《特征值與特征向量》教學(xué)實(shí)錄及反思

郭建峰

[摘? ?要]通過《特征值與特征向量》教學(xué)的研究及反思，得到幾點(diǎn)啟示：創(chuàng)設(shè)合理的問題情境是課堂教學(xué)的基礎(chǔ)，重視數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)是課堂教學(xué)的核心，恰當(dāng)?shù)厥褂媒虒W(xué)媒體是課堂教學(xué)的保障.

[關(guān)鍵詞]特征值;特征向量;教學(xué)實(shí)錄;反思

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0027-02

[教材分析]《特征值與特征向量》是蘇教版高中數(shù)學(xué)選修4-2《矩陣與變換》的內(nèi)容.利用二階矩陣[M]的特征值、特征向量給出[Mnα]簡單的表示，了解它的幾何意義，知道它的簡單應(yīng)用，并為下一節(jié)中種群問題的研究做好鋪墊.

[學(xué)情分析]學(xué)生已掌握伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變等初等變換及其對應(yīng)的初等變換矩陣;知道矩陣乘法的幾何意義即是平面變換的復(fù)合.當(dāng)連續(xù)對向量實(shí)施[n（n>1， n∈N?）]次變換時(shí)，能通過矩陣對向量的多次乘法得到變換后的向量或通過幾何直觀得到初等變換矩陣對向量多次變換所得向量.

[教學(xué)目標(biāo)]

（1）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義;

（2）會求二階矩陣的特征值與特征向量;

（3）利用二階矩陣[M]的特征值、特征向量給出[Mnα]簡單的表示.

[教學(xué)重點(diǎn)]特征值、特征向量的概念及其應(yīng)用.

[教學(xué)難點(diǎn)]特征值、特征向量的概念.

[教學(xué)過程]

一、概念教學(xué)

情境： 已知[M=10012]，[β=17]，試計(jì)算[Mβ]，[M2β]，[M3β].

學(xué)生很快得到以下答案：

[Mβ=122117=159]，[M2β=1221159=3339]，[M3β=12213339=111105].

師：你能計(jì)算出[M50β]嗎？

設(shè)計(jì)意圖：連續(xù)對向量實(shí)施[n（n>1， n∈N?）]次變換，當(dāng)次數(shù)較少時(shí)上述方法可以求出變換后的變量，當(dāng)次數(shù)較多時(shí)上述方法就不易操作.從而說明本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的必要性.

已知[M=10012]，[α=24]，[β=10]，[γ=03]，試計(jì)算[Mα]，[Mβ]，[Mγ]，并觀察這三個(gè)向量與向量[α]，[β]，[γ]的關(guān)系.

生： 其中[Mβ=β]，[Mγ=12γ]，存在部分向量[α]，使得[Mα=λα].即變換后的向量與原向量共線.

設(shè)計(jì)意圖：通過初等變換矩陣對一些特殊向量作用后得到的向量與原向量共線，從而引出特征值與特征向量，讓特征值與特征向量概念的建構(gòu)顯得自然而不生硬.

師：你能再舉幾個(gè)具有這種特征的向量并加以驗(yàn)證嗎？

生：[M20=20]，[M30=30]，[M-120=-120]…

[M03=1203]，[M04=1204]，[M0-2=120-2]…

師：存在[α]，使得[Mα=1?α];存在[β]，使得[Mβ=12?β].我們將[12，1]稱為矩陣M的特征值，對應(yīng)的向量稱為特征向量.

1.特征值與特征向量的定義

設(shè)A 是一個(gè)二階矩陣，如果對于實(shí)數(shù)[λ]，存在一個(gè)非零向量[α]，使得[Aα=λ?α]，那么[λ]稱為A的一個(gè)特征值，而[α]稱為A的屬于特征值[λ]的一個(gè)特征向量.

師：你們覺得特征值與特征向量的概念有哪些注意點(diǎn)呢？

在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，師生共同總結(jié)出特征值與特征向量這一概念的幾個(gè)注意點(diǎn)：

（1）特征向量為非零向量;

（2）屬于特征值[λ]的特征向量不唯一，若向量[α]是A的屬于特征值[λ]的特征向量，則[tα（t≠0）]也是屬于特征值[λ]的特征向量.

練習(xí)1：矩陣[A=100-1]的特征向量是什么？怎樣從幾何直觀的角度加以解釋？

[TA：xy→x'y'=x-y]，[A10=10]，∴[λ1=1]，[α1=10]，[A01=0-1]，∴[λ2=-1]，[α2=0-1] .

師：初等變換矩陣可以從幾何直觀角度求出特征值與特征向量.非初等變換矩陣，如情境中的矩陣M如何求出其特征值與特征向量呢？

設(shè)[λ]是二階矩陣[A=abcd]的一個(gè)特征值，它的一個(gè)特征向量為[α=xy]，則[Axy=λxy]，

即[ax+by=λx ，cx+dy=λy ，] 所以[（λ-a）x-by=0 ，-cx+（λ-d）y=0.]

[D=λ-a-b-cλ-d]，[Dx=0-b0λ-d=0]，[Dy=λ-a0-c0=0].

上述方程即[D?x=Dx=0D?y=Dy=0]，由于特征向量[α]為非零向量，所以[x，y]不全為零，若要上述方程組有不全為零的解，則必須[D=λ-a-b-cλ-d=0].

2.特征多項(xiàng)式的定義

設(shè)[A=abcd]是一個(gè)二階矩陣，[λ∈R]，

我們把行列式[f（λ）=λ-a-b-cλ-d=λ2-（a+d）λ+ad-bc]稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式.

其中方程[f（λ）=0]的根為矩陣A的特征值（最多兩個(gè)），將[λ]的值代入二元一次方程組可得特征向量.

二、應(yīng)用概念

[例1]求出矩陣[A=100-1]的特征值與特征向量.

設(shè)計(jì)意圖：呼應(yīng)練習(xí)，通過初等變換矩陣總結(jié)出一般矩陣特征值與特征向量的求法：[f（λ）=λ-a-b-cλ-d];解方程組[f（λ）=0]得特征值;將[λ]的值代入方程組的特征向量.

練習(xí)2：求矩陣[M=10012]的特征值與特征向量，并思考如何計(jì)算[M2013]的值.

解答：特征值[λ1=1]，[λ2=12]，對應(yīng)的特征向量分別為[α1=10]，[α2=01].

[Mα1=λ1α1]，[M2α1=M（λ1α1）=λ1（λ1α1）=λ12α1]，[M3α1=M（λ21α1）=λ1（λ21α1）=λ31α1]…[M20α1=λ120α1=12010];同理，[M20α2=λ220α2=122001].

師：向量[13]并不是特征向量，該如何處理？能否用特征向量線性表示？

[13=1?10+3?01=α1+3α2]，

所以[M2013=M20（α1+3α2）=M20α1+3（M20α2）=λ120α1+3λ220α2=…]

師：從幾何直觀看，對向量[13]連續(xù)實(shí)施20次TM后，橫坐標(biāo)依然不變，縱坐標(biāo)變?yōu)閇3220]，幾乎“壓扁”為零了.

設(shè)計(jì)意圖：再次從初等變換矩陣入手研究對任意向量連續(xù)實(shí)施多次變換的幾何意義以及具體的求法，這樣可以自然過渡到問題情境中所提出來的問題.

[例2]已知矩陣[M=10012]，[β=17]，試計(jì)算[M50β]的值.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生進(jìn)一步理解求[M50β]可以轉(zhuǎn)化為對[M]的特征向量實(shí)施多次變換，回應(yīng)了問題情境.

三、回顧總結(jié)

（1） 概念：特征值與特征向量.

（2） 求法：特征值與特征向量的求法;[M50β]的求法.

（3） 思想：由特殊到一般.

四、教后反思

1.創(chuàng)設(shè)合理的問題情境是課堂教學(xué)的基礎(chǔ)

本節(jié)課通過一個(gè)小練習(xí)導(dǎo)入新課，讓學(xué)生輕松解決的同時(shí)，提出一個(gè)原有方法不易操作的問題，創(chuàng)設(shè)了恰當(dāng)合理的問題情境，讓學(xué)生學(xué)習(xí)新知的同時(shí)，感受到無比輕松.

2.重視數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)是課堂教學(xué)的核心

本節(jié)課上，特征值與特征向量的概念不是教師講解的，而是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生從已學(xué)知識出發(fā)，通過觀察、操作、比較、類比等思維活動，逐步建構(gòu)而得到. 這樣不僅使學(xué)生對概念有深刻的理解，還讓學(xué)生充分體驗(yàn)到解決問題的過程及思想方法，學(xué)生的主體地位得到充分體現(xiàn).

3.恰當(dāng)?shù)厥褂媒虒W(xué)媒體是課堂教學(xué)的保障

新課程理念強(qiáng)調(diào)，現(xiàn)代教育技術(shù)在課堂教學(xué)中的合理應(yīng)用.本節(jié)課通過交互式電子白板與課堂教學(xué)的有機(jī)整合，為課堂教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)及教學(xué)活動的開展帶來了全新的變化，充分調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）