一類四次Hamilton函數(shù)Abel積分的零點個數(shù)估計

王彥杰，曹 勃，洪曉春

（1.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，浙江 寧波 315800；2.云南財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650221）

0 引 言

考慮擾動的Hamilton系統(tǒng)

定義如下積分

對于弱化的Hilbert16問題，Khovansky[2]和Varchenco[3]在1984年獨立地證明了Z(m,n)的存在性，但都沒給出Z(m,n)的具體表達形式[2-3].對于特殊形式的Hamilton系統(tǒng)H(x,y)=U(x)+V(y)，其中U(x)和V(y)分別是關(guān)于x和y的多項式，對此類Hamilton系統(tǒng)相關(guān)文獻很多，例如，Petrov估計了H(x,y)=y2-x+x3,H(x,y)=y2+x2+x4和H(x,y)=y2-2x2+x4三類Hamilton系統(tǒng)相應(yīng)的Abel積分零點個數(shù)[4-6].當(dāng)時，其中degU(x)=4且使得(1)0至少有一個中心，趙育林和張芷芬證明了Z(m,n)≤7n+5[7]，對于四次Hamilton 系統(tǒng)H(x,y)=?x2+x4+y4和H(x,y)=x2+y2+ax4+y4，周鑫和李翠平得到了相應(yīng)Abel積分零點個數(shù)的上界[8-9].對于Hamilton函數(shù)H(x,y)齊明輝和趙麗琴證明

對于Hamilton函數(shù)H(x,y)中含有xiyj時，這里i和j是正整數(shù)，目前研究結(jié)果很少，當(dāng)m=2，未擾動系統(tǒng)含有周期環(huán)域時，其對應(yīng)的Hamilton函數(shù)規(guī)范型可化為

Horozov和Iliev應(yīng)用Picard-Fuchs方程法證明了Z(m,n)≤5n+15[11].因此，針對原點是初等中心的Hamilton函數(shù)

吳娟娟，張永康和李翠萍證明了Z(m,n)≤對于形如下面Hamilton函數(shù)

其中a≥0,a≠ 2，楊紀華和趙麗琴得到其Abel積分零點個數(shù)的上界[13].對于下面一類具有冪零中心四次的Hamilton系統(tǒng)

針對極限環(huán)問題，文獻[15]研究具有m條切換線的擾動微分系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)問題，文獻[16]研究一類連續(xù)的分段線性Hamilton系統(tǒng)在一次多項式擾動下，周期閉軌族附近分支出極限環(huán)的個數(shù)問題.

受文獻[7 ? 17]的啟發(fā)，本文研究如下的Hamilton系統(tǒng).

其中a2>4bc，a <2b，c <0，a <2c與之對應(yīng)的向量場為

令

且該系統(tǒng)有一個冪零中點O(0,0)和四個鞍點Q1(A,B)，Q2(A,-B)，Q3(-A,B)和Q4(-A,-B).H(x,y)=0對應(yīng)冪零中心對應(yīng)于四個鞍點Qi(i=1,2,3,4)的多角環(huán).且該系統(tǒng)只有一個圍繞冪零中心O的有界周期環(huán)域，記其為且

Z(n)為 Abel積分I(h)在上的零點個數(shù)(包括計重數(shù))，

1 I(h)的代數(shù)結(jié)構(gòu)

當(dāng)h∈其中i和j是 自然數(shù)，由于Γh是關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，因此Ii,2j(h)=0，I2i+1,2j+1(h)=0，所以我們只需考慮I2i,2j+1(h)=0即可.

引理1假設(shè)

其中α(h)，β(h)，γ(h)和δ(h)是關(guān)于h的多項式，

證明根據(jù)Green公式可得

這里的C2i,2j+1是常數(shù).

同時在(2)式兩端對x求導(dǎo)可得

在(6)式兩端同時乘以x2i一3y2j+1dx，然后沿Γh積分可得

同樣，在(3)式兩端同時乘以x2iy2j一3dx，然后沿Γh積分可得

根據(jù)(7)和(8)可得

取i=2，j=0和i=0，j=2分別代入(9)式和(10)式，得到下面的等式

當(dāng)n=5時，(4)式成立.設(shè)當(dāng)2i+2j+1≤2k?1(k≥3)時，(4)式成立，則當(dāng)(i,j)=(0,k),(1,k? 1),(2,k?2),…,(k? 2,2)和 (i,j)=(k? 1,1),(k,0)時，可推得

這里的A為

A是一個(k+1)× (k+1)階矩陣，通過直接計算可得因此

這里的α2k-s，β2k-s，γ2k-s，δ2k-s，其中s=1,3 都是關(guān)于h的多項式，其中滿足

同理可得

由以上證明可得，引理1成立.

2 Picard-Fuchs方程和Riccati方程

引理2記V=(I0,1,I0,3,I2,1,I2,3)T，這V滿足下面的Picard-Fuchs方程

其中

證明由(2)式可得

所以

因此

(15)式兩端同時乘以h可得

另一方面

由(16)~(18)我們可以得到

由(19)式可得

同時由(9)式和(10)式，即可推出引理2的結(jié)論成立.

取

我們可得如下引理

引理 3I01，I03，I21，I23和Z滿足

其中

對(13)式兩端的h求導(dǎo)得

這里的I是4×4階單位矩陣，然后把(21)式代入(23)式即可得到(22)式成立.

易知h∈∑時，所以可得如下引理:

引理4當(dāng)h∈∑時，令則滿足如下Riccati方程

證明由(20)式中第一個和第四個方程既可得(24)成立.

3 主要結(jié)果和證明

由(4),(13)和(21)式得

在 (25)式中消去I′2,1可得

其中

且

引理5[15]

引理6設(shè)S是β3(h)和G(h)在 上的零點成的集合，則在上

證明根據(jù)(20)式和F1(h)的定義可知，在上

其中