長(zhǎng)記憶時(shí)間序列均值多變點(diǎn)的ANOVA型檢驗(yàn)

劉 豆，趙文芝

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

變點(diǎn)問題是統(tǒng)計(jì)學(xué)研究熱點(diǎn)問題之一。變點(diǎn)指在某一時(shí)刻前后觀測(cè)值存在明顯的差異，遵循2種不同的模型，即前后2個(gè)子序列可以由2種不同的數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)，反映了觀測(cè)值本身發(fā)生了某種機(jī)制的轉(zhuǎn)變。1954年P(guān)AGE[1]發(fā)表的一篇質(zhì)量檢驗(yàn)的文章提出了變點(diǎn)問題，該問題提出之后即被人們廣泛關(guān)注，現(xiàn)在變點(diǎn)問題已被大量應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域。

通常均值變點(diǎn)檢驗(yàn)的方法有最小二乘檢驗(yàn)、CUSUM檢驗(yàn)、比率檢驗(yàn)、貝葉斯檢驗(yàn)、似然比檢驗(yàn)等。HORVTH和KOKOSZKA等用CUSUM估計(jì)量估計(jì)均值變點(diǎn),并給出極限分布[2-3]。但是，CUSUM方法的缺點(diǎn)之一是需要估計(jì)長(zhǎng)期方差,在應(yīng)用中非常不方便。由于長(zhǎng)期方差不易準(zhǔn)確估計(jì)，一旦估計(jì)結(jié)果較差，會(huì)使檢驗(yàn)方法出現(xiàn)第一類錯(cuò)誤的概率難以控制。HIDALAGO等用Wald法[4]，KUAN等用最小二乘方法[5]檢驗(yàn)均值變點(diǎn)；SHAO和趙文芝等采用比率統(tǒng)計(jì)量研究了均值變點(diǎn)檢驗(yàn)問題[6-7]。然而，以上文獻(xiàn)只研究了均值單變點(diǎn)檢驗(yàn)情況。

在實(shí)際的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中，所選數(shù)據(jù)不一定只有一個(gè)變點(diǎn)，因此多變點(diǎn)檢驗(yàn)問題的研究具有重要意義。BAI等研究了線性模型多變點(diǎn)的估計(jì)及其檢驗(yàn)問題[8-11]。他們放寬了現(xiàn)有的限制性假設(shè)條件，提出了Sup-Wald型檢驗(yàn)并討論多變點(diǎn)估計(jì)的序貫估計(jì)方法，為研究多變點(diǎn)問題提供了一種新的思路。此外，BARDET等采用擬似然比的方法得到一般因果參數(shù)模型多變點(diǎn)的一致估計(jì)[12]；KEJRIWAL等用Wald法檢驗(yàn)持久性多變點(diǎn)問題[13]；夏志明等提出基于局部比較法研究多變點(diǎn)個(gè)數(shù)及其位置的估計(jì)[14]；文獻(xiàn)[15-18]研究線性多變點(diǎn)模型并且應(yīng)用到實(shí)際數(shù)據(jù)中進(jìn)行變點(diǎn)檢測(cè)；NORIAH等提出了用ANOVA統(tǒng)計(jì)量研究獨(dú)立同分布序列的均值多變點(diǎn)檢驗(yàn)[19]；呂會(huì)琴等在厚尾相依序列下研究了均值多變點(diǎn)的ANOVA型檢驗(yàn)[20]。以上文獻(xiàn)都是采用不同方法研究短記憶序列多變點(diǎn)問題。然而，在氣溫、水文以及地質(zhì)等領(lǐng)域會(huì)出現(xiàn)長(zhǎng)記憶序列。由于受各種因素的干擾，長(zhǎng)記憶序列也有可能存在均值多變點(diǎn)。在上述研究的基礎(chǔ)上，付國龍用滑動(dòng)比法檢驗(yàn)長(zhǎng)記憶均值多變點(diǎn)[21]；徐瓊瑤等提出似然比掃描法研究長(zhǎng)記憶均值多變點(diǎn)檢驗(yàn)[22]。對(duì)于長(zhǎng)記憶序列均值多變點(diǎn)檢驗(yàn)的文獻(xiàn)并不多，仍然有許多問題值得討論。本文采用ANOVA型統(tǒng)計(jì)量研究長(zhǎng)記憶序列的均值多變點(diǎn)檢驗(yàn)，將文獻(xiàn)[19]的研究方法推廣到長(zhǎng)記憶序列上，考慮長(zhǎng)記憶序列均值多變點(diǎn)檢驗(yàn)。

1 長(zhǎng)記憶模型及統(tǒng)計(jì)量的極限分布

假設(shè)n個(gè)觀測(cè)值X1,X2,…，Xn是由式(1)給出：

(1)

式中：μ1,μ2,…，μk+1為常數(shù)，n為樣本容量；

考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題H0:μ1=μ2=…=μk+1; H1:μ1≠μ2≠…≠μk+1。

di,n=[nτi]-[nτi-1],i=1,2,…,k+1

文獻(xiàn)[23]提出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)過程Bd，表達(dá)式為

其中B0是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這里的Bd具有高斯性，均值為零，協(xié)方差函數(shù)S為

|t-s|1+2d+|s|1+2d)·

其中0≤t≤1，n→∞。

定義ANOVA型檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(2)

定理1假設(shè)X1,X2,…,Xn是長(zhǎng)記憶序列且滿足式(1)，則在原假設(shè)H0成立的條件下，當(dāng)n→∞時(shí)，有

(3)

(4)

假設(shè){(et}是一個(gè)0

其中0≤t≤1，c>0，n→∞。可得

從而，基于式(4)可以證明,在原假設(shè)H0成立時(shí)，當(dāng)n→∞，有下式成立:

(5)

根據(jù)式(2)，對(duì)式(5)不斷積分可以得到式(3)。

成立。

由于

且

2 數(shù)值模擬

考慮如下數(shù)據(jù)生成過程

Xt=μ(t)+et,t=1,2,…,n

其中{et,t=1,2,…,n}為FARIMA(0,d,0)過程。

首先通過Monte Carlo方法對(duì)變點(diǎn)個(gè)數(shù)k=2，長(zhǎng)記憶參數(shù)d分別為0.1、0.2、0.3、0.4進(jìn)行數(shù)值模擬。對(duì)每一個(gè)d都會(huì)分別產(chǎn)生一個(gè)FARIMA(0,d,0)序列，重復(fù)進(jìn)行5 000次，將得到的5 000個(gè)樣本按從小到大的順序排列。選取在經(jīng)驗(yàn)水平α=0.05下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tn(k)極限分布的分位數(shù)，結(jié)果見表1。

表 1 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量極限分布的α分位數(shù)Tab.1 The α quantile of limit distributionof the test statistic

從表1可以看出，在檢驗(yàn)水平α=0.05下，長(zhǎng)記憶參數(shù)d對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量極限分布的α分位數(shù)的值有同向影響，即長(zhǎng)記憶參數(shù)d越大，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量極限分布α分位數(shù)的值就越大。

分別取樣本容量n=200和n=400，變點(diǎn)位置(k1,k2)分為

等3種情況，分別代表變點(diǎn)發(fā)生時(shí)刻的早期、中期和晚期。在均值(μ1,μ2,μ3)=(0,1,2)的條件下，對(duì)模型在α=0.05的檢驗(yàn)水平下模擬500次，模擬結(jié)果見表2～4。表3中括號(hào)外的數(shù)據(jù)表示樣本容量n=200時(shí)的經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值，括號(hào)里的數(shù)據(jù)表示樣本容量n=400時(shí)的經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值。

表 2 樣本容量n=200，400的Tn(k)的經(jīng)驗(yàn)水平Tab.2 The empirical size of Tn(k) withthe sample size n=200，400

觀察表2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣本容量n增加以及長(zhǎng)記憶參數(shù)d的變化呈持續(xù)增加時(shí)，Tn(k)的經(jīng)驗(yàn)水平明顯增加，表明樣本容量對(duì)Tn(k)的經(jīng)驗(yàn)水平有很大的同向影響，說明檢驗(yàn)水平失真較小，該檢驗(yàn)是有效的。

表 3 樣本容量n=200，400的Tn(k)的經(jīng)驗(yàn)勢(shì)Tab.3 The empirical power of Tn(k) with thesample size n=200，400

觀察表3可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣本容量n增加時(shí)，Tn(k)的經(jīng)驗(yàn)勢(shì)明顯增加，顯示樣本容量n對(duì)統(tǒng)計(jì)量Tn(k)的經(jīng)驗(yàn)勢(shì)有明顯的同向影響，而且樣本容量n越大，效果越明顯。另外，當(dāng)長(zhǎng)記憶序列參數(shù)d的變化呈持續(xù)增加時(shí)，經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值會(huì)越接近于1，即表明該方法具有有效性。

表 4 變點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量臨界值的影響Tab.4 Effect of the change point number on the critical value of the test statistic

從表4可以看出，在檢驗(yàn)水平α=0.05，不同的長(zhǎng)記憶參數(shù)下，隨著變點(diǎn)個(gè)數(shù)的增多，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的臨界值越來越小。

進(jìn)一步用Matlab軟件擬合得出，在α=0.05，長(zhǎng)記憶參數(shù)d(0

當(dāng)k=1 時(shí)，

C1(d)=121.9d2+137.7d+200.3

(6)

當(dāng)k=2時(shí)，

C2(d)=0.169d2+0.527 8d+0.524 6

(7)

當(dāng)k=3時(shí)，

C3(d)=5.155×10-4d2+9.025×10-4d+

2.198×10-3

(8)

對(duì)于不同的長(zhǎng)記憶參數(shù)d(0

3 實(shí)例驗(yàn)證

用2組統(tǒng)計(jì)學(xué)中比較經(jīng)典的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的有效性。2組數(shù)據(jù)分別為北半球的月平均氣溫?cái)?shù)據(jù)(1854—1989年)以及尼羅河年最低水位(622—1281年)。以上數(shù)據(jù)來自于文獻(xiàn)[24]。

Beran對(duì)北半球月平均氣溫?cái)?shù)據(jù)(1854—1989年)的擬合模型為d=0.37的長(zhǎng)記憶序列[24]。對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行變點(diǎn)檢測(cè)，將數(shù)據(jù)代入Tn(k)中可計(jì)算其臨界值為tn(k)=398.447。該值大于k=1，d=0.37的臨界值267.937 2。應(yīng)該拒絕原假設(shè),即該組數(shù)據(jù)存在變點(diǎn)。從圖1可以看出，該組數(shù)據(jù)存在明顯變化，即存在變點(diǎn)，但是變點(diǎn)的位置有待進(jìn)一步的估計(jì)。

圖 1 北半球月平均氣溫?cái)?shù)據(jù)(1854—1989年)Fig.1 Monthly mean temperature data of the northern hemisphere from 1854 to 1989

Beran對(duì)尼羅河年最低水位數(shù)據(jù)(622—1281年)的擬合模型為d=0.33的長(zhǎng)記憶序列[24]。對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行變點(diǎn)檢測(cè),將數(shù)據(jù)代入Tn(k)中可計(jì)算其臨界值為tn(k)=5.245。該值小于k=1，d=0.33的臨界值259.015 9且大于k=2，d=0.33的臨界值0.717 2。應(yīng)該拒絕原假設(shè),即該組數(shù)據(jù)存在變點(diǎn)。從圖2可以看出，該組數(shù)據(jù)存在明顯變化，即存在變點(diǎn)，但是變點(diǎn)的位置仍有待進(jìn)一步的估計(jì)。

圖 2 尼羅河年最低水位(622—1281年)Fig.2 Yearly minimum water levels of the Nile river from 622 to 1281

4 結(jié) 語

利用ANOVA統(tǒng)計(jì)量研究關(guān)于線性長(zhǎng)記憶均值多變點(diǎn)檢驗(yàn)問題。當(dāng)變點(diǎn)個(gè)數(shù)已知時(shí)，原假設(shè)下證明了極限分布，備則假設(shè)下得到了一致性檢驗(yàn)。根據(jù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)以及實(shí)例分析驗(yàn)證了所提方法的有效性。但是，對(duì)于變點(diǎn)具體位置的估計(jì)以及變點(diǎn)個(gè)數(shù)等還有待進(jìn)一步的研究。