雜的實(shí)際問題蒙蔽雙眼、阻礙前行的道路，讓他們有足夠的信心解決求兩個(gè)等量關(guān)系的實(shí)際問題，同時(shí)幫助他們避免深陷題海的泥潭；一個(gè)模型的學(xué)習(xí)不僅僅是著眼于解決當(dāng)下遇到的實(shí)際問題，它也可以應(yīng)用到之后求兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題。在這樣一個(gè)過程中教師的教學(xué)有助學(xué)生知識(shí)建構(gòu)；在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生也完善了自我的知識(shí)體系。

三、滲透學(xué)習(xí)知識(shí)的類比方法，培養(yǎng)知識(shí)遷移的能力

二元一次方程組模型的學(xué)習(xí)方法可以類比到一元二次方程及一元二次函數(shù)的學(xué)習(xí)上，也就是說學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)是不同的，但是學(xué)習(xí)知識(shí)的方法可以類比，注重知識(shí)與知識(shí)之間的類比能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方式方法的理解和掌握，更深層次的理解數(shù)學(xué)知識(shí)。建立數(shù)學(xué)模型[3]的目標(biāo)比較明確，在教學(xué)過程中能夠有效地降低教學(xué)的難度；建立數(shù)學(xué)模型[4]除了能夠解決抽象化的問題，還能夠引導(dǎo)學(xué)生完善自身基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，從而幫助學(xué)生知識(shí)體系建構(gòu)[5]，促使學(xué)生提升創(chuàng)新力和邏輯推理能力，同時(shí)能夠培養(yǎng)知識(shí)的遷移能力。

運(yùn)用機(jī)理分析法建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，對(duì)初中階段的學(xué)生而言起點(diǎn)較低，掌握起來比較簡(jiǎn)單、快捷，同時(shí)也具有一定程度上的趣味性；在教學(xué)的過程中，運(yùn)用機(jī)理分析法探索數(shù)量之間的關(guān)系，深入研究等量關(guān)系之間的實(shí)際意義，加以適當(dāng)?shù)难由?，滲透符號(hào)意識(shí)，加深模型印象，幫助學(xué)生擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的漩渦，樹立解決實(shí)際問題的信心。