數(shù)學(xué)圖形在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

張國(guó)蘭 沈興斌

【摘要】高考是學(xué)生重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，其不僅代表著學(xué)生寒窗苦讀的階段性結(jié)束，同時(shí)也是對(duì)學(xué)生綜合能力和素質(zhì)的一次考查.而圖形在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著不可小覷的影響和作用，教師既可以通過(guò)圖形幫助學(xué)生分析教學(xué)中案例，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解，又可以利用圖形豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，緩解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的枯燥和乏味，進(jìn)而幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績(jī)，提升教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)圖形;高中;數(shù)學(xué)教學(xué);重要性

引言

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)會(huì)伴隨著學(xué)生年級(jí)的遞增出現(xiàn)學(xué)習(xí)難度加大的現(xiàn)象.而數(shù)學(xué)作為高中階段較為重要的一門學(xué)科，同時(shí)也是讓學(xué)生和老師最為“頭痛”科目之一，其主要是由幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)兩大部分構(gòu)成，這兩部分均需要數(shù)學(xué)圖形的參與.教師應(yīng)該充分利用數(shù)學(xué)圖形處理抽象及難度較高的數(shù)學(xué)知識(shí)，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提升其自信心和對(duì)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，從而整體提高我校數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī).

一、數(shù)學(xué)圖形的概念

數(shù)學(xué)圖形指的是與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的圖形，通常由點(diǎn)、線、面及相關(guān)形狀結(jié)構(gòu)構(gòu)成，例如：幾何圖形，函數(shù)圖形等，其中包括簡(jiǎn)單的平面圖形（直線、曲線、多邊形、平面區(qū)域等）和空間圖形（空間曲線、曲面、空間區(qū)域等）以及由數(shù)學(xué)軟件、計(jì)算機(jī)和計(jì)算器繪制的圖形（分形圖形、微分方程的解曲線等）.數(shù)學(xué)圖形可以有效幫助學(xué)生理解教材中的案例分析，拓展其解題思路，可以幫助教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的梳理和引導(dǎo)，同時(shí)有助于教師簡(jiǎn)化教學(xué)過(guò)程，提高整體教學(xué)效果.

二、數(shù)學(xué)圖形在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

（一）拓展高中生的思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師可以利用數(shù)學(xué)圖形對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的解析，并幫助學(xué)生拓展解題思路，整體提升學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力以及解題效率，鍛煉學(xué)生的思維能力，使其在不斷地自主發(fā)問(wèn)和解答中提升自己的綜合能力，同時(shí)為難度較大的高中數(shù)學(xué)題提供辨析思路、奠定一定的基礎(chǔ).例如，在講解例題1時(shí)，教師可以利用數(shù)學(xué)圖形在等腰梯形ABCD內(nèi)作垂直線，并求出AD2、AE、CD的值，之后根據(jù)等腰梯形的相關(guān)特性得出方程組：x>0，x2r>0，2r-x2r>0，計(jì)算并得出結(jié)果.教師通過(guò)圖形不僅幫助學(xué)生回顧了等腰梯形、直角等相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還借助半圓形題目拓展了學(xué)生的思路，最終以函數(shù)方程作為解題的最后環(huán)節(jié)，讓學(xué)生知道對(duì)于相關(guān)題型可以采用該種思路進(jìn)行解答.

例1一個(gè)半圓形木塊，其半徑為r，要求截取后的圖形為一個(gè)等腰梯形，而等腰梯形ABCD中的C、D點(diǎn)分別處于半圓形木塊的圓周上，AB為半圓形木塊的直徑，求等腰梯形ABCD周長(zhǎng)及腰長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，并求出其定義域.

解設(shè)等腰梯形ABCD周長(zhǎng)為y，腰長(zhǎng)為x，由對(duì)稱性得出：CD=AB-2AE，所以AE=AB-CD2，作DE垂直與AB，其中E為垂足.

此時(shí)連接BD，得出∠ADB=90°，所以Rt△ADE∽R(shí)t△ABD，AD2=AE×AB，AE=x22r，所以CD=AB-2AE=2r-x2r，得出等腰梯形ABCD周長(zhǎng)y=2r+2x+2r-x2r=-x2r+2x+4r.又因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)梯形，所以AD>0，AE>0，CD>0，即得出：x>0，x2r>0，2r-x2r>0，一組方程式，最終得出0

（二）將數(shù)學(xué)知識(shí)具體化和形象化

高中數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)比較抽象，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)難度加大，喪失一定的學(xué)習(xí)興趣.而教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中則需要利用數(shù)學(xué)圖形將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化和形象化，從而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和最終學(xué)習(xí)質(zhì)量.教師可以靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)圖形對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和問(wèn)題進(jìn)行解答，并通過(guò)反復(fù)的驗(yàn)證使學(xué)生了解和重視高中數(shù)學(xué)知識(shí)和圖形之間的相關(guān)性，使學(xué)生在自我認(rèn)知里降低高中數(shù)學(xué)知識(shí)的難度.例如，在進(jìn)行例題2的解答時(shí)，教師可以利用數(shù)學(xué)圖形將函數(shù)解析式進(jìn)行分解及合并，將抽象的分段函數(shù)形象化，可以幫助學(xué)生對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行更好的理解，還可以幫助教師更形象化地講解函數(shù)解析式和分析例題，進(jìn)而整體提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的效果.

例2出租車屬于人們?nèi)粘３鲂兄谐Ｓ玫囊环N交通工具.某城市圖2的出租車行程計(jì)費(fèi)規(guī)則如下，如果出行行程在3千米以內(nèi)，則按起步價(jià)收取7元，如果出行行程超過(guò)3千米，超出路程部分為每千米收取2.4元，求收費(fèi)與路程二者關(guān)系函數(shù)解析式.

解設(shè)某個(gè)人出行路程為x千米，總收費(fèi)為y元，能夠得出圖像（圖2），所以有y=7，03，得出y=7，0

2.4x-0.2，x>3

（三）構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)體系

對(duì)于高中生而言，需要記住的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較多，且各知識(shí)點(diǎn)之間均具有密切的聯(lián)系.而大多數(shù)學(xué)生面對(duì)如此之多的數(shù)學(xué)知識(shí)常常感到束手無(wú)策，既不能將其完整的串聯(lián)，又不能完全記憶，因此需要高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中利用數(shù)學(xué)圖形將所有知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，幫助學(xué)生將簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)形成簡(jiǎn)單記憶，重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)形成匯總式記憶，從而突出高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性和條理性.例如，在進(jìn)行例題3的解答時(shí)，教師可以利用數(shù)學(xué)圖形對(duì)三角函數(shù)的周期性、奇偶性、定義域、最值進(jìn)行講解，幫助學(xué)生理解公式，加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的理解，并從中發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的特性和共性.

例3求三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性以及最值.

解如下圖所示：

正弦函數(shù)y=sin x余弦函數(shù)y=cos x正切函數(shù)y=tan x

函數(shù)圖像

定義域x∈Rx∈Rxx∈R且x≠kπ+π2（k∈Z）

周期2π2ππ

奇偶性奇偶奇最大值11/

最小值-1-1/

（四）快速幫助學(xué)生尋找解題思路

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，教師不僅需要將更多的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行匯總并傳授給學(xué)生，同時(shí)還需要教會(huì)學(xué)生尋找解題思路，整體提高學(xué)生在日常數(shù)學(xué)應(yīng)用中的解題速度，進(jìn)而能夠在“千軍萬(wàn)馬過(guò)獨(dú)木橋”的高考中脫穎而出.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師也可以通過(guò)數(shù)學(xué)圖形對(duì)學(xué)生的解題方法和思路進(jìn)行分析.例如，在進(jìn)行例題4的解答時(shí)，教師可以通過(guò)數(shù)學(xué)圖形對(duì)函數(shù)的值域進(jìn)行準(zhǔn)確的表達(dá)，并教會(huì)學(xué)生函數(shù)方程計(jì)算值域范圍.

例4函數(shù)f（x）=sin x+cos x在0，π4上的值域?yàn)椋ǎ?

A.[-2，2]B.[1，2]

C.[-2，0]

D.[0，2]

解根據(jù)函數(shù)圖像可知，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=1，當(dāng)x=π4時(shí)，f（x）=2，因?yàn)閟in x在0，π4是增函數(shù)，cos x在0，π4是減函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，使用排除法知道該題正確答案為B選項(xiàng).

（五）幫助教師簡(jiǎn)化教學(xué)過(guò)程

高中數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象化直接導(dǎo)致了其在教學(xué)活動(dòng)中的復(fù)雜和多樣化，不僅加大了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，對(duì)教師在高中教學(xué)中的活動(dòng)設(shè)計(jì)難度也會(huì)增大.以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)授課通常教師采用語(yǔ)言直述的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的講解，致使高中數(shù)學(xué)課堂枯燥乏味，而數(shù)學(xué)圖形的應(yīng)用則可以結(jié)合相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容，將死板的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行靈活運(yùn)用，進(jìn)而提升教學(xué)的有效性.

例5設(shè)全集U=R，A = {x|x>1}，B={x|x+a<0}，B是瘙綂RA的真子集，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解教師可以利用數(shù)軸的方式對(duì)于題中所問(wèn)進(jìn)行形象且直觀地表達(dá)，將教學(xué)過(guò)程中充分簡(jiǎn)化，進(jìn)而幫助學(xué)生更加快速地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，即：B={x|x+a<0}={x|x<-a}，瘙綂RA={x|x≤1}，可得-a≤1，即a≥-1.

結(jié)語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師不僅需要為學(xué)生講解教材中的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還需要引導(dǎo)學(xué)生更加快速地掌握解題方式、構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)體系，不斷拓展高中生的思維能力，盡可能地簡(jiǎn)化教學(xué)過(guò)程，給學(xué)生提供更多的自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)和習(xí)題探索時(shí)間;而在傳統(tǒng)的教學(xué)方式中，教師經(jīng)常忙于講授知識(shí)，根本無(wú)法抽出時(shí)間進(jìn)行針對(duì)性教學(xué)，學(xué)生也整天埋頭于題海中，無(wú)法保持清晰的解題思路.導(dǎo)致學(xué)生在測(cè)試中出現(xiàn)一種“教師一講全明白，自己一做全不會(huì)”的狀態(tài)，也使教師的教學(xué)達(dá)不到預(yù)期效果，經(jīng)常事倍功半.數(shù)學(xué)圖形的應(yīng)用不僅能夠幫助高中生拓展思維能力、構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)體系、快速地獲取解題思路，同時(shí)還可以將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)方程變得直觀且簡(jiǎn)單，激發(fā)學(xué)生對(duì)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情.應(yīng)用數(shù)學(xué)圖形不僅提高了學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)的積極性，也提高了教師教學(xué)的有效性.

【參考文獻(xiàn)】

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