美國線性代數(shù)課程教學研究與啟示

張 莉

（北京聯(lián)合大學數(shù)理部，北京 100101）

線性代數(shù)課程是國內(nèi)外高等院校中非常重要的一門基礎(chǔ)課， 它也是大多數(shù)研究生入學考試的一門必考科目。本課程不僅能夠培養(yǎng)學生的抽象思維能力，而且能夠培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。 在20 世紀后期，計算機技術(shù)的高速發(fā)展，推動了工程、技術(shù)、經(jīng)濟、管理等領(lǐng)域問題的解決。 其中大部分問題的解決需要廣大的技術(shù)人員能夠運用計算機解決代數(shù)問題。因此，學好這門課程能夠讓學生將理論應(yīng)用于實踐， 解決社會生產(chǎn)和日常生活中的問題。近年來，隨著高等教育的發(fā)展以及科技的進步， 如何提高線性代數(shù)課程的教學水平與教學效率成為國內(nèi)外學者非常關(guān)心的話題。

美國的數(shù)學教育一直處在改革之中。 1989 年，美國國家研究委員會發(fā)表了《休戚與共——關(guān)于數(shù)學教育失敗向全國所作的報告》。 文中提出對數(shù)學課程必須做重大的改革。 報告指出，數(shù)學教學應(yīng)強調(diào)數(shù)學問題解決，使學生達到能從日常生活中和數(shù)學內(nèi)部找到數(shù)學問題， 能發(fā)展和應(yīng)用各種策略去解決各種問題。1990 年，美國線性代數(shù)大綱研究組對線性代數(shù)的課程大綱與教學提出了五條改革建議。 其要點是：（1）首先要滿足非數(shù)學專業(yè)面向應(yīng)用的需要；（2）要強調(diào)以矩陣運算為基礎(chǔ)；（3）要從學生的水平和需求出發(fā)；（4）要采用最新的軟件工具。 這四條都是為了提高課程的實用性，降低其抽象性，以利于它的“大眾化”。 為了適應(yīng)少數(shù)人學高深代數(shù)理論的需求，加了第五條：（5）對想要數(shù)學學位的學生應(yīng)另開一門高年級課程，以提高其抽象性。 這些建議在美國的線性代數(shù)學界得到了廣泛的支持。 接下來，美國又開展了ATLAST 計劃，對教師進行數(shù)學軟件的培訓。 近幾十年來，美國學者對線性代數(shù)課程的教學過程進行了大量的研究。

2015 年秋，筆者前往美國亞利桑那州立大學做了為期一年的訪問學習。 亞利桑那州立大學于1885 年成立，是美國著名的公立大學，被卡內(nèi)基高等院校分類標準歸類為“高研究活動研究型大學”。 該高校設(shè)有22 個學院， 其本科教育為普及教育，2016 年及2017年， 該校連續(xù)兩年被U.S.News & World Report 評為美國最具創(chuàng)新力大學。 通過近距離接觸美國線性代數(shù)課程的教學，并與授課教師進行交流探討，筆者覺得其中有很多地方值得我們學習與借鑒。

1 美國線性代數(shù)課程的教學特點

亞利桑那州立大學一方面注重入職教師教學能力的提升，另一方面，也重視教師的培訓工作。 培訓內(nèi)容涉及認知心理，高等教育等方面。 在上課之前，學校會對任課教師進行教學方法，教學內(nèi)容，教學大綱，教學計劃，有效的課堂管理等方面的培訓。 這樣，教師的教學能力能夠得到很大的提升。 教師在上課前會把課件，作業(yè)等都上傳到個人的網(wǎng)絡(luò)平臺，每位同學都可以登錄任課教師的平臺下載所需材料。 在亞利桑那州立大學，教授線性代數(shù)這門課程的教師師資力量比較雄厚， 而且部分教師的研究方向涉及線性代數(shù)的應(yīng)用。 這樣，在教學中，教師可以與自己的研究方向相結(jié)合，與同學們的專業(yè)，線性代數(shù)的應(yīng)用相結(jié)合進行講授，而不只是教授書本內(nèi)容，既體現(xiàn)了線性代數(shù)的應(yīng)用價值又增強了學生的學習興趣。

在亞利桑那州立大學，通常情況下，三個學期（春季、夏季、秋季）都開設(shè)有線性代數(shù)課程。 線性代數(shù)作為入門級的課程，一般側(cè)重于概念，計算和應(yīng)用，證明不多。 具體開設(shè)的課程類型有：線性代數(shù)基礎(chǔ)、線性代數(shù)、線性代數(shù)的應(yīng)用、工程中的線性代數(shù)等以及一些實驗課。 課程不同，學分不同，授課的側(cè)重點也不同。在進行理論學習的同時，同學們也學習怎樣運用數(shù)學軟件解決實際問題。 由于開設(shè)課程多樣化，時間也比較靈活，同學們有較大的自主選擇的空間。

教學時，教師根據(jù)David C.Lay 主編的教材《線性代數(shù)及其應(yīng)用》以及所教授學生的專業(yè)特點和學習特點來定自己的教學內(nèi)容。 這本教材著重培養(yǎng)學生運用線性代數(shù)理論解決實際問題的能力，要求學生理解和掌握基本算法， 但不提倡將更多的精力花在計算上。包含豐富的應(yīng)用案例，取材廣泛，這有助于加強與專業(yè)課程的聯(lián)系。

在教學的第一次課， 任課教師會進行自我介紹，內(nèi)容包括聯(lián)系方式、辦公地點、個人網(wǎng)頁。 有的教師也會介紹個人經(jīng)歷、家庭、愛好等。 然后再介紹這門課本學期會進行哪些方面的學習、作業(yè)、講義的下載地址，對課堂的要求、考核要求、在課堂上對學生的要求等。

在課堂上，學生可以隨時對知識點提問，或者提出自己的見解。 任課教師鼓勵學生主動解決問題，學生在學習中具有很大的主動性。 由于線性代數(shù)課程在數(shù)值計算上具有很大的應(yīng)用性，有的學生會主動搜集數(shù)據(jù)，利用課堂上所學習的知識進行建模，并探究其規(guī)律，并將解決問題的方法和所得到的結(jié)論介紹給大家。 在教學中，教師更加注重線性代數(shù)課程知識與方法的應(yīng)用，大多數(shù)學生在以后的工作和生活中都能自如地運用線性代數(shù)知識。

2 美國線性代數(shù)課程的教學對國內(nèi)教學的一點啟示

通過親身接觸，筆者感覺到在線性代數(shù)這門比較抽象的學科教學上，美國教師的教學，有許多值得我們學習與借鑒的地方。

2.1 在教學中傳統(tǒng)教學方法與多媒體計算機相結(jié)合

在線性代數(shù)的課堂中，在講解邏輯性比較強的定理、推論時，采用傳統(tǒng)的，嚴謹?shù)慕虒W方法，如通過板書一步一步地講解， 能夠讓同學們體會到數(shù)學的魅力，也有利于理解。 然后利用現(xiàn)代軟件工具幫助學生理解課堂知識點，熟悉其應(yīng)用。 比如，利用計算機演示直觀的線性代數(shù)問題與空間解析幾何問題等。 這樣，能夠使學生的學習主動性與嚴謹?shù)恼n堂講解結(jié)合起來，使課堂教學達到良好的教學效果。

2.2 根據(jù)學生專業(yè)、需求不同，采用分層次教學

線性代數(shù)課程的教學目的一般有三個層次：（1）基礎(chǔ)理論學習，通過基礎(chǔ)理論學習，掌握線性代數(shù)這門課程的基本概念，基本理論知識；（2）將數(shù)學軟件與此門課相結(jié)合，進行一些數(shù)學建模以及數(shù)值計算；（3）為進一步專業(yè)領(lǐng)域的知識學習打基礎(chǔ)， 將線性代數(shù)與專業(yè)相結(jié)合。 在教學中，充分考慮不同專業(yè)，不同層次的學生的基礎(chǔ)水平和專業(yè)需求，因材施教。整個線性代數(shù)課程的學習既重視理論知識的學習， 也要側(cè)重于所學知識和方法的應(yīng)用以及運用現(xiàn)代手段解決實際問題。

2.3 搭建并高效利用自主學習平臺

隨著網(wǎng)絡(luò)教育的發(fā)展，很多高校對于課程的資源實行網(wǎng)絡(luò)化。 一方面同學們可以在線進行課前預(yù)習，查閱資料，也可以進行模擬測試，課后復習，拓展知識等多項活動。 另一方面，教師可以在線答疑，跟蹤同學們的學習情況，隨時調(diào)整教學內(nèi)容與進度，節(jié)省了很多課堂時間。 同時，將平臺利用最佳化，為同學們更好、更充分地學習線性代數(shù)知識服務(wù)，在潛移默化中提高學生的自主學習能力。

2.4 課上精講與課下應(yīng)用相結(jié)合

錢學森曾經(jīng)指出“數(shù)學課不是為了學生學會自己去求解， 而是為了學生學會讓電子計算機去求解，學會理解電子計算機給出的答案，知其所以然”。 在課堂上，精講，既要講知識，也要講思想與方法，介紹用什么樣的方法解決問題。 在教學的過程中，加強知識的應(yīng)用介紹，提高同學們的興趣。 在課下，布置一些與專業(yè)知識，社會熱點等相關(guān)的應(yīng)用課題，以小組的形式進行研討， 既增加同學們的學習熱情與思考熱情，激發(fā)自主學習的主動性與積極性，提高教學效果，也提高了同學們的團隊合作能力。

3 結(jié)語

用線性代數(shù)方法解決實際問題已經(jīng)滲透到各個學科領(lǐng)域，線性代數(shù)課程的重要性日漸顯現(xiàn)。因此，在科技迅猛發(fā)展與經(jīng)濟全球化的今天， 吸取國外的先進經(jīng)驗，以培養(yǎng)高素質(zhì)新世紀人才，應(yīng)用型人才為目標對國內(nèi)的線性代數(shù)課程進行課程建設(shè)與課程改革尤為重要。