深度研讀教材策略之二：再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程(3)

王貴平 李竹華

【導(dǎo)讀】

“認(rèn)識(shí)面積”是人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容。該內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了長方形和正方形的特征，并學(xué)習(xí)了長方形和正方形周長的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。小學(xué)生從學(xué)習(xí)長度到學(xué)習(xí)面積，是從一維到二維的一個(gè)跨度，是空間形式認(rèn)識(shí)發(fā)展上的一次飛躍。學(xué)好這部分內(nèi)容，有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積和立體圖形的體積計(jì)算打下基礎(chǔ)。來自昆明市盤龍區(qū)新迎第二小學(xué)的王貴平老師，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了面積概念形成的完整學(xué)習(xí)過程，再現(xiàn)了建構(gòu)主義在課堂教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。

【案例】

課堂實(shí)錄：

一、情境導(dǎo)入

師：爸爸假期帶明明去海邊玩，右邊這幅圖是他們留下的，你知道哪些是爸爸的腳印，哪些是明明的腳印？

……

（板書：認(rèn)識(shí)面積）

二、初步認(rèn)識(shí)面積

師：什么是面積呢？請(qǐng)看一下黑板的面和課桌的面，哪個(gè)面大，哪個(gè)面??？

……

師：（拿起數(shù)學(xué)書）請(qǐng)同學(xué)們看老師手中的數(shù)學(xué)書，誰來摸一摸它的封面。（學(xué)生踴躍上臺(tái)摸摸數(shù)學(xué)書的封面，也有的同學(xué)摸摸自己數(shù)學(xué)書的封面）

師：數(shù)學(xué)書封面的大小，就叫作它的面積。誰能像老師這樣說說嗎？

……

師：你能像這樣說說其他物體表面的面積嗎？

生1：黑板表面的大小就是黑板表面的面積。

生2：課桌面表面的大小就是課桌面的面積。

……

生3：我知道了，只要有面的物體都有面積，不管是平的面還是彎曲的面。

師：總結(jié)得真好，是個(gè)愛動(dòng)腦筋的孩子。所以物體表面的大小就是物體表面的面積。

三、進(jìn)一步認(rèn)識(shí)面積

師：（課件出示字典封面圖和茶葉罐圖）說一說老師標(biāo)記的這個(gè)面的面積。

……

師：這兩個(gè)圖形哪個(gè)大，哪個(gè)小？

……

師：判斷一下，這些圖形有面積嗎？如果有請(qǐng)你說一說它的面積;如果沒有，請(qǐng)你說說理由。

……

四、統(tǒng)一面積單位的必要性

（課件出示兩個(gè)長方形，一大一小）

師：這兩個(gè)長方形哪一個(gè)面積大？

……

師：? ? ? ? ? ? ?再看現(xiàn)在這組長方形呢？

……

師：這樣能比較出哪個(gè)長方形面積大嗎？

生1：不可以，重合在一起，還是都有剩余。

生2：我們小組想到的方法是把它們剩下的部分剪下來，再比較。

師演示：是這樣嗎？

（學(xué)生竊竊私語，可是剪開以后還是有剩余啊，還是沒有辦法知道哪個(gè)大，哪個(gè)小？）

師：當(dāng)然，如果我們像這樣一直剪下去，是可以比較出誰的面積大、誰的面積小的，但是……

生3：這樣太麻煩了！

……

師：你聽懂小精靈的話了嗎？如果選擇一種圖形作單位，這個(gè)圖形可以是什么形狀呢？

生1：我想選擇長方形。

生2：我想選擇三角形。

生3：我想選擇圓形。

生4：我想選擇正方形

……

師：老師為每個(gè)小組準(zhǔn)備了一些學(xué)具，四人小組合作完成。

……

師：（課件演示）不管選擇哪個(gè)圖形作單位，都能量出這兩個(gè)長方形的面積大小。在同學(xué)們選擇的這些圖形中，你認(rèn)為用哪個(gè)圖形作單位測(cè)量出來的面積最準(zhǔn)確，為什么？小組討論。

生1：我認(rèn)為用長方形和正方形好，因?yàn)樗鼈儧]有縫隙。其余兩種圖形都有縫隙。

師：像這樣能鋪滿，并且沒有縫隙，我們數(shù)學(xué)上叫作密鋪。

生2：我認(rèn)為用正方形更好一些，因?yàn)樗乃臈l邊都一樣長，不管怎么擺放都可以。

師：你真是個(gè)會(huì)思考的孩子，數(shù)學(xué)家們也和你想到一塊啦！因?yàn)檎叫尾粌H可以密鋪，而且不受擺放位置和方向的限制，所以國際上就是用規(guī)定大小的正方形作為面積的單位。

……

五、練習(xí)、鞏固對(duì)面積的認(rèn)識(shí)

1.下面兩幅圖的面積一樣嗎？請(qǐng)說明理由。

2.比較每組中的A、B兩個(gè)圖形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

……

3.分別在兩個(gè)相同的長方形A、B中挖去5個(gè)小正方形，它們剩下的面積是否相等，請(qǐng)說明理由。

……

4.涂色比賽。

師：下面兩幅圖，老師要涂上顏色，如果讓你選，你會(huì)選擇哪個(gè)圖形，為什么？

生（齊）：選圖形B。

……

師：那只能老師選圖形A了，這是圖形A、B對(duì)應(yīng)的涂色工具。

生1：我們上當(dāng)啦，用這個(gè)工具肯定是圖形A涂的快。

師追問：為什么？

……

六、小結(jié)

師：今天你有什么收獲？

……

師：在后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，我們也可以像今天這樣摸一摸、擺一擺，這樣感受才深刻。

【思考】

“認(rèn)識(shí)面積”是“面積”這個(gè)單元的“開門課”，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)面積的相關(guān)知識(shí)起著決定性的作用。面積的本質(zhì)就是物體表面或平面圖形內(nèi)部包含面積單位個(gè)數(shù)的多少，是另一種形式的“測(cè)量”。但是本節(jié)課不涉及標(biāo)準(zhǔn)的面積單位，怎樣幫助學(xué)生建立完整的面積概念？來自昆明市盤龍區(qū)新迎第二小學(xué)的王貴平老師，創(chuàng)設(shè)生活化的情境，帶領(lǐng)學(xué)生在動(dòng)手操作中充分感知，獲取鮮明的表象。在此基礎(chǔ)上，逐步抽象出“面積”的概念。王老師這節(jié)課，真實(shí)詮釋了本工作室“再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程”這一深度研讀教材的策略。具體體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：

1.利用直覺，初步感知。在導(dǎo)入部分通過比較明明和爸爸腳印的大小，讓學(xué)生初步感受比較的是“面”的大?。ò▓D形的“邊緣”和“內(nèi)部”），從直覺上感受到了面積和周長是不一樣的（周長只是圖形的“邊緣線”）。這種最粗淺的感知經(jīng)驗(yàn)，雖然不規(guī)范、很淺表，但對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步深入探索面積的本質(zhì)來說，是無法跨越的第一步。王老師乘勝追擊，介紹了面積的“文本定義”之后，讓學(xué)生比較數(shù)學(xué)書封面和側(cè)面的大小，再選擇身邊物品表面比較大小，把生硬的文字表述轉(zhuǎn)化為可見的觸摸感覺，讓生硬的文本定義變得觸手可及。

2.借助工具，觀察比較。在學(xué)生對(duì)物體表面可以憑直覺判斷面積大小之后，王老師把具體的物象逐步剝離，讓學(xué)生體會(huì)到物體表面在數(shù)學(xué)上其實(shí)就是一個(gè)封閉的平面（或曲面），這個(gè)面的大小就是封閉平面圖形的面積。當(dāng)我們無法用直覺觀察和重疊比較來判斷兩個(gè)封閉圖形面積大小的時(shí)候，該怎么辦呢？這時(shí)候我們就需要借助工具來進(jìn)行“精確”的測(cè)量。在測(cè)量過程中，充分尊重學(xué)生的個(gè)體差異，允許學(xué)生選擇自己喜歡的圖形作為標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行測(cè)量。然后在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)：用正方形作為面積測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，使用起來最方便。這個(gè)教學(xué)過程是艱辛的，但學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)卻是快樂的。借助“第三方”進(jìn)行評(píng)判，類似行為在人類社會(huì)事務(wù)中比較普遍，但小學(xué)生未必能夠理解。這樣的體驗(yàn)活動(dòng)，有助于學(xué)生在今后的認(rèn)知活動(dòng)中建立選擇事物“標(biāo)尺”的良好思維習(xí)慣。

3.異中求同，切入本質(zhì)。通過前兩個(gè)板塊的學(xué)習(xí)，可以說學(xué)生已經(jīng)和“面積”零距離“對(duì)接”了。但學(xué)生是否真正掌握了面積這一概念，需要讓他們“把學(xué)到的知識(shí)在新的情境中進(jìn)行辨認(rèn)、再現(xiàn)和應(yīng)用”。所以王老師設(shè)計(jì)了三組變式題，讓學(xué)生在比較面積大小的過程中，更加深入地理解面積的本質(zhì)——只與這個(gè)圖形內(nèi)部所包含面積“標(biāo)準(zhǔn)”的個(gè)數(shù)有關(guān)，與整個(gè)圖形的“長相”無關(guān)。通過這樣的辨析練習(xí)，讓學(xué)生在“異中求同”的思維過程中，對(duì)面積概念的本質(zhì)理解得更加透徹。

4.回歸生活，解釋應(yīng)用?！白寯?shù)學(xué)回歸生活，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問題，凸顯數(shù)學(xué)的工具實(shí)用價(jià)值?！边@是新課標(biāo)倡導(dǎo)的課改方向。王老師巧妙設(shè)計(jì)了一個(gè)生活問題：給面積不同的A、B兩個(gè)圖形涂色，你會(huì)選擇哪一個(gè)？為什么？學(xué)生在定式思維影響下，都選擇了面積比較小的圖形B。當(dāng)老師給出涂色工具之后，學(xué)生們都大呼“上當(dāng)”啦。當(dāng)老師追問為什么圖形A涂起來比較快時(shí)，學(xué)生一開始是用生活經(jīng)驗(yàn)來回答“因?yàn)樗⒆颖容^大”。當(dāng)老師進(jìn)一步追問時(shí)，學(xué)生終于明白了：涂色工具大也就是每一筆涂過的面積更大。這樣柳暗花明、峰回路轉(zhuǎn)的變式練習(xí)，不僅讓學(xué)生們興致盎然，同時(shí)也對(duì)面積概念的本質(zhì)理解更加深入了。

“讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的完整過程”不僅僅是寫在課標(biāo)中的一句話，更要成為一線教師課堂教學(xué)中實(shí)實(shí)在在的行動(dòng)。