具有年齡結(jié)構(gòu)的手足口病模型的動力學(xué)分析

劉俊利, 劉白茹，呂 潘

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710048)

0 引 言

手足口病是一種常見的兒童疾病，多發(fā)于5歲以下的兒童[1]，但任何人都可能感染該疾病。其中以柯薩奇病毒A16型(Cox A16)和腸道病毒71型(EV 71)最為常見[2-3]。該疾病通常情況下不嚴(yán)重，但是傳染性極強(qiáng)，在學(xué)校和日托中心傳播迅速。隨著氣候的變化，環(huán)球旅行的增加，病毒不斷演化；由于一些國家缺乏衛(wèi)生資源和有效的監(jiān)測系統(tǒng)，預(yù)計未來手足口病爆發(fā)的頻率也會增加。

手足口病是引起兒童死亡的主要原因之一，是一個嚴(yán)峻的公共衛(wèi)生問題，還會造成社會和經(jīng)濟(jì)方面不可量化的問題。對于手足口病目前沒有有效的疫苗和治療措施，控制策略是采用適當(dāng)?shù)念A(yù)防措施，其中包括隔離機(jī)制和個人保護(hù)防止接觸感染者。因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型研究手足口病的傳播十分重要。近年來，已有一些模型用于研究手足口病的傳播。文獻(xiàn)[4-6]建立了常微分方程模型，研究了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，分析了疾病的最優(yōu)控制策略，這些模型被用于分析國內(nèi)手足口病的傳播。在許多國家手足口病呈現(xiàn)季節(jié)性的爆發(fā)[7-9]。文獻(xiàn)[10-12]建立了周期傳染病模型，從理論上分析了模型的動力學(xué)行為。然而，手足口病的嚴(yán)重程度是與年齡相關(guān)的，已有的數(shù)學(xué)模型忽略了手足口病的年齡依賴性。比如在中國臺灣地區(qū)，每年重癥病例變化顯著，發(fā)病率隨年齡增長而降低，1歲兒童發(fā)病率達(dá)到峰值[13]?？紤]到手足口病與年齡有關(guān)的特點(diǎn)，本文研究了一類具有年齡結(jié)構(gòu)的手足口病模型的動力學(xué)行為。

1 模型的建立

假設(shè)t表示時間，a表示人口的年齡，t時刻總?cè)丝诘哪挲g分布記為N(t,a)，總?cè)丝诜譃橐赘腥菊摺摲?、染病者、隔離者和恢復(fù)者等5個倉室，其年齡分布分別記為S(t,a)，E(t,a)，I(t,a)，Q(t,a)，R(t,a)。

設(shè)a+為人口的最大年齡，則感染力函數(shù)λ(t,a)為

(1)

具有年齡結(jié)構(gòu)的手足口病模型由以下偏微分方程給出：

(2)

初值和邊值條件如下：

總?cè)丝贜(t,a)滿足以下方程:

系統(tǒng)(2)中:β(a,σ)為染病年齡為σ的染病者接觸并感染年齡為a的易感者的傳染率；b(a)、μ(a)分別表示人口的出生率和死亡率；ω(a)為從潛伏者到染病者的轉(zhuǎn)化率；δ(a)為染病者的隔離率；γ1(a)、γ2(a)分別表示染病者和隔離者的恢復(fù)率；α(a)為手足口病的因病死亡率。

(3)

式中：

(4)

系統(tǒng)(3)的初值和邊值條件分別為

s(t,0)=1

e(t,0)=i(t,0)=0

x(t,0)=r(t,0)=0

因為在系統(tǒng)(3)的前3個方程中x(t,a)和r(t,a)沒有出現(xiàn)，因此可以研究如下系統(tǒng)

(5)

系統(tǒng)(5)的初值和邊值條件分別為

s(t,0)=1,e(t,0)=i(t,0)=0

s(0,a)=s0(a),e(0,a)=e0(a),i(0,a)=i0(a)

系統(tǒng)(5)的狀態(tài)空間為

Ω={(s,e,i)∈X+:0≤s+e+i≤1}

式中X+為X=L1(0,a+)×L1(0,a+)×L1(0,a+)的正錐。

假設(shè)A為線性算子，F(xiàn):X→X為非線性算子，定義如下:

(Aφ)(a)=(A1,A2,A3)

式中：

A的定義域D(A)為

D(A)={φ∈X:φi∈AC[0,a+],

φ(0)=(1,0,0)T}

這里AC表示區(qū)間[0,a+]上的絕對連續(xù)函數(shù)的集合。

令u(t)=(s(t,·),e(t,·),i(t,·))T,則系統(tǒng)(5)可以表示成巴拿赫空間X上的半線性柯西問題

(6)

這里u0(a)=(s0(a),e0(a),i0(a))T。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]，得到如下結(jié)果:

引理1算子A產(chǎn)生C0半群exp(tA)。對于半群exp(tA)定義的半流狀態(tài)空間Ω為正不變的。

引理2算子F在X上是Frechet連續(xù)可微的。

定理1?u0∈X+，存在最大區(qū)間 [0,t0)。在區(qū)間[0,t0)上方程(6)存在唯一的弱解u(t,u0)∈X+，且

2 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

代入到式(7)中得

(8)

(9)

(10)

其中θ(a)=δ(a)+γ1(a)+α(a)。 把式(9)代入到式(10),得

(11)

則得到如下特征方程:

(12)

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，定義系統(tǒng)(5)的基本再生數(shù)為R0=H(0)，即

(13)

關(guān)于無病平衡點(diǎn)P0(1,0,0)的局部穩(wěn)定性，有如下結(jié)論:

定理2在假設(shè)1的條件下，當(dāng)R0<1時P0(1,0,0)局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時P0(1,0,0)不穩(wěn)定。

證明易知H(ρ)是連續(xù)、單調(diào)遞減的函數(shù)，且

因此特征方程(12)有唯一的實根ρ*。若R0=H(0)>1，則ρ*>0，因此P0不穩(wěn)定。

若R0=H(0)<1，則ρ*<0。令ρ=u+iv為方程(12)的任意根。因為Re(eρ)≤exp(Reρ),由方程(12)得

1=|H(u+iv)|≤H(u)

則Reρ=u≤ρ*<0，因此P0(1,0,0)局部漸近穩(wěn)定。

事實上，手足口病引起的死亡率比較小。例如，根據(jù)山東省2009年4月到2011年10月的數(shù)據(jù)顯示，因病死亡率為1.6×10-4。因此，給出另一個假設(shè)。

假設(shè)2假設(shè)手足口病的因病死亡率為零，即α=0。

在假設(shè)1和假設(shè)2的條件下，關(guān)于無病平衡點(diǎn)P0(1,0,0)，可以得到進(jìn)一步的結(jié)論:

定理3如果假設(shè)1和假設(shè)2成立，則當(dāng)R0<1時無病平衡點(diǎn)P0(1,0,0)全局漸近穩(wěn)定。

L(t,a)≤k(a)V(t)

(14)

對系統(tǒng)(5)沿特征線積分,得

(15)

(16)

(17)

把式(16)代入式(17),得

(18)

由式(14)和式(18),得

(19)

令

對式(19)兩邊取上極限，由Fatou引理得

(20)

定義常數(shù)C為

(21)

式(20)可以表示為

W(a)≤k(a)C

則由式(21)得

CR0

因此,當(dāng)R0<1時C=0，則

因此,由式(16)和式(18)得

3 地方病平衡態(tài)的存在性與穩(wěn)定性

定理4如果假設(shè)1和2成立,則當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(5)存在唯一的地方病平衡態(tài)P*(s*(a),e*(a),i*(a));當(dāng)R0≤1時，系統(tǒng)(5)不存在地方病平衡態(tài)。

證明令P*(s*(a),e*(a),i*(a))為地方病平衡態(tài)，則有

(22)

(23)

把式(23)代入到式(24)中,得

(26)

把式(26)代入到式(25)中,得

把i*(a)代入到Λ*的表達(dá)式中,得

即

(27)

把式(27)的右端記為G(Λ*)，則G(Λ*)是一個連續(xù)遞減的函數(shù)且G(0)=R0。對于Λ*>0，當(dāng)Λ*→∞時，

則得到如下線性系統(tǒng)：

(28)

初始條件為

其中

(29)

(30)

初始條件為s(0)=e(0)=i(0)=0。

由式(29)知，系統(tǒng)(30)的解滿足以下方程

(31)

由式(30)知

把式(32)帶入到式(33)中,得

(35)

把式(35)代入到式(34)得

則有

(36)

定理5如果假設(shè)1和假設(shè)2成立，則有以下結(jié)論:

1) 當(dāng)l→+∞時，Θ(l)→0;

2)Θ(0)<1。

證明由式(36)知結(jié)論1)成立。令l=0，得

(37)

方程(27)意味著式(37)中的第一個積分等于1，因此Θ(0)<1。定理5得證。

因為

而且

則有

進(jìn)一步可以得到

因此

假設(shè)?0≤x≤η≤a≤a+，下面的不等式成立:

ω(y)dy≥0

(38)

定理6如果假設(shè)1，假設(shè)2和不等式(38)成立，則當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(5)有唯一的地方病平衡態(tài)P*(s*(a),e*(a),i*(a))，且P*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明如果不等式(38)成立，則Θ(l)≥0且Θ(l)關(guān)于l是單調(diào)減少的。結(jié)合定理5知，Θ(l)=1有唯一的負(fù)實根。類似于對式(12)的討論，可知Θ(l)=1所有的復(fù)根的實部都小于或等于這個唯一的實根。因此，P*是局部漸近穩(wěn)定的。

4 結(jié) 語

手足口病是一種傳染性極強(qiáng)的疾病，兒童和成年人均可以感染。手足口病的傳播與宿主年齡有很大的關(guān)系。因此，為了使模型更加具有實際意義，本文在模型中考慮了宿主的年齡結(jié)構(gòu)，分析得到了模型的基本再生數(shù)，討論了無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性和地方病平衡態(tài)的局部穩(wěn)定性。具有年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型的地方病平衡態(tài)的穩(wěn)定性分析是一個困難的問題。在本文中僅僅給出了地方病平衡態(tài)局部穩(wěn)定的充分條件，其全局穩(wěn)定性的證明需要進(jìn)一步研究。本文所得到的結(jié)果對手足口病的控制和預(yù)防具有一定的指導(dǎo)意義。