“指數(shù)函數(shù)”教材內(nèi)容的比較研究

易雪琴 陳火弟 劉倩

[摘 要] 本文選取人教A版與北師大版高中數(shù)學(xué)教材“指數(shù)函數(shù)”有關(guān)內(nèi)容，綜合運(yùn)用內(nèi)容分析法與難度模型法，從章節(jié)結(jié)構(gòu)編排、概念的呈現(xiàn)方式、基本思想與方法的挖掘、習(xí)題配置和編寫者意圖五個維度進(jìn)行比較研究，旨在以培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出合理化建議。

[關(guān)鍵詞] 人教A版;北師大版;指數(shù)函數(shù);對比分析

教材是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的教學(xué)用書，是教師課堂教學(xué)的依據(jù)，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展的范例。數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)資源。教材具有普適性，教師應(yīng)合理運(yùn)用教材進(jìn)行創(chuàng)造性教學(xué)，從而體現(xiàn)出教學(xué)的適宜性。隨著新一輪課程改革的深入，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下，越來越多的教學(xué)工作者把目光聚焦在對教材的研究上。

人教A版和北師大版教材是目前國內(nèi)使用范圍最廣、影響最大的兩版教科書。兩版教材的編寫各具特色，具有重要的研究價值。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一條主線，也是初等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。指數(shù)函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對高中函數(shù)概念的承接與深化，以及后續(xù)對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)有著承上啟下的重要作用。

本文以高中“指數(shù)函數(shù)”為例，研究對象分別為人教A版（數(shù)學(xué)必修一第二章第一節(jié)）和北師大版（數(shù)學(xué)必修一第三章前三節(jié)）教材。從教材的章節(jié)結(jié)構(gòu)編排、概念的呈現(xiàn)方式、基本思想與方法的挖掘、習(xí)題配置和編寫者意圖五個維度進(jìn)行比較研究，旨在以培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出合理化建議。

一、教材章節(jié)結(jié)構(gòu)編排的比較

首先，兩版教科書的章節(jié)標(biāo)題不同，人教A版為“基本初等函數(shù)（I）”，北師大版為“指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)”（冪函數(shù)被編入第二章）。

在人教A版教材中，指數(shù)函數(shù)內(nèi)容為48～61頁，占第二章內(nèi)容篇幅的38.9%。在北師大版教材中，指數(shù)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容為61～77頁和98～103頁，占第三章內(nèi)容篇幅的46%，占三個基本初等函數(shù)內(nèi)容總篇幅的37%（加上第二章冪函數(shù)內(nèi)容）。人教A版教材中，指數(shù)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容所占比例略高于北師大版。北師大版將指數(shù)函數(shù)內(nèi)容分為三個小節(jié)，而人教版則整合為一個章節(jié)。北師大版注重知識的模塊化，而人教版注重知識的遞進(jìn)。

雖然兩版教材在每個小節(jié)中都有“信息技術(shù)應(yīng)用”一欄，但北師大版運(yùn)用了現(xiàn)代化教學(xué)軟件，能更準(zhǔn)確地觀察函數(shù)的變化趨勢，強(qiáng)調(diào)了信息技術(shù)的運(yùn)用。

二、指數(shù)函數(shù)概念呈現(xiàn)方式的比較

通過分析指數(shù)函數(shù)概念的呈現(xiàn)方式，我們可以發(fā)現(xiàn)人教A版和北師大版教材存在以下異同點(diǎn)。

1.在引入指數(shù)函數(shù)前，兩版教材皆有對指數(shù)概念的擴(kuò)充以及運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)容的講解，但人教A版對根式及相關(guān)概念（如次方根、根指數(shù)、被開方數(shù)等）有較詳細(xì)的描述，北師大版則沒有提及。特別的是，北師大版在該章第一節(jié)安排了對正整數(shù)指數(shù)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

2.在引入指數(shù)函數(shù)概念時，人教A版通過之前學(xué)習(xí)的兩個問題，應(yīng)用探究的方式，科學(xué)、合理地引入了指數(shù)函數(shù)，隨后自然地給出了兩個特殊的指數(shù)函數(shù)，而北師大版則直接給出指數(shù)函數(shù)的概念。

3.兩版教材皆在指數(shù)函數(shù)概念之后給出兩個特殊的指數(shù)函數(shù)，即y=2x和y=（[1/2]）x，為后續(xù)學(xué)習(xí)一般情況下指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)做準(zhǔn)備。在對這兩個特殊指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究過程中，人教A版“思考”一欄中提出：“函數(shù)y=2x的圖像與函數(shù)y=（[1/2]）x的圖像有什么關(guān)系？可否利用y=2x的圖像畫出y=（[1/2]）x的圖像？”著重探究了函數(shù)的對稱性;而北師大版則著重研究函數(shù)的基本性質(zhì)（如過定點(diǎn)、單調(diào)性、定義域、值域等），且把兩個特殊函數(shù)的對稱性編排在對指數(shù)函數(shù)概念的升華部分，更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。

4.在研究一般情況下的指數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)時，人教A版和北師大版都是通過畫出并觀察、分析若干底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)圖像而歸納出一般情況。不同的是，北師大版將函數(shù)y=2x與y=（[1/2]）x的圖像關(guān)系編排在這一部分，且將結(jié)論延伸到一般情況，另外還詳細(xì)描述了底數(shù)對指數(shù)函數(shù)的影響，而人教A版沒有提及。

5.在概念的應(yīng)用中，兩版教材都有用指數(shù)函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題和生活實(shí)際問題，但人教A版中提到：“形如y=kax（k∈R，a>0，且a≠1）的函數(shù)稱為指數(shù)型函數(shù)，這是非常有用的函數(shù)模型?！睆?qiáng)調(diào)了對數(shù)學(xué)建模概念的培養(yǎng)。

三、數(shù)學(xué)基本思想與方法的挖掘

由于兩版教材中指數(shù)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的篇幅較長，筆者在這一部分主要選取了指數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì)，詳見人教A版教材第63～68頁和北師大版教材第70～76頁，并以此為基礎(chǔ)展開深度挖掘。

四、習(xí)題配置的比較

人教A版教材總體題量不多，但每個知識點(diǎn)都有涉及。每節(jié)內(nèi)容后都設(shè)有練習(xí)題，章節(jié)結(jié)束后配有習(xí)題。習(xí)題分為A、B兩組，難度呈階梯式分布，由易到難，編排原則符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，具有科學(xué)性。A組題多為基礎(chǔ)題，難度較低，面對全體學(xué)生。B組題難度更高，對學(xué)生能力的考查也更深入。教師可以根據(jù)不同學(xué)生的特點(diǎn)，選擇適合學(xué)生的習(xí)題。

北師大教材總體題量較多，其中例題數(shù)量比習(xí)題數(shù)量少，習(xí)題的難度明顯高于例題，習(xí)題中出現(xiàn)了例題中沒有的題型。每一小節(jié)后都安排了練習(xí)題，每節(jié)結(jié)束和章節(jié)結(jié)束后都設(shè)有習(xí)題，習(xí)題安排緊密，對知識點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)考查。習(xí)題也分為A、B兩組，由易到難，安排合理。

為了更詳細(xì)地看出教材對習(xí)題配置的差異，筆者利用了難度模型法，從探究、背景、運(yùn)算、推理、知識含量五個維度及其相應(yīng)的等級水平，分析了習(xí)題配置的難易程度。其中，探究難度因素分為識記、理解和探究三個層次;背景難度因素分為無實(shí)際背景、個人生活背景、公共常識背景和科學(xué)背景;運(yùn)算難度因素分為無運(yùn)算、簡單符號運(yùn)算和復(fù)雜符號運(yùn)算;推理難度因素分為無推理、簡單推理和復(fù)雜推理;知識含量難度因素分為單個知識點(diǎn)、兩個知識點(diǎn)、三個知識點(diǎn)、四個及以上知識點(diǎn)。通過對難度因素的不同等級進(jìn)行賦值，筆者求出了加權(quán)平均值，繪制出的雷達(dá)圖如下：

總體上看，在指數(shù)函數(shù)章節(jié)，兩版教材都注重對學(xué)生運(yùn)算能力的考查，加權(quán)平均值接近2.5，而在背景維度上，兩版教材的加權(quán)平均值都較低。

人教A版的例題和習(xí)題在背景、運(yùn)算和知識含量上均高于北師大版，而北師大版在探究和推理上明顯高于人教A版。說明人教A版更注重對學(xué)生知識點(diǎn)的綜合掌握及對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，題目與學(xué)生的生活聯(lián)系得更加緊密，而北師大版則側(cè)重對學(xué)生邏輯推理和探究能力的培養(yǎng)。

五、編寫者意圖的比較

現(xiàn)行人教A版和北師大版教材均為課標(biāo)優(yōu)秀教材，因編寫者的側(cè)重點(diǎn)不同而表現(xiàn)出一定的差異性，彰顯了不同版本教材的特色。

人教A版?zhèn)戎赜谥R呈現(xiàn)過程的完整性。例如，在指數(shù)函數(shù)概念的引入中，教材利用兩個數(shù)學(xué)問題，引出指數(shù)函數(shù)的概念，一步步地引導(dǎo)學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)的概念，滲透數(shù)學(xué)的思維與方法。教材更貼近生活，強(qiáng)調(diào)了指數(shù)函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)理解，但題量偏少且難度不高。

北師大版?zhèn)戎嘏囵B(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性。教材的目錄非常詳細(xì)，復(fù)習(xí)時方便學(xué)生快速查閱。例如，教材詳細(xì)研究了底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)的影響，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

六、結(jié)語

教師、教材、學(xué)生是課堂教學(xué)的三大基本要素。教學(xué)內(nèi)容應(yīng)取自教材而不拘泥于教材，教師備課時要把握課標(biāo)基本理念與教學(xué)要求，不斷地吸取、借鑒不同教材中的優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，靈活使用教材，對不同版本的教材進(jìn)行再加工，合理地組織教學(xué)內(nèi)容，使其更好地促進(jìn)學(xué)生全面、有個性的發(fā)展。實(shí)現(xiàn)從“教教材”到“用教材教”的根本性轉(zhuǎn)變。

在引入指數(shù)函數(shù)概念時，北師大版教材可以借鑒人教A版中的引入方式，通過探究，得出指數(shù)函數(shù)的概念;或?qū)⑷私藺版教材中引入的部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，改編成一些生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生先將問題生活化，再反向推導(dǎo)數(shù)學(xué)概念，以幫助培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維（將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題、對數(shù)學(xué)概念的抽象概括）。同時，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，讓其感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。

兩版教材在指數(shù)函數(shù)章節(jié)中涉及數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容不多，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時，可以適當(dāng)?shù)卦黾佑嘘P(guān)數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，這樣既可以讓數(shù)學(xué)課堂不至于太枯燥，又能開拓學(xué)生的視野，還讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的文化價值和數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的魅力，發(fā)揮數(shù)學(xué)的德育功能，落實(shí)新時代“立德樹人”的要求。

[作者簡介] 易雪琴（1998—??? ），女，江西萍鄉(xiāng)人，東華理工大學(xué)在讀研究生，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)教育研究;陳火弟（1963—??? ），男，江西進(jìn)賢人，東華理工大學(xué)師范學(xué)院副教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論;劉倩（1997—??? ），女，江西吉安人，東華理工大學(xué)在讀研究生，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)教育研究。