基于“問題引導(dǎo)”下的初中數(shù)學(xué)“銳角三角函數(shù)”教學(xué)探討

應(yīng)茜

【摘要】正所謂“學(xué)貴有疑，大疑則大進，小疑則小進”，由此可見問題的發(fā)現(xiàn)和解決對于個人能力提升來說，是有著非常重要的意義的.蘇科版九年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，有一個極為重要的知識點，那就是“銳角三角函數(shù)”知識.教師合理設(shè)計課堂問題，引導(dǎo)學(xué)生進行師生、生生對話，結(jié)合問題進行客觀、全面的交流，則可以掀起思維的風(fēng)暴，在培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)思維能力的同時，更讓學(xué)生懂得如何應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去處理和解決生活中的實際問題，使其達到學(xué)以致用的目的和效果.本文就筆者理解下的初中數(shù)學(xué)“銳角三角函數(shù)”問題引導(dǎo)式教學(xué)方法來談一談，希望可以拋磚引玉.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);問題引導(dǎo);銳角三角函數(shù);興趣培養(yǎng)

興趣的激發(fā)和維護，是保證課堂教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵因素之一.愛因斯坦曾說過，“興趣，是最好的老師”，教育家孔子先生也認為，“知之者不如好之者，好之者不如樂知者”.作為初中數(shù)學(xué)教師，我們希望可以看到每位學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為一種樂趣，體驗到成功和愉悅，而不是將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)成負擔(dān)和包袱，那樣便失去了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義.

一、初中數(shù)學(xué)課堂上設(shè)計教學(xué)問題的重要性

首先，從數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)來看，數(shù)學(xué)本身就是思維的體操，它非常重視思維的訓(xùn)練和開發(fā)，培養(yǎng)的是人的實事求是、客觀分析、冷靜判斷的理性思維.但這種思維方式的開啟需要有領(lǐng)導(dǎo)人，這一角色就是初中數(shù)學(xué)教師.教師只有扮演好該角色，為學(xué)生在學(xué)習(xí)前分析教材，設(shè)計科學(xué)而合理的問題，用以啟發(fā)和思考，學(xué)生才會配合教師，在思維的鍛煉中形成各種數(shù)學(xué)思維方法和求知精神.其次，問題的設(shè)計和提出是檢驗學(xué)生課堂注意力是否集中的有效依據(jù).比如，同樣是聽課，對于同一問題，注意力集中的學(xué)生，就可以回答出教師的提問，注意力不集中的學(xué)生，則可能會模棱兩可或者是答非所問.

二、合理設(shè)計問題，啟發(fā)學(xué)生思考

1.結(jié)合學(xué)生已學(xué)知識，設(shè)計淺層問題

古語有云：“騏驥一躍，不能十步;駑馬十駕，功在不舍.”問題的引導(dǎo)應(yīng)該遵循循序漸進的規(guī)律和道理，只要學(xué)生每天都能前進一點點，那么即使是再小的進步，最終他們也可以憑借自己的努力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得應(yīng)有的收獲.所以，初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)“銳角三角函數(shù)”的知識時，可以嘗試從三個階段對學(xué)生實施教學(xué)啟發(fā)，其一是理論知識掌握階段;其二是習(xí)題解答和生活場景應(yīng)用階段;其三是變式訓(xùn)練，讓學(xué)生可以達到舉一反三，觸類旁通的綜合性學(xué)習(xí)效果階段.比如，針對“銳角三角函數(shù)”知識，教師首先需要讓學(xué)生掌握一些基本的理論知識，如正切、正弦、余弦的概念，以及三角函數(shù)的概念等，其次，在此基礎(chǔ)上引申出“特殊角的三角函數(shù)”和“解直角三角形”等問題和內(nèi)容.學(xué)生如果前期的基礎(chǔ)奠定不好，后期的學(xué)習(xí)效果自然也會越來越差.

比如，在前期的課堂教學(xué)中，教師如何給學(xué)生解釋“正切”“余弦”和“正弦”的定義呢？對此，教材中已經(jīng)給出了一個切實可行的方法，那就是結(jié)合學(xué)生上學(xué)期學(xué)過的“勾股定理”知識.數(shù)學(xué)教師可以先繪制一個直角三角形，然后啟發(fā)學(xué)生回憶關(guān)于“勾股定理”的知識，如“誰來說一說，在一個直角三角形中，三條邊有怎樣的關(guān)系？大家可以先想一想上個學(xué)期我們學(xué)過的知識，再回答這個問題！”對此，學(xué)生可以輕松地回答：“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和：a2+b2=c2，更可以寫成c=a2+b2.”隨后，教師就可以根據(jù)教材，啟發(fā)學(xué)生思考，“那么，對于這個三角形中的一個銳角A，它的對邊和鄰邊的比值如何書寫呢？又可以表示為什么樣的特殊數(shù)學(xué)語言呢？”到此，學(xué)生就可以根據(jù)教材的解釋和教師的問題引導(dǎo)，而得到tan∠A=ab，從而領(lǐng)會到正切的含義.同理，正弦、余弦的概念，教師也可以結(jié)合“勾股定理”的知識而引申出，為實施接下來的“銳角三角函數(shù)”教學(xué)奠定基礎(chǔ).

2.結(jié)合多媒體投影技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生深度探究

在學(xué)生掌握了“正弦”“余弦”“正切”這些知識后，教師就可以嘗試接下來的教學(xué)內(nèi)容“特殊角的三角函數(shù)”，這里所講的特殊角，主要集中在“30°、45°和60°”這三個角度方面，這是因為這些角度在計算和生活中最為常見、廣泛.比如，眾所周知，30°角的正弦函數(shù)值為12，那么，在確定一個角確實是30度的情況下，構(gòu)建一個平面直角三角形，我們就可以通過對邊與斜邊的比值，求解出任何一個未知量，從而快速解決實際問題，這就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的意義和價值.蘇科版初中九年級教材已經(jīng)為我們準(zhǔn)備得非常充分了，因為教材中已經(jīng)將“30°、45°和60°”的正弦、余弦和正切的對應(yīng)值都以表格的方式匯總出來了，這其實就已經(jīng)省去了很多學(xué)生自己探索和發(fā)現(xiàn)的時間.但學(xué)習(xí)知識不能只停留在表面，而是要“知其然，更知其所以然”，因此，我們不僅要讓學(xué)生記住每個特殊角的三角函數(shù)值，更要讓他們知曉這些對應(yīng)值是怎樣來的.

為了激發(fā)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣，也為了能夠讓學(xué)生看得更加直觀一些，教師可以將需要探究的銳角三角函數(shù)情境展示在多媒體的幕布上，并配合以問題作為啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生逐步思考和層層深入，最終尋找到特殊角的三角函數(shù)值究竟是如何得到的這一答案.下圖就是筆者在教學(xué)中展示的多媒體教學(xué)情境.

筆者結(jié)合本圖拋出問題：“從這幅圖中，我們可以得到哪些已知量？”有的學(xué)生回答：“首先可以確定這是一個直角三角形，因為它有兩個角都是45°，而根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°的規(guī)則，我們就可以直接得出它是等腰直角三角形的結(jié)論.如果確定了它是直角三角形，那么，‘勾股定理也就可以使用了，我們也可以知曉它的兩條直角邊AB和BC是相等的.”于是，我又繼續(xù)追問，“那么，我們?nèi)绻僭O(shè)其中的一條直角邊為1，三條邊的長度是不是也就可以知道了呢？我們以∠A為對象，誰來說一說它的tan 、cos和sin的值是多少？”這個問題可以有效地激發(fā)學(xué)生的思考興趣.學(xué)生在一陣喧鬧和嘈雜的探究中，就會根據(jù)“勾股定理”的三邊關(guān)系，而得到∠A的正弦值為22，余弦值為22，以及正切為1.在探究結(jié)束之后，我們再來展示這張圖片，如圖.

之后，數(shù)學(xué)教師可以將“30°角和60°角”的三角函數(shù)值探究問題留給學(xué)生，讓學(xué)生在課下成立學(xué)習(xí)小組，自行通過繪圖和依靠三角形定理和角平分線的規(guī)則等進行合作探究.這樣做不但可以讓學(xué)生將課下的時間充分利用起來，更可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和自學(xué)能力，拓展和延伸數(shù)學(xué)教學(xué)的深度和寬度，讓新時代的素質(zhì)教育主張落到工作的實處.

3.結(jié)合生活實際問題，啟發(fā)學(xué)生展開思考

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識并不是全部為了考試，因為從知識的來源來說，知識是來源于對生活的總結(jié)的，那么，最終也應(yīng)該還原到生活當(dāng)中去，讓學(xué)生學(xué)會利用學(xué)到的“三角函數(shù)”知識，去解決生活中的一些現(xiàn)實問題，這樣不僅可以使得學(xué)生體驗到解決實際問題的樂趣和成就感，更可以讓學(xué)生帶著更加堅定的信念在數(shù)學(xué)的探索之路上一直走下去，從而引發(fā)新一輪的頭腦風(fēng)暴，也讓教育家陶行知先生提出的“生活即教育”觀念得到很好的印證.

比如，在教學(xué)指導(dǎo)完“特殊角的三角函數(shù)”知識后，我們就可以擇取生活中的一個例子，利用太陽光投影讓學(xué)生學(xué)會利用三角函數(shù)去解析某個物體的實際高度，以此驗證學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的妙處和優(yōu)勢.具體來說，如：白天某一時刻太陽光線斜著照在了旗桿上，此時測得地面的旗桿影長為6米，測得陽光和地面此時的夾角為60°，那么請問學(xué)校旗桿的高度大約為多少米？（如有小數(shù)，保留到小數(shù)點后一位）.通過讀題和分析題目中的已知量我們可以知道，在某一時刻，太陽光斜射照耀在旗桿上，其陽光和地面形成的夾角就可以看成直角三角形中的一個銳角，那么，此時我們就可以通過構(gòu)建平面直角三角形的方式，求解出旗桿的高度.此時旗桿的高度就相當(dāng)于三角形中一條直角邊的長度，通過利用tan 60°=3=旗桿高/影長的知識，最終我們就可以計算得到旗桿的高度約為10.39米，而保留一位小數(shù)后就是10.4米.當(dāng)然，應(yīng)用三角函數(shù)知識可以解決的實際問題遠遠不止于此.在實際生活中，我們也可以通過測量某物的三條邊、兩個夾角等判斷一個物體的角是不是直角，或者是根據(jù)三條邊的對應(yīng)值和已知的直角條件，求解出某個角的度數(shù).所以在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一定要善于設(shè)計問題，從學(xué)生的思維特點和興趣激發(fā)點入手，引導(dǎo)學(xué)生從眾多的條件中抽絲剝繭，進而高效學(xué)習(xí)并學(xué)以致用.

綜上所述，當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該重視“銳角三角函數(shù)”知識的教學(xué)，因為它在九年級階段占據(jù)了十分重要的地位，更是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點.基于此，我們積極響應(yīng)新課程改革和素質(zhì)教育的號召，以問題的設(shè)計為支點，探究了如何調(diào)動學(xué)生思考問題的興趣，提高課堂教學(xué)效率和質(zhì)量的方法，如結(jié)合生活設(shè)計問題、展示多媒體教學(xué)情境以及從學(xué)生已知領(lǐng)域出發(fā)等，希望可以給優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作者提供一些參考價值.

【參考文獻】

[1]羅蓉，張昆.啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實踐——以“弧度制”概念教學(xué)設(shè)計為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（06）：23-25，54.

[2]陳靜.數(shù)學(xué)探究式教學(xué)案例探析——以任意角的三角函數(shù)為例[J].當(dāng)代教育理論與實踐，2020（03）：28-31.