《圓錐曲線與方程》教學(xué)探究

沈瑜

[摘 要]《圓錐曲線與方程》是解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的命題重點(diǎn).其教學(xué)策略有：?jiǎn)栴}引領(lǐng)，激發(fā)興趣;抓住重點(diǎn)，明確目標(biāo);優(yōu)化算法，提升能力.

[關(guān)鍵詞]圓錐曲線;方程;教學(xué)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）14-0011-02

《圓錐曲線與方程》是解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的命題重點(diǎn).與《直線和圓的方程》相比，它的計(jì)算量與難度直線上升.那么，教師如何從教材和學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，抓住重點(diǎn)，開展有效的教學(xué)活動(dòng)？本文結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)際談幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)，供同仁參考.

一、問題引領(lǐng)，激發(fā)興趣

在《圓錐曲線方程》的起始課上，教師可以讓學(xué)生思考下面三個(gè)有趣的問題.

問題1： 據(jù)報(bào)道，1997年1月，地處南京紫金山天文臺(tái)發(fā)布了一個(gè)關(guān)于天體運(yùn)動(dòng)的消息，從那年2月起，一顆名為海爾·波普的彗星將慢慢靠近地球，而過了4月后，它又將漸漸遠(yuǎn)離地球.專家預(yù)測(cè)三千年后，這顆彗星還會(huì)與地球擦肩而過.那年的2月至3月期間，許多人有幸目睹了這個(gè)三千年一遇的天文奇觀.同學(xué)們，你知道天文學(xué)家是如何預(yù)測(cè)的嗎？

問題2：給你圖釘、筆和拉鏈，請(qǐng)你將拉鏈拉開一部分，在拉開的兩邊上各選取一點(diǎn)，分別固定在[F1]、[F2]上，[F1]到[F2]的長(zhǎng)為[2a（a>0）].把筆尖放在[M]處，隨著拉鏈逐漸拉開或閉攏，筆尖就畫出一條曲線，畫出來的這條曲線叫什么？

問題3：?jiǎn)痰?，?guó)際籃球巨星.38歲時(shí)復(fù)出，神勇不減當(dāng)年.當(dāng)全場(chǎng)比賽只剩最后一秒的那個(gè)瞬間，華盛頓奇才仍落后于紐約尼克斯于2分，關(guān)鍵時(shí)刻，巨星在三分線外出手了！（此時(shí)喬丹與籃框中心在地面的投影相距6.25米）已知籃球的飛行軌跡是拋物線，喬丹出手高度為2.37米，籃框的高度為3.05米，籃球在飛行了4米（水平距離）后達(dá)到最高3.37米（如圖1），喬丹此次能否力挽狂瀾呢？

上面三個(gè)問題，或許學(xué)生現(xiàn)在無法回答，但教師可以告訴學(xué)生：等學(xué)完了本章內(nèi)容后，相信同學(xué)們一定會(huì)回答出來.其實(shí)，這里我要告訴大家的是上述三個(gè)問題分別對(duì)應(yīng)三種曲線：橢圓、雙曲線和拋物線，它們統(tǒng)稱為圓錐曲線.隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，圓錐曲線的知識(shí)和解析幾何的思想方法越來越得到社會(huì)的重視.今天，在學(xué)習(xí)平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，我們將學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線和拋物線的方程和幾何性質(zhì)，再次感受幾何問題代數(shù)化的神奇與美妙，感受方程思想和數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的魅力.

二、抓住重點(diǎn)，明確目標(biāo)

作為教師，必須抓住教學(xué)重點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).那么本章教學(xué)中教師應(yīng)抓住哪些重點(diǎn)呢？

1. 要教會(huì)學(xué)生把握?qǐng)A錐曲線定義

圓錐曲線有個(gè)統(tǒng)一定義，我們?nèi)绾卫斫饨y(tǒng)一定義中體現(xiàn)的橢圓、雙曲線和拋物線的共同特征？書本知識(shí)是前人的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，只有自己真正理解了才能內(nèi)化為自己的知識(shí)，才能在解題時(shí)做到應(yīng)用自如.圓錐曲線是平面解析幾何的重要內(nèi)容，透徹地理解圓錐曲線定義對(duì)本章的學(xué)習(xí)非常重要.

點(diǎn)評(píng)：求曲線的方程首先要研究曲線上動(dòng)點(diǎn)的幾何特征，抓住特征、揭示內(nèi)涵，特別注意橢圓軌跡定義的應(yīng)用.

2.要教會(huì)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想分析問題

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚有首膾炙人口的七言詩(shī)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.” 這首詩(shī)告訴了我們“數(shù)”與“形”各自的特點(diǎn)和不足，從而強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合的重要性. 因此在解析幾何的學(xué)習(xí)過程中，我們始終都要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和方法去分析問題、解決問題.

點(diǎn)評(píng)：解法一注重代數(shù)運(yùn)算，解題過程十分煩瑣，而解法二注重拋物線的定義和圖形的幾何性質(zhì)，解題過程簡(jiǎn)潔明了.

3. 要讓學(xué)生通過聯(lián)想與類比發(fā)現(xiàn)問題

在學(xué)完了圓錐曲線后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生站在一定的高度整體地看圓錐曲線，看看它們的共同點(diǎn)，探探它們的不同點(diǎn)，運(yùn)用類比與推理的手段，發(fā)現(xiàn)它們相似卻不完全一樣的有關(guān)性質(zhì).

所以（1）、（2）兩式就是橢圓、雙曲線與圓類似的結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：通過探究，讓學(xué)生知道，這一結(jié)論是有“心”二次曲線的“共同特征”.而拋物線沒有中心，所以它沒有這種類似的結(jié)論.

在圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間相互類比，是理解圓錐曲線的重要方法.例如，從命題“以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與拋物線的準(zhǔn)線相切”出發(fā)，我們可以類比出下面“驚人相似”的兩個(gè)命題：1.以橢圓焦半徑為直徑的圓一定與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切;2.以雙曲線焦半徑為直徑的圓一定與以實(shí)軸為直徑的圓相切.

三、優(yōu)化算法，提升能力

學(xué)習(xí)《圓錐曲線與方程》的終極目標(biāo)是提高學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).我們時(shí)常會(huì)發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題雖然能說出解決問題的辦法，卻算不出結(jié)果來.其根本原因就在于選擇方法不當(dāng)或計(jì)算不過關(guān).因此，在教學(xué)中，我們不僅要培養(yǎng)運(yùn)算能力，還要重視滲透算法的意識(shí)，如設(shè)而不求的應(yīng)用、點(diǎn)差法的應(yīng)用、如何處理定點(diǎn)定值問題、如何處理最值與取值范圍問題等，以提升學(xué)生的分析問題與解決問題的能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）