一類波動(dòng)方程解的生命跨度的估計(jì)

明 森，鐘文倩，范雄梅，蘇業(yè)芹

（1.中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051；2.西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 證券與期貨學(xué)院，成都 611130）

考慮如下初邊值問(wèn)題

其中Ωc＝Rn＼B1（0），Ω＝B1（0）為Rn中的單位球；ε＞0是一個(gè)小參數(shù)。f（x）與g（x）∈（Ωc），并且

A（x）＝表示光滑的n×n實(shí)對(duì)稱矩陣函數(shù)。存在常數(shù)C＞0，使得≤aij（x）ξiξj≤，?ξ∈Ωc，x∈Ωc。aij（x）＝≥R。重復(fù)指標(biāo)i，j表示求和。若aij＝δij，則問(wèn)題（1）為常系數(shù)問(wèn)題，其中δij為Kroneckerδ函數(shù)。

近來(lái)，關(guān)于如下非線性波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題

解的破裂與生命跨度的估計(jì)被廣泛關(guān)注。1979年，John［1］在三維且p＞p1（3）時(shí)證明了問(wèn)題（4）存在整體解，而當(dāng)1＜p＜p1（3）＝ 1＋時(shí)，解在有限時(shí)刻破裂。Strauss［2］給出猜想：當(dāng)p＞p1（n）時(shí)，問(wèn)題（4）存在整體解；當(dāng)1＜p＜p1（n）且在有限時(shí)刻時(shí)解會(huì)破裂，此處p1（n）＝為r（n，p）＝－［（n－1）p2－（n＋1）p－2］＝0的正根。當(dāng)n＝1時(shí)，p1（1）＝＋∞。當(dāng)n＝2時(shí)，Glassey［3］證明了1＜p＜p1（n）時(shí)解將破裂。當(dāng)n＝4且p＞p1（4）時(shí)，Zhou［4］得到問(wèn)題（4）具有整體解（詳見(jiàn)文獻(xiàn)［5－9］）。Zhou等［10］在1＜p≤p1（n）（n≥3）時(shí)證明了初邊值問(wèn)題的解將出現(xiàn)破裂。對(duì)于Cauchy問(wèn)題

Glassey［11］給出猜想：當(dāng)p＞p2（n）＝1＋2／（n－1）時(shí)，問(wèn)題（5）存在整體解；當(dāng)1＜p≤p2（n）時(shí)，解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂。當(dāng)n＝1時(shí)，p2（1）＝＋∞。文獻(xiàn)［10］在1＜p≤p2（n）（n≥1）時(shí)，證明了解會(huì)破裂（詳見(jiàn)文獻(xiàn)［12－16］）。Han等［14］在全空間中得到常系數(shù)與組合非線性項(xiàng)情形的波動(dòng)方程解的破裂性態(tài)。

問(wèn)題（1）解的破裂結(jié)果見(jiàn)如下定理1和定理2。

定理1 設(shè)1＜p≤p2（n）＝，問(wèn)題（1）的解滿足

則解u的生命跨度T（ε）的估計(jì)為

其中C為不依賴于ε的正常數(shù)。

定理2設(shè)，問(wèn)題（1）的解滿足

則問(wèn)題（1）的解u會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂，且式（6）可替代為

注結(jié)合定理1與定理2中的T（ε）的估計(jì)，可知

從而說(shuō)明定理2中非線性項(xiàng)指數(shù)p的范圍優(yōu)于定理1中p的范圍，且定理2中解的生命跨度的上界估計(jì)更佳。另外，本文利用檢驗(yàn)函數(shù)方法與Kato引理將文獻(xiàn)［14］中的小初值問(wèn)題的部分結(jié)論推廣至外區(qū)域上且?guī)ё兿禂?shù)的初邊值問(wèn)題。

1 定理1的證明

首先，給出Kato引理等相關(guān)引理及證明過(guò)程。

引理1［14］設(shè)a≥1，β＞1，（β－1）a＞α－2。若F∈C2（［0，T））且滿足

（a）F（t）≥δ（t＋R）a

其中k、δ、R為正常數(shù)，則F（t）會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂，且F（t）的上界估計(jì)T（δ）滿足

其中C是依賴于k，R，但不依賴于δ的正常數(shù)。

對(duì)于問(wèn)題（1），首先考慮如下兩類問(wèn)題

其中f（x），g（x）滿足式（2）和（3）。

引入檢驗(yàn)函數(shù)?0，?1∈C2（Ωc），詳見(jiàn)文獻(xiàn)［10］中定理2.2和定理2.3。記

引理2［10］假設(shè)（f，g）滿足式（2）和（3），且問(wèn)題（7）的解滿足

則對(duì)?t≥0，有

式中c0為正常數(shù)。

引理3設(shè)問(wèn)題（7）具有與引理2相同的假設(shè)條件。則當(dāng)1＜p＜p1（n）時(shí)，問(wèn)題（7）的解將會(huì)破裂，并且生命跨度滿足

證明：由文獻(xiàn)［10］中引理2.2可得

在問(wèn)題（7）兩邊同乘以?0（x）并在Ωc上積分，結(jié)合式（10）得到

利用H?lder不等式及式（11），可得

其中k＝［Vol（Bn）］1－p＞0。另一方面，有

利用式（11），引理2和文獻(xiàn)［10］引理2.5得到

其中L＝。對(duì)式（13）在［0，t］上積分2次，當(dāng)t充分大時(shí)則有

其中

結(jié)合式（12）和（14），取參數(shù)a≡n＋1－≡n（p－1），β≡p，當(dāng)1＜p＜p1（n）＝時(shí)，結(jié)合引理1可導(dǎo)出式（9），證畢。

引理4設(shè)問(wèn)題（8）具有與引理2相同的假設(shè)條件。當(dāng)1＜p≤p2（n）時(shí)，對(duì)于問(wèn)題（8），解的生命跨度估計(jì)為

證明：利用ψ1（x，t）＝e－t?1（x）及文獻(xiàn)［10］引理2.3可知

在問(wèn)題（8）兩邊同乘以ψ1，關(guān)于x積分并結(jié)合式（15），可得

記

利用式（2）（16）和文獻(xiàn)［10］引理2.3得

記

由于F（t）≥0，?t≥0，利用文獻(xiàn)［10］中引理2.6得

即

當(dāng)p＜p2（n）時(shí)，通過(guò)求解Riccati方程并利用式（17）可得

即T（ε）。

當(dāng)p＝p2（n）時(shí)，則有T（ε）≤exp（Cε－（p－1））。從而得到引理4中的結(jié)論，證畢。

運(yùn)用式（7）（8）及疊加原理，從而得到定理1中式（6），證畢。

2 定理2的證明

在問(wèn)題（1）兩邊同乘以ψ1（x，t），并對(duì)x積分，結(jié)合式（15）得到

從而

類似地，計(jì)算得到

因此，記

由于

因此，由式（19）～（21）得

記I（t）＝。利用問(wèn)題（1），可得

因此，I（t）滿足

利用H?lder不等式可得

從而得到

對(duì)式（22）關(guān)于t積分2次，當(dāng)t充分大時(shí)，可得

利用式（23）與（24），取a≡2－，α≡n（p－1），β≡p，利用引理1，選取δ＝εp即得定理2中T（ε）的估計(jì)，證畢。