高中數(shù)學(xué)中的概率模型

楊玉燦

【摘要】數(shù)學(xué)模型是將學(xué)生面對的實(shí)際問題抽象化，并建立相應(yīng)方式的解題模式，該模式對于解決實(shí)際問題提供了便利.概率模型是概率知識的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位;概率模型是新課標(biāo)要求高中學(xué)生必須掌握的模型之一，也是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容.掌握古典概率模型、幾何概率模型以及其他模型為學(xué)習(xí)概率知識打下了良好基礎(chǔ).下面通過一些例題系統(tǒng)地比較分析高中數(shù)學(xué)中的三種概率模型.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型;高中數(shù)學(xué);概率模型

一、古典概率模型

古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)，包含了若干個基本事件，這些基本事件都具有兩大基本特性：第一，任何兩個基本事件一定互斥;第二，排除不可能事件外，任何事件都是由基本事件所組成的.通常情況下，辨別某一個概率事件是否為古典概型，要看它有無下述兩點(diǎn)特性：第一，該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中全部可能存在的基本事件數(shù)量是有限的;第二，所有基本事件存在的概率均相同.凡符合上述兩點(diǎn)特性者均為古典概型，其數(shù)學(xué)公式為：P（A）=mn，其中m為事件A包含的基本事件個數(shù)，n為整個隨機(jī)試驗(yàn)包含的基本事件的個數(shù).基本事件的有限性和等可能性是正確判斷隨機(jī)試驗(yàn)的類型為古典概型的依據(jù)，也是解決此類問題的關(guān)鍵.處理古典概型的方法一般分為兩種：圖表法和列舉法.

（一）CASE1用圖表法求古典概型的概率

例1現(xiàn)存在兩個玩具，其形狀均為正四面體，每個玩具的四面分別寫有1、2、3、4.現(xiàn)進(jìn)行投擲玩具試驗(yàn)，以X代表第一個玩具拋落在地的貼地面數(shù)字，以Y代表另一個玩具貼地面的數(shù)字，兩者用（X，Y）的形式表示.

①要求羅列上述試驗(yàn)基本事件;②計(jì)算“兩玩具貼地面數(shù)字之和大于3”的事件概率;③計(jì)算“兩玩具貼地面數(shù)字相等”的事件概率.

解①這個試驗(yàn)的基本事件列表如下：

從表中可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)共包含了16個基本事件.

②由①中圖表可知，事件“兩玩具貼地面的數(shù)字之和大于3”包含有13個基本事件，∴P=1316.

③由①中圖表可知，事件“兩玩具貼地面的數(shù)字相等”包含有4個基本事件，∴P=416=14.

（二）CASE2用列舉法求古典概型的概率

例2現(xiàn)有8名志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語， B1、B2、B3通曉俄語， C1、C2通曉韓語.從中選出通曉日語、俄語、韓語的志愿者各一名，組成一個小組.①求A1被選中的概率;②求B1和C1不全被選中的概率.

解①從8人中選出通曉日、俄、韓語的志愿者各一名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}共18個基本事件.用M表示“A1恰被選中”這一事件.則M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}共6個基本事件.∴P（M）=618=13.

②用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則其對立事件N表示為“B1、C1全被選中”這一事件，由于N={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，即事件N包含了3個基本事件，∴P（N）=318=16，∴P（N）=1-16=56.

二、幾何概率模型

幾何概型定義：假使每個事件發(fā)生的概率都只同該事件所表示區(qū)域的長度、面積或體積成比，此類概率模式即為幾何概型.計(jì)算公式如下：

P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）試驗(yàn)全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）.通過以上定義和計(jì)算公式，我們可以得出幾何概型的三種基本題型.

（一）CASE1求與長度有關(guān)的幾何概型的概率

圖1例3如圖A、B兩盞路燈之間的長度是30米，因住戶反應(yīng)兩燈之間距離過遠(yuǎn)，光線太暗，現(xiàn)需要在A，B中間再安兩盞燈C、D，求A、C兩燈和B、D兩燈之間距離都大于或等于10米的概率.

解記事件E為“A與C，B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，30×13=10米.

∴P（E）=1030=13.

（二）CASE2求與面積有關(guān)的幾何概型的概率

圖2例4現(xiàn)有一長方形ABCD，長和寬分別為2、1，AB中點(diǎn)設(shè)為O，在長方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，求該點(diǎn)與O點(diǎn)距離超過1的概率.

解記事件E為“取點(diǎn)到O的距離大于1”，其對立事件E為“取點(diǎn)到O點(diǎn)距離小于1”.

因?yàn)殚L方形的面積為2，以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，在長方形ABCD內(nèi)部為半圓的面積等于π2.

∴P（E）=π22=π4，P（E）=1-π4.故取點(diǎn)到O點(diǎn)距離大于1的概率為1-π4.

（三）CASE3求與體積有關(guān)的幾何概型的概率

例5已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC<12VS-ABC的概率是多少？

圖3解要使VP-ABC<12VS-ABC，只需使三棱錐P-ABC的高小于三棱錐S-ABC的高的一半.設(shè)A1，B1，C1分別為SA，SB，SC的中點(diǎn)，則所求概率即為棱臺A1B1C1-ABC的體積與三棱錐S-ABC的體積之比.其中O1為正三棱錐的高SO的中點(diǎn)，△A1B1C1是過O1平行于底面的截面.

VS-ABC=13×12×4×4×32×3=43，

VA1B1C1-ABC=VS-ABC-VS-A1B1C1=43- 13×（12×2×2×32）×32=732.

∴PVP-ABC<12VS-ABC=732÷43=78.

三、抽取“小球”試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

抽取“小球”試驗(yàn)?zāi)Ｐ涂梢苑譃閮煞N基本類型，即抽取“小球”放回試驗(yàn)和抽取“小球”不放回試驗(yàn).抽取“小球”放回試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為幾何分布;抽取“小球”不放回試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為超幾何分布.

（一）CASE1求服從幾何分布的概率

什么叫幾何分布呢？幾何分布是常用的一個離散型分布，幾何分布的概率公式為： P（X=k）=（1-p）k-1p， 隨著k增大呈等比級數(shù)變化，等比級數(shù)又稱幾何級數(shù).

例6現(xiàn)有一批貨品，包含合格品10枚、次品3枚，每次從這批貨品中隨機(jī)抽取一枚，且假設(shè)所有產(chǎn)品被抽取的概率均相等，分別算出下述兩種情況中抽出合格品為止的抽取次數(shù)為X的分布列.

①所有抽取出的產(chǎn)品均不放回;

②每次抽取的產(chǎn)品均需放回該批次貨品才能繼續(xù)進(jìn)行抽取.

分析①因抽取貨品后均不放回，可知每次抽取相互影響; ②因抽取后均需放回才可進(jìn)行下一次抽取，可知每次抽取相互獨(dú)立，該情況隸屬于幾何分布.

解①根據(jù)題意知，隨機(jī)變量X可取值為：1，2，3，4.

當(dāng)X=1時(shí)，即第一次取出的產(chǎn)品為合格品，故P（X=1）=1013;

當(dāng)X=2時(shí)，即第二次取出的產(chǎn)品為合格品，第一次取到的產(chǎn)品為次品，故P（X=2）=313×1012=526;

類似地P（X=3）=313×212×1011=5143; P（X=4）=313×212×111×1010=1286.所以X的分布列為：

②因?yàn)槊看稳〕龅漠a(chǎn)品都放回再抽取，所以這類試驗(yàn)符合幾何分布的特征，

隨機(jī)變量X的取值為1，2，3，…，n，隨機(jī)變量X服從幾何分布.

當(dāng)X=1時(shí)，即第一次取到了合格品，∴P（X=1）=1013;

當(dāng)X=2時(shí)，即第一次取到次品，第二次取到了合格品，∴P（X=2）=313×1013;

當(dāng)X=3時(shí)，即第一次、第二次取到次品，第三次取到了合格品，∴P（X=3）=313×313×1013=3132×1013;

類似地，當(dāng)X=n時(shí)，即前n-1次取到的均為次品，第n次取到合格品，故P（X=n）=313n-1×1013.

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

313n-1×1013

點(diǎn)評（1）幾何分布是放回抽樣問題，這也是幾何分布的特征，其分布列概率可以代入公式P（X=h）=（1-p）k-1p;（2）此類試驗(yàn)都可以看作是抽取“小球”的試驗(yàn)?zāi)Ｐ停y點(diǎn)在于確定隨機(jī)變量X取值的個數(shù).

（二）CASE2求服從超幾何分布的概率

什么叫超幾何分布呢？如果在含有M件次品數(shù)的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中含有X件次品， 則事件{X=k}發(fā)生的概率為： P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，N}且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.我們把這樣的分布稱為超幾何分布.由于這個級數(shù)CkMCn-kN-MCnN和幾何級數(shù)類似，被稱為超幾何級數(shù)，因此得名.

例7從裝有3個紅球2個白球的袋子中隨機(jī)取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，求隨機(jī)變量X的分布列.

解本題的隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其概率的計(jì)算公式： P（X=k）=Ck3C2-k2C25，代入公式得P（X=0）=0.1， P（X=1）=0.6， P（X=2）=0.3.故X的分布列為：

點(diǎn)評（1）超幾何分布隸屬于不放回抽樣，這也是其最為顯著的特點(diǎn)，其分布列概率公式如下： P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN;（2）此類問題都可以轉(zhuǎn)化為例7抽取“小球”的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，隨機(jī)變量X為取到“紅球”的個數(shù)，超幾何分布的本質(zhì)上也是古典概型.

總結(jié)：通過討論以上三種基本概率模型，我們總結(jié)出概率模型的一些通性以及解題的一些通法.這為我們今后遇到此類問題時(shí)提供一些幫助，使我們在分析問題和處理問題時(shí)少走一些彎路，幫助我們準(zhǔn)確而快速地找到解題的思路和方法.