深度研讀教材策略之二：再現(xiàn)數(shù)學知識的形成過程(1)

張強 馬騰飛

【導(dǎo)讀】

“雞兔同籠”在各版本教材中出現(xiàn)在了不同的年級：2006年人教版數(shù)學教材中，該內(nèi)容出現(xiàn)在六年級上冊，側(cè)重讓學生學會利用方程解稍復(fù)雜的實際問題。2009年浙教版教材中，該內(nèi)容出現(xiàn)在三年級下冊，側(cè)重讓學生利用畫圖的方法解決問題。2013年教育部審定版教材中，該內(nèi)容出現(xiàn)在四年級下冊，側(cè)重培養(yǎng)學生利用假設(shè)法這一重要數(shù)學思想方法解決實際問題。

本案例中，來自昆明市盤龍區(qū)拓東第一小學的張強老師，在周佳泉老師的悉心指導(dǎo)下，大膽嘗試用假設(shè)法指導(dǎo)學生自主探究，力求完整演繹學生發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問題數(shù)學本質(zhì)的過程。沒有方程的“加持”，學生能順利“通關(guān)”嗎？讓我們拭目以待：

【案例】

課堂實錄：

一、開門見山，引出課題

1.先出示雞和兔的圖片。

師：雞有幾只腳？兔有幾只腳？

2.再出示課本第104頁例1，請學生讀題，說一說題目的意思。

師：這道問題和以前我們學過的問題有什么不一樣的地方。

……

二、化繁為簡，主動探究

（一）降低起點，初步感知

師：雞兔同籠，有8個頭，有26只腳。雞和兔各有幾只？

（師帶領(lǐng)學生梳理數(shù)學信息和問題并板書）

師：猜一猜有幾只雞，幾只兔？

（短暫的寧靜之后……）

生1：我猜可能有1只雞和7只兔。

……

師：大家猜測的這些情況，都是把兩種動物的頭數(shù)猜對了。但是腳的只數(shù)對不對呢？該怎么驗證？

……

師：我們可以用表格記錄出大家猜測的情況，再計算出腳的總只數(shù)，判斷一下對不對。（出示下表，學生填寫并判斷）。

師：現(xiàn)在找到正確結(jié)果了嗎？

生（齊）：找到了，是3只雞，5只兔。

（二）觀察變化，感受趨勢

師：請仔細看大家填寫的表格：從左往右看，有什么變化規(guī)律？

生1：雞的只數(shù)變多，兔的只數(shù)變少，腳的只數(shù)在逐漸減少。

師：為什么腳的總數(shù)在減少呢？

生2：因為兔減少了，雞增多了。

生3：兔“換成”雞以后，腳的總數(shù)“損失”了。

師：說得真好！那么從右往左看呢？

……

師：是的，總數(shù)一定的時候，雞增加了兔就減少，雞減少了兔就增加。在雞兔“互換”的過程中，把雞換成兔腳的只數(shù)就會增加，把兔子換成雞腳的只數(shù)就會減少。

（三）深入研究，理解規(guī)律

師：如果我們一來就采取“對半”猜的方法，假設(shè)是有4只雞和4只兔子。腳的總只數(shù)和題目有什么矛盾呢？

生1：腳的總只數(shù)少了2只。

師：這時我們應(yīng)該增加什么？減少什么？

……

師：增加一只兔應(yīng)該增加4只腳才對呀！怎么只增加了兩只腳呢？

生2：因為你這里進來了1只兔，增加了4只腳，可是又出去了1只雞，又減少了2只腳，就相當于只增加了2只腳。

……

師：我們發(fā)現(xiàn)：把一只雞換成一只兔，腳的只數(shù)就增加2只;反過來，當我們把一只兔換成一只雞的時候，腳的總只數(shù)就會減少2只。當我們的猜測與實際不符合的時候，就可以根據(jù)腳的多少來判斷是哪種動物猜多了（或是猜少了），應(yīng)該怎么調(diào)整。

（師帶領(lǐng)學生繼續(xù)觀察其他各列情況，找到調(diào)整方法）

……

（四）簡化思路，建立模型

師：能不能一來就假設(shè)全部是雞呢？

生1：不可以。因為題目中說了既有雞又有兔，這樣假設(shè)是不對的。

生2：也可以的，根據(jù)假設(shè)來判斷腳的只數(shù)不對，再調(diào)整。

師（問生1）：你同意他的說法嗎？

生1（想了想）：同意。

師：按照第二位同學的說法，我們假設(shè)全部是雞，腳的總數(shù)肯定會怎么樣？

……

師：我們可以用畫圖的方法來解決。

（師示范簡筆畫，學生模仿）

我們可以用這樣的方式就表示了8只雞，現(xiàn)在一共有幾只腳了？

生（齊）：16只。

師：與真實的腳數(shù)相比，還差幾只？

生（齊）：還差10只。

師：那就需要“變”出幾只兔子來？

……

師：是這樣嗎？我們來畫畫試試。

（師示范畫第一只雞“變”兔，學生模仿并完成）

師：誰來說說剛才的思路？

生：……

師：能用算式表示嗎？

（邊回顧思考過程，邊用算式表示）

師：假設(shè)全部是兔子可以嗎？

生（齊）：可以?。◣煄ьI(lǐng)學生一起解答）

方法一：假設(shè)全是雞

腳：8×2=16（只）

矛盾? 總腳數(shù)相差：26-16=10（只）

雞與兔腳數(shù)差：4-2=2（只）

調(diào)整? 雞換成兔：10÷2=5（只）

雞還剩：8-5=3（只）

驗證：3×2+5×4=26（只）

解決問題? ?答：雞有3只，兔有5只。

方法二：假設(shè)全是兔

腳：8×4=32（只）

矛盾? 總腳數(shù)相差：32-26=6（只）

雞與兔腳數(shù)差：4-2=2（只）

調(diào)整? 兔換成雞：6÷2=3（只）

兔還剩：8-3=5（只）

驗證：4×5+2×3=26（只）

解決問題? ?答：雞有3只，兔有5只。

三、鞏固拓展，靈活運用

師：在現(xiàn)實生活中，會有人真的把兔子和雞關(guān)在同一個籠子里邊嗎？

生（齊）：不會！

師：是的，“雞兔同籠”問題其實是研究兩個互相影響的數(shù)量的變化問題。

其實在我們的生活中，這樣的問題還真不少呢。（課件出示題目）

“好又來”早點鋪的大碗米線每碗10元，小碗米線每碗8元。星期六早上才10分鐘的時間，就賣出了20碗米線，收入176元。其中有幾碗大碗米線和幾碗小碗米線？

（學生獨立完成，然后組織訂正）

四、整體回顧，提煉升華

今天，我們通過“大膽假設(shè)——發(fā)現(xiàn)矛盾——調(diào)整假設(shè)——解決問題”四個步驟，成功地解決了“雞兔同籠”問題。

【思考】

本節(jié)課，是昆明市盤龍區(qū)周佳泉小學數(shù)學名師工作室的全體成員，在周老師指導(dǎo)下進行深度研讀教材、集體備課形成的集體智慧結(jié)晶，最后由盤龍區(qū)拓東第一小學的張強老師執(zhí)教演繹。

這節(jié)課最顯著的特點是讓學生經(jīng)歷了知識形成的完整過程，在充分感知的基礎(chǔ)上逐步抽象、歸納，建立數(shù)學模型?！按竽懠僭O(shè)—發(fā)現(xiàn)矛盾—調(diào)整假設(shè)—解決問題”的思維形成過程連貫、完整，具體表現(xiàn)在以下四個方面：

1.從不知所措到若有所悟?！半u兔同籠”問題是我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中的經(jīng)典問題，它以“雞兔同籠”事件為載體，研究互相影響的兩個變量之間的關(guān)系。對于小學生來說，第一次面對兩個不確定的數(shù)量（并且互相影響），要在同一個問題里求出兩個未知量，思維難度是極大的。所以當老師提問“你猜會有幾只雞？幾只兔？”的時候，全班出現(xiàn)了短暫的“寧靜”。當?shù)谝粋€學生的發(fā)言打破沉默之后，學生們紛紛回過神來——一共有8個頭，說明雞和兔的總數(shù)量是8，假設(shè)一部分是雞，另一部分就是兔——這不就是一年級學的“8的分與合”嗎？到這里，學生邁出了通向成功的第一步。

2.從有限窮舉到發(fā)現(xiàn)規(guī)律。只是猜對了頭數(shù)還不行，腳的只數(shù)也要湊足。在教師提供表格的幫助下，學生通過計算驗證自己的猜想。雖然幾分鐘過后，大部分學生都能猜出正確的答案，但是這種有限窮舉的方法其思維水平是較低的。怎樣引導(dǎo)孩子從低階思維向高階思維發(fā)展？這是本節(jié)課教師所要面對的一大難題。在教師的引導(dǎo)下，學生觀察表格中的數(shù)字變化發(fā)現(xiàn)了三個重要規(guī)律：一是兔和雞的只數(shù)此消彼長——因為總數(shù)不變，雞的只數(shù)增加了，兔的只數(shù)必然就減少，反之亦然;二是兔數(shù)量增加的時候，腳的總只數(shù)增加，兔數(shù)量減少的時候，腳的總只數(shù)就減少;三是把雞換成兔子，每換一次就增加2只腳，反之則每次減少2只腳。發(fā)現(xiàn)了這三個重要規(guī)律，就為后面“發(fā)現(xiàn)矛盾—調(diào)整假設(shè)”的戰(zhàn)略實施提供了堅實的思想基礎(chǔ)。

3.從表面現(xiàn)象到內(nèi)部本質(zhì)。如果用代數(shù)思維來表達本課中“雞兔同籠”問題的本質(zhì)，其問題結(jié)構(gòu)可以如下圖所示：

設(shè)其中一個量為x，另一個量就為（8-x），代入上式就能列一元一次方程解答;設(shè)其中一個量為x，另一個量為y，根據(jù)題意，就能列二元一次方程組解答。但是四年級的學生還沒有接觸過方程，顯然只能依靠算術(shù)思維來解決這個問題。這時候“極端”假設(shè)就應(yīng)運而生，浮出水面——我們能否假設(shè)全部是雞呢？明知假設(shè)不對，仍然“姑且信之”，隨后果然“發(fā)現(xiàn)矛盾”，必然“調(diào)整假設(shè)”，最終“解決問題”。這四步走下來，可謂是大刀闊斧、酣暢淋漓。四年級的學生何嘗經(jīng)歷過這樣的陣仗？但是依托畫圖、“復(fù)盤”、算式表達等形式，大部分學生在思維水平上得到了質(zhì)的飛躍——原來看似不確定的復(fù)雜問題，可以先大膽假設(shè)，然后根據(jù)矛盾進行調(diào)整就能解決問題。這就是這節(jié)課的數(shù)學模型，也是這節(jié)課的核心價值所在。

4.從經(jīng)典趣題到生活實際。小學生的思維特點是以具體形象思維為主。因此，大部分的數(shù)學問題都應(yīng)該以小學生所熟悉的生活事件作為載體來呈現(xiàn)?！半u兔同籠”問題也不例外，它是以“雞和兔關(guān)在同一個籠子里”這樣形象生動的比喻，來承載兩個變量互相影響的數(shù)量關(guān)系，絕非某些藝術(shù)家諷刺的“只有發(fā)神經(jīng)的人才會把雞和兔關(guān)在一個籠子里”。既然“雞兔同籠”只是一個問題載體，那么這類問題在生活中必然有它的原型。本案例中，張強老師用學生熟知的“大碗米線”和“小碗米線”的價錢問題，讓學生把“雞兔同籠”的問題框架回歸現(xiàn)實，讓學生深切地體會到“雞兔同籠”問題是真實存在于現(xiàn)實生活中的。用所學數(shù)學知識解決現(xiàn)實生活問題，凸顯數(shù)學的工具性與實用價值，這也是新課標所倡導(dǎo)的課改方向。

學生的數(shù)學思維發(fā)展是一個從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜、從現(xiàn)象到本質(zhì)的漸變過程。面對以思維訓練為主的教學內(nèi)容，我們只有讓學生經(jīng)歷思維發(fā)展的完整過程，亦即知識形成的完整過程，才能讓學生的思維發(fā)展步步落實，最終攀上頂峰。