整體建構(gòu)：先見(jiàn)“森林”，再見(jiàn)“樹(shù)木”

摘要：整體建構(gòu)，主張根據(jù)數(shù)學(xué)特有的“整體”“結(jié)構(gòu)”“邏輯”等特點(diǎn)，幫助學(xué)生從整體上把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展，把碎片化的知識(shí)有效地連成線、結(jié)成網(wǎng)、組成體，將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)納入一個(gè)結(jié)構(gòu)或框架中，形成模塊化體系，使習(xí)得的知識(shí)結(jié)構(gòu)化。執(zhí)教《因式分解》一課，立足整體進(jìn)行“學(xué)材再建構(gòu)”，開(kāi)展整體建構(gòu)教學(xué)。

關(guān)鍵詞：整體建構(gòu);初中數(shù)學(xué);因式分解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)與‘延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系?！边@引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從知識(shí)內(nèi)容的整體角度進(jìn)行“學(xué)材再建構(gòu)”，即整體建構(gòu)。一次，執(zhí)教《因式分解》一課，筆者做了整體建構(gòu)的教學(xué)實(shí)踐。

一、教學(xué)過(guò)程

（一）開(kāi)展速算比賽，感受“化積”的獨(dú)特作用

教師出示算式：①（a+b+1）2-a（a+b+1）-b（a+b+1）;②（a+1）2-2（a+1）+1;③（a+b+c）2-（a-b-c）2。學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，教師巡視了解學(xué)生的解題思路和過(guò)程。

教師指名完成速度快的學(xué)生展示、講解他們的思維過(guò)程、解題方法，然后全班交流。

教師提問(wèn)：這樣做（做得快）的關(guān)鍵是什么？依據(jù)是什么？

以速算比賽的形式呈現(xiàn)問(wèn)題有較強(qiáng)的情境性和策略的暗示性。讓學(xué)生分別逆運(yùn)用乘法分配律、完全平方公式和平方差公式，親歷“化積”速算的過(guò)程，不僅可激發(fā)學(xué)生探求“化積”的心向，還可讓學(xué)生體悟“化積”的依據(jù)及途經(jīng)。事實(shí)上，絕大部分的學(xué)生依據(jù)所掌握的乘法公式、乘法分配律及已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，均能較好地實(shí)現(xiàn)這幾個(gè)重要的變形。

（二）分析共同特點(diǎn)，概括聯(lián)系和區(qū)別

教師提問(wèn)：觀察以上速算的第一步變形，從運(yùn)算的角度看，有什么共同特點(diǎn)？

學(xué)生回答：將一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式相乘。

教師追問(wèn)：將一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫作把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。那因式分解與整式乘法有什么聯(lián)系和區(qū)別？

學(xué)生小組交流。

教師歸納：因式分解是將“和差”的形式化成“積”的形式，整式乘法是將“積”的形式化成“和差”的形式，它們是互逆變形。

在學(xué)生親自實(shí)踐有所體悟的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析乘法分配律、完全平方公式、平方差公式逆變形的共同特點(diǎn)，從而將學(xué)生的實(shí)踐感知數(shù)學(xué)化，建構(gòu)因式分解的概念，并分清因式分解與整式乘法兩種數(shù)學(xué)變形的特點(diǎn)、作用及相互聯(lián)系。這時(shí)，學(xué)生獲得的不僅僅是自主建構(gòu)的知識(shí)，還有自主研究問(wèn)題的方法經(jīng)驗(yàn)。

（三）在具體情境中探討因式分解的方法和依據(jù)

教師出示算式：4x2-4x;x2-25;a2-6a+9。學(xué)生因式分解。

教師出示算式：x2y+xy2;y2-9;m2-m+14。學(xué)生搶答并說(shuō)明依據(jù)。

在全面交流討論解題依據(jù)和結(jié)果的基礎(chǔ)上，教師點(diǎn)明：（1）逆運(yùn)用乘法分配律的因式分解方法，叫作提公因式法，即m（a+b+c）=ma+mb+mc，m叫作這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。（2）逆運(yùn)用乘法公式分解因式的方法叫作公式法，即a2±2ab+b2=（a±b）2、a2-b2=（a+b）（a-b）。（3）提公因式法和公式法是因式分解的兩種基本方法。

進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)搶答情境，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)向“化積”的目標(biāo)繼續(xù)探究，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，概括出因式分解的基本方法。

（四）分層練習(xí)，掌握基本技能，深化對(duì)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)

教師出示算式變形過(guò)程，學(xué)生判斷是否是因式分解。

教師出示算式：（1）3a2b-12ab3;（2）（a-b）2-2（a-b）;（3）9x2-25y2;（4）4m2-12mn+9n2;（5）-3mx3+6mx2-3mx;（6）（x2+y2）2-4x2y2。學(xué)生自主探究，教師巡視指導(dǎo)。

學(xué)生小組交流，互幫互糾，然后學(xué)生代表發(fā)言。

教師強(qiáng)調(diào)因式分解要注意的問(wèn)題：因式分解時(shí)先考慮提公因式法，再考慮公式法;每個(gè)因式要分解到不能繼續(xù)分解為止。

教師提問(wèn)：怎樣剪出面積是84?cm2，長(zhǎng)比寬多5?cm的長(zhǎng)方形紙片？

學(xué)生回答：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x?cm，則長(zhǎng)為（x+5）cm，由題意得x（x+5）=84，即x2+5x-84=0。

教師追問(wèn)：如何分解因式x2+5x-84？

學(xué)生回答：x2+5x-84=（x+12）（x-7）。

教師說(shuō)明：這是逆運(yùn)用乘法公式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq;因式分解是整式乘法的逆變形，所以因式分解的方法是逆運(yùn)用整式的乘法法則或乘法公式。

通過(guò)“識(shí)別”和“分解因式”來(lái)鞏固、深化學(xué)生對(duì)因式分解本質(zhì)的認(rèn)識(shí);同時(shí)能進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)整式乘法與因式分解是兩種互逆的數(shù)學(xué)變形的認(rèn)識(shí)，體驗(yàn)因式分解的應(yīng)用價(jià)值，初步建立因式分解的方法框架，整體了解因式分解的全貌。另外，將因式分解與解一元二次方程聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生感知因式分解“降次”的作用，體會(huì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的價(jià)值所在，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊。

（五）引導(dǎo)回顧，整體建構(gòu)“因式分解”

教師通過(guò)以下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧本課的學(xué)習(xí)歷程：（1）什么是因式分解？與整式乘法有什么聯(lián)系和區(qū)別？（2）因式分解的常用方法有哪些？依據(jù)是什么？（3）因式分解的作用有哪些？

建構(gòu)“因式分解”的整體認(rèn)知（如圖1）。

二、教學(xué)思考

（一）整體建構(gòu)，就是在知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”之間架起一座“橋”

教材不等于教學(xué)內(nèi)容，教師應(yīng)該從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)造性地使用教材，重組教學(xué)內(nèi)容，力求使學(xué)生的知識(shí)、智力、能力、情感、態(tài)度等達(dá)到各自的“最近發(fā)展區(qū)”，才能使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生實(shí)踐、探索、建構(gòu)的過(guò)程?！耙蚴椒纸狻边@一內(nèi)容，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材有兩種編排方式：一是作為單獨(dú)一章，如北師大版，意在學(xué)生熟練掌握整式運(yùn)算后，再來(lái)研究整式乘法的逆變形——因式分解，防止學(xué)生將兩種變形混淆，體現(xiàn)了教材“螺旋式”上升的特點(diǎn)。二是緊接“整式乘法”后作為一節(jié)編排，如人教版，這利于學(xué)生訓(xùn)練逆向思維，培養(yǎng)思維的靈活性、變通性。這也是本次整體建構(gòu)教學(xué)的思路。這樣的整體建構(gòu)，能夠使引導(dǎo)學(xué)生在比較中認(rèn)識(shí)兩種互逆變形的聯(lián)系和區(qū)別，架起知識(shí)“生長(zhǎng)點(diǎn)”之橋。

（二）整體建構(gòu)，就是先見(jiàn)到“森林”，而后深入認(rèn)識(shí)一棵棵“樹(shù)木”

沒(méi)有一種宏觀的視野，很難有微觀上的深入。常規(guī)教學(xué)中，采用先讓學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)“個(gè)體”，再到“部分”，最后到“整體”的教學(xué)方法，學(xué)生難以自主打通“孤立”知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。整體建構(gòu)就是幫助學(xué)生用整體的觀點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)知識(shí)的各“部分”，同時(shí)在學(xué)習(xí)“部分”時(shí)又明確它在“整體”中的作用，從而完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，“既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林”。

本節(jié)課，通過(guò)設(shè)計(jì)特殊的運(yùn)算問(wèn)題，使學(xué)生自覺(jué)地發(fā)揮自己的智力。逆運(yùn)用整式乘法的知識(shí)，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高時(shí)效，初步感知“和”化“積”的方法和作用。在學(xué)生親自實(shí)踐有所體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)踐感知數(shù)學(xué)化，建立因式分解的概念，并分清因式分解與整式乘法兩種數(shù)學(xué)變形的特點(diǎn)、作用及相互聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)學(xué)生自主探索因式分解的基本方法，總結(jié)因式分解的注意點(diǎn)，從而使學(xué)生整體了解因式分解的全貌，激發(fā)深入學(xué)習(xí)因式分解、熟練掌握因式分解技能的積極性。

（三）整體建構(gòu)，就是新舊圖式體系相互作用的過(guò)程

皮亞杰在《結(jié)構(gòu)主義》一書(shū)中指出：結(jié)構(gòu)（也叫作一個(gè)整體、系統(tǒng)、集合）就是由具有整體性的若干轉(zhuǎn)換規(guī)律組成的一個(gè)有自身調(diào)整性的圖式體系。整體建構(gòu)“因式分解”的過(guò)程，是學(xué)生新舊圖式體系相互作用的過(guò)程。考慮到學(xué)生原有的圖式體系，在學(xué)生知識(shí)能力的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)搭建學(xué)習(xí)支架，使舊圖式體系促進(jìn)新圖式體系的形成（即讓學(xué)生親歷“化積”速算的過(guò)程），不僅可激發(fā)學(xué)生探求“化積”的心向，還可讓學(xué)生體悟“化積”的依據(jù)及途經(jīng)。特別地，整體建構(gòu)使學(xué)生形成有序的因式分解的知識(shí)結(jié)構(gòu)，思維更具活力，從而自然而然地實(shí)現(xiàn)生長(zhǎng)——學(xué)生能自主搭建深入學(xué)習(xí)的支架，初步形成新的“解一元二次方程”的圖式體系。

整體建構(gòu)，主張根據(jù)數(shù)學(xué)特有的“整體”“結(jié)構(gòu)”“邏輯”等特點(diǎn)，幫助學(xué)生從整體上把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展，把碎片化的知識(shí)有效地連成線、結(jié)成網(wǎng)、組成體，將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)納入一個(gè)結(jié)構(gòu)或框架中，形成模塊化體系，使習(xí)得的知識(shí)結(jié)構(gòu)化。這可以看作數(shù)學(xué)教學(xué)涵育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方向和主要途徑。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“初中數(shù)學(xué)‘學(xué)材再建構(gòu)研究”（編號(hào)：Ea/2016/06）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

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[2]?施俊進(jìn).“用教材”：“學(xué)材再建構(gòu)”的教材觀——以“二元一次方程組”的教學(xué)實(shí)踐為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（8）.