基于深度學(xué)習(xí)的“3+1”數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略

劉 俊,竇學(xué)芳,劉春燕,顧來芬,王麗萍,徐 曄,羅紅英,楊靜梅

（1.曲靖師范學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，云南 曲靖 655011；2.麒麟?yún)^(qū)第四中學(xué)，云南 曲靖 655011；3.麒麟?yún)^(qū)第七中學(xué)，云南 曲靖 655011； 4.馬龍區(qū)第三中學(xué)，云南 曲靖655100；5.曲靖師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 曲靖 655011)

0 引 言

為了落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)，當(dāng)今研究最熱的卓有成效的“深度學(xué)習(xí)”正是有力推進(jìn)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)和基礎(chǔ)教育課堂教學(xué)改革的重要實(shí)踐途徑.[1]為此，本文開展在深度學(xué)習(xí)引導(dǎo)下的“3+1”（理解、思考、探究+拓展）數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略研究.通過改進(jìn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，不僅促進(jìn)了學(xué)生的深度思考，而且培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有力地推動了數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)變革.本文提出的“3+1”數(shù)學(xué)解題教學(xué),將課堂原來的以“教”為主改變?yōu)楝F(xiàn)在的以“學(xué)”為主，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，深度思考分析問題，運(yùn)用所學(xué)知識去探究解決問題，對數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)更加關(guān)注，啟發(fā)學(xué)生思維，提高課堂教學(xué)效率，讓課堂以“學(xué)”為主的理念真正在深度學(xué)習(xí)的教學(xué)過程中得以落實(shí).

1 “3+1”數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略

本文提出的在深度學(xué)習(xí)引導(dǎo)下的“3+1”（理解、思考、探究+拓展）數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略，就是為了克服和避免當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的高耗低效問題、淺層學(xué)習(xí)問題和機(jī)械學(xué)習(xí)問題，教師對課標(biāo)要求不熟導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)籠統(tǒng)，對學(xué)科知識不厚導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容含混，對教育理念方法掌握不夠?qū)е陆虒W(xué)行為隨意等問題.針砭時弊，目的是提高教師的教育教學(xué)理論水平，改變教師的課堂教學(xué)方式，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

深度學(xué)習(xí)引導(dǎo)下的“3+1”(理解、思考、探究+拓展)數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略中，“理解”是指在設(shè)置的問題情景下去讀懂題目，弄清題意，不僅僅是語言字面的意思，而是要分清楚未知量和已知量？有哪些條件？顯性的條件是哪些？還要挖掘隱性的條件有哪些？本題的目的到底是要做什么？

“思考”是指尋找已知量與未知量之間的關(guān)系——直接或間接、顯性或隱性？喚醒自己頭腦中儲存的相關(guān)知識，如何去建立數(shù)學(xué)模型或聯(lián)想到類似的解題方法，根據(jù)學(xué)生自己的知識和經(jīng)驗(yàn)背景,對新舊知識間的關(guān)系產(chǎn)生認(rèn)知沖突，在反復(fù)的雙向作用過程中主動建構(gòu)起解題思路，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而言，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考是很重要的.

“探究”是指在經(jīng)過思考的基礎(chǔ)上，對新問題重新認(rèn)識，采用分析法、綜合法、歸納法等數(shù)學(xué)思想方法，產(chǎn)生聯(lián)想，以前是否做過此種相似題目，與該題有什么不同點(diǎn)？原來的解題方法是否還能適用？如果能適用，能運(yùn)用到此題上嗎？如果不適用了，又該如何改進(jìn)方法呢？如果沒有見過同種類型題目，那又該如何去尋找已知量與未知量之間的聯(lián)系呢？探究解題的整個經(jīng)歷實(shí)際上就是一個探索知識發(fā)生、發(fā)展、演變和解決問題的過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程.

“拓展”是指在回顧反思中向深度和廣度兩個方面拓展和提升.做完題后要養(yǎng)成總結(jié)反思的習(xí)慣，對所得的結(jié)果能否進(jìn)行驗(yàn)證其正確性，一方面，此題還有不同的方法求解嗎？拓展學(xué)生解題思路，開闊學(xué)生思維，這就是常說的“一題多解”.另一方面，提倡變式，在原型題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變化，以不同的題目呈現(xiàn)，可以加大題目難度，也可以增加多個知識點(diǎn)在同一個題中，此時，還能用這種方法求解嗎？如果不行，要在原解題方法的基礎(chǔ)上作哪些改變？在做完這些題目后，要經(jīng)過總結(jié)反思，會發(fā)現(xiàn)這一類題目實(shí)際上是源于同一種解題方法，這就是多題一解，是以一種解題方法為基準(zhǔn)，去求解一類題目.

2 案例研究

為了能充分理解和運(yùn)用深度學(xué)習(xí)引導(dǎo)下的“3+1”數(shù)學(xué)教學(xué)策略，我們選取中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例之一來闡述.[2]以具體說明如何運(yùn)用“3+1”數(shù)學(xué)教學(xué)策略的.

問題：從1～9這9個不同數(shù)字中組成兩個2位數(shù)，每一個數(shù)字最多只能使用一次，怎么樣組成才能使這兩個數(shù)的乘積最大？

理解：是具體的數(shù)字，要組成兩個2位數(shù)，注意到?jīng)]有“0”，每一個數(shù)字最多只能使用一次，要達(dá)到這兩個數(shù)的乘積最大.

思考：把所有符合要求的2位數(shù)全部找出來，然后依靠真正的具體數(shù)字運(yùn)算來完成，就能找到最大數(shù).

探究：采用窮舉法，符合要求的兩個2位數(shù)的乘積有個數(shù)，只需全部計(jì)算出來，再從中取最大數(shù)即可，這種方法雖然能達(dá)到目的，但計(jì)算量太大、太繁.那么，我們能否找到一個比較大小的一般規(guī)律（模型）？為了找到解題思路，我們有一個比較簡單的公式也許能幫助理清解題思路，那就是

通過觀察分析此公式，得到：

性質(zhì)1：兩個正數(shù)，當(dāng)它們的和越大、差越小時，則這兩個正數(shù)的乘積越大.

性質(zhì)1其實(shí)就是兩數(shù)的“算術(shù)—幾何”平均值定理的推廣，由此可知：若兩數(shù)之和為定值時，則當(dāng)此兩數(shù)相等時，它們的乘積取最大值.

但問題是：無法直接運(yùn)用性質(zhì)1，那我們就從最簡單的情形去尋找解題思路，當(dāng)x、y均為1位數(shù)時，顯然當(dāng)x=9,y=8或x=8,y=9時，xy=72最大.但現(xiàn)在x、y均為2位數(shù)，為了使xy最大，x、y必定取1～9中的4個較大的數(shù)6～9，則有三種情形(x,y)=(98,76)，(x,y)=(97,86)，(x,y)=(96,87)，分別對應(yīng)xy=7448,8342,8352.因此，當(dāng)x=96，y=87時，xy=8352最大.

拓展1：能否有進(jìn)一步的方法使我們在三個組合(x,y)=(98,76)，(x,y)=(97,86)，(x,y)=(96,87)中直接選(x,y)=(96,87)呢？我們有下面的性質(zhì)2.

性質(zhì)2：對兩個2位數(shù)，十位數(shù)較大時在個位數(shù)選較小的，十位數(shù)較小時在個位數(shù)選較大的，則這兩個2位數(shù)的乘積最大.

證明：不失一般性，設(shè)x1>x2>x3>x4，xi∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，i=1,2,3,4，則兩個2位數(shù)的乘積組合共有三種：

(10x1+x4)(10x2+x3)，(10x1+x3)(10x2+x4)，(10x1+x2)(10x3+x4).

可得

由于x1≥x2+1，x2≥x3+1，x3≥x4+1，x3≤9，x2x4＜ 100，有

因此，組合(10x1+x4)(10x2+x3)最大，性質(zhì)2證畢.

根據(jù)性質(zhì)2，立即可得出當(dāng)x，y為2位數(shù)時，(x,y)=(96,87)最大.

拓展2：試用1～9這9個不同數(shù)字中取6個組成兩個數(shù)，每個數(shù)字只能使用一次，怎樣組成才能使這兩個數(shù)的乘積最大？

從1～9這9個不同數(shù)字中取6個組成的兩個數(shù)沒有位數(shù)限制，會出現(xiàn)三種組合的乘積情況：3位數(shù)與3位數(shù)，4位數(shù)與2位數(shù)，5位數(shù)與1位數(shù).若采用窮舉法，符合要求的兩個數(shù)的乘積有=30240+30240+30240=90720個數(shù)，顯然窮舉法的這種解題思路是行不通的.現(xiàn)在需要確定：3位數(shù)與3位數(shù)的乘積最大，還是4位數(shù)與2位數(shù)的乘積最大，還是5位數(shù)與1位數(shù)的乘積最大？我們得到下面的性質(zhì)3：

性質(zhì)3：從1～9這9個不同數(shù)字中取6個組成兩個數(shù)，每個數(shù)字只能使用一次，則兩個3位數(shù)的乘積最大.

證明：設(shè)a1，a2，a3，a4，b1，b2是從 1～9 中不同數(shù)字中取出的6個數(shù)字，組成的兩個數(shù)字的乘積有三種情況：3位數(shù)與3位數(shù)，4位數(shù)與2位數(shù)，5位數(shù)與1位數(shù).不失一般性，假設(shè)a1a2a3a4為4位數(shù)，b1b2為2位數(shù)，其中ai，bj∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，i=1,2,3,4，j=1,2，則有

即3位數(shù)與3位數(shù)的乘積>4位數(shù)與2位數(shù)的乘積.

即3位數(shù)與3位數(shù)的乘積>5位數(shù)與1位數(shù)的乘積.故3位數(shù)與3位數(shù)的乘積最大，性質(zhì)3證畢.

綜合性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3，可知：當(dāng)x，y取自1～9這9個不同數(shù)字中的6個數(shù)時，組合(x，y)=(964,875)使xy最大.

拓展3：試用1～9這9個不同數(shù)字中取8個組成兩個數(shù)，每個數(shù)字只能使用一次，怎樣組成才能使這兩個數(shù)的乘積最大？

若采用窮舉法，兩個數(shù)字的乘積有四種情況：4位數(shù)與4位數(shù)，5位數(shù)與3位數(shù)，6位數(shù)與2位數(shù)，7位數(shù)與1位數(shù).符合要求的兩個數(shù)的乘積有725760個數(shù)，顯然窮舉法這種解題思路是行不通的.

但我們根據(jù)性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3，當(dāng)x,y取自1～9這9個不同數(shù)字中的8個數(shù)時，組合(x，y)=(9642，8753)使xy最大.事實(shí)上，我們有：

性質(zhì)4：從1～9這9個不同數(shù)字中取8個組成兩個數(shù)，每個數(shù)字只能用一次，則兩個4位數(shù)的乘積最大.

證明：設(shè)a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4是從 1～9中不同數(shù)字中取出的8個數(shù)字，組成的兩個數(shù)字的乘積有四種情況：4位數(shù)與4位數(shù)，5位數(shù)與3位數(shù)，6位數(shù)與2位數(shù)，7位數(shù)與1位數(shù).不失一般性，假設(shè)a1a2a3a4為4位數(shù)，b1b2b3b4為 4 位 數(shù)， 其 中ai，bj∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，i=1,2,3,4，i=1,2,3,4，則有

即4位數(shù)與4位數(shù)的乘積>5位數(shù)與3位數(shù)的乘積.

即4位數(shù)與4位數(shù)的乘積>6位數(shù)與2位數(shù)的乘積.

即4位數(shù)與4位數(shù)的乘積>7位數(shù)與2位數(shù)的乘積.故兩個4位數(shù)的乘積最大，性質(zhì)4證畢.

拓展4：試用1～9這9個不同數(shù)字組成兩個數(shù)，9個數(shù)字都用完，且每個數(shù)字只用一次，怎樣組成才能使這兩個數(shù)的乘積最大？

根據(jù)性質(zhì)1～4，只有兩種選組合(x,y)=(96421,8753)與(x,y)=(9642,87531)，只能在這兩種情況中產(chǎn)生乘積最大，因此，只須比較96421×8753與9642×87531的大小.

96421×8753=843973013，9642×87531=843973902.

則當(dāng)(x,y)=(9642,87531)時，xy=843973902為最大.

拓展5：能否找到判定96421×8753與9642×87531大小的一般性方法.

性質(zhì) 5：若a>b>0，c>0，則a(10b+c)>b(10a+c).

證明：由于a>b>0，c>0，則

a(10b+c)-b(10a+c)=ac-bc=c(a-b)>0.

性質(zhì)5證畢.

根據(jù)性質(zhì) 5，取a=9642，b=8753，c=1，則a>b，

a(10b+c)=9642×(10×8753+1)=9642×87531，

b(10a+c)=8753×(10×9642+1)=8753×96421.

因此，由a(10b+c)>b(10a+c)知：9642×87531>8753×96421.

本案例如果沒有前面的輔墊而直接解答拓展4，題目難度明顯太大，學(xué)生將無從下手去做.從直覺上，用窮舉法算出所有可能的乘積，就可以得到最大數(shù)，但這種解題思路明顯是行不通的，組合情況太多，運(yùn)算量太大了.但經(jīng)過我們的“3+1”教學(xué)設(shè)計(jì)，用與學(xué)生認(rèn)知相稱的問題作鋪墊，以激起學(xué)生的好奇心和求知欲，這樣，用一些具有挑戰(zhàn)性的、激勵性的問題去引導(dǎo)學(xué)生深度思考和進(jìn)行探究，遵循“理解→思考→探究→拓展”的思路解決問題，由簡單到復(fù)雜，由易到難，方法由特殊到一般，又由一般回歸特殊，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，思維層次由具體到抽象、由低級到高級，逐步推進(jìn)問題的深化，逐級化解難度，使拓展4的問題就容易求解了.這種基于深度學(xué)習(xí)的“3+1”數(shù)學(xué)解題教學(xué)方法培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，[3]促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

3 總 結(jié)

本文在深度學(xué)習(xí)引導(dǎo)下提出的“3+1”(理解、思考、探究+拓展)數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略，是對波利亞提出的怎樣解題四步曲“理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧”的提煉和升華，[4]是對《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》第三學(xué)段（7～9年級）提出的“本學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容采用“問題情景—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義，掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意義與能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心.”的具體實(shí)施策略.[5]“3+1”數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略經(jīng)多所中小學(xué)校實(shí)踐取得了明顯效果，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力與水平，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，[6]提高了教學(xué)質(zhì)量.

本文對深度學(xué)習(xí)引導(dǎo)下的“3+1”數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略進(jìn)行了探索與實(shí)踐，在教學(xué)過程中，突出了以“學(xué)生”為主體，以學(xué)生的“學(xué)”為主，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識去探索問題的求解，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，從中獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)與策略，以掌握數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法和養(yǎng)成良好的思維方式.教學(xué)過程從簡單到復(fù)雜，知識由淺入深，逐步引導(dǎo)學(xué)生去探索問題，難度逐步增大，整個過程體現(xiàn)了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，并能將具體問題抽象為一般問題，形成規(guī)律（性質(zhì)），這正是“發(fā)現(xiàn)→猜想→論證”的數(shù)學(xué)思維過程.