如何將笛卡兒思想融入高中平面解析幾何課堂

侯代忠 蘇元美

[摘? ?要]在新課程理念下，平面解析幾何教學(xué)應(yīng)認(rèn)真挖掘知識(shí)背后的數(shù)學(xué)文化，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維.笛卡兒作為解析幾何的創(chuàng)始者，其思路、思想與方法對(duì)現(xiàn)代的解析幾何影響深遠(yuǎn)，更是值得我們挖掘.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想;笛卡兒;曲線與方程;課堂教學(xué)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）17-0014-03

新課程理念下的數(shù)學(xué)教育，要在數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上賦予課堂新的生命力，強(qiáng)調(diào)在課堂上發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)文化，傳承數(shù)學(xué)精神.教育家米山國(guó)藏說(shuō)過(guò)：隨著時(shí)間的流逝，僵硬的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與定理會(huì)淡忘在人們的腦中，但是在接受數(shù)學(xué)過(guò)程中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)情感等會(huì)伴隨人們一生，并能夠?qū)⑵溥\(yùn)用到其他領(lǐng)域中.

解析幾何知識(shí)作為高中數(shù)學(xué)的重要組成之一，在高考中也占有著舉足輕重的地位，是學(xué)生的重點(diǎn)學(xué)習(xí)板塊.解析幾何的知識(shí)中包含著許多數(shù)學(xué)思想，也承載了許多歷史.了解解析幾何的發(fā)展史對(duì)我們的幾何學(xué)習(xí)有重要的作用.

《求曲線的方程》作為解析幾何的起始內(nèi)容，在教學(xué)中教師常常讓學(xué)生生搬硬套解題的步驟，不過(guò)多解釋緣由，從而忽略了一些能很好地滲透數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)情感的好課.本文談?wù)勅绾螌⒌芽▋核枷肴谌敫咧衅矫娼馕鰩缀握n堂.

一、笛卡兒的解析幾何思路

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡兒是解析幾何的創(chuàng)始人之一.在笛卡兒創(chuàng)立解析幾何之前，幾何和代數(shù)這兩個(gè)學(xué)科早已獨(dú)立發(fā)展起來(lái)了，但是卻沒(méi)有交集.當(dāng)時(shí)笛卡兒認(rèn)為，歐幾里得幾何太過(guò)于依賴圖形，在證明過(guò)程中過(guò)分強(qiáng)調(diào)技巧性，過(guò)于抽象，對(duì)于想象力的要求較高;代數(shù)學(xué)卻是單純的計(jì)算，機(jī)械地進(jìn)行法則和公式的運(yùn)用，過(guò)于死板，不利于思維的發(fā)展.

笛卡兒看到了幾何的直觀性與代數(shù)的簡(jiǎn)便性，他結(jié)合了兩種領(lǐng)域的優(yōu)勢(shì)，創(chuàng)造性地把幾何和代數(shù)結(jié)合起來(lái)，也就是“數(shù)形結(jié)合”思想.此后，數(shù)學(xué)進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)階段，開(kāi)辟了變量數(shù)學(xué)，為今后的黎曼幾何奠定了基礎(chǔ).笛卡兒曾說(shuō)過(guò)：“我要改革這個(gè)局面，把抽象的幾何，變成那些不需要去思考太多幾何邏輯僅用于練習(xí)思想的問(wèn)題，這樣做也是為了更好地研究幾何.”

笛卡兒解析幾何的基本思路包括：

（1）引入坐標(biāo)觀念，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）的對(duì)應(yīng)關(guān)系;

（2）利用坐標(biāo)法，加入極限思想.坐標(biāo)上的點(diǎn)都可以表示成一個(gè)數(shù)，當(dāng)無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)連接到一起時(shí)，便形成了一條曲線，這樣就可以用方程去表示曲線;

（3）提出了用方程關(guān)系表示曲線的思想，具有同種關(guān)系的點(diǎn)，就可用一個(gè)方程表示;

（4）找到圖形中已知幾何圖形與未知幾何圖形之間的等量關(guān)系，將其用代數(shù)形式表示，用已知的量表示未知的量，構(gòu)造代數(shù)方程;

（5）最后通過(guò)代數(shù)法則求解方程，最終解決幾何問(wèn)題.

研究笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的歷程，我們可以得到：數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合、特殊到一般;數(shù)學(xué)方法——變量代替不變量;數(shù)學(xué)原理——映射原理.

二、《求曲線的方程》中蘊(yùn)含的解析幾何因素

曲線和方程是解析幾何中的核心概念.研究曲線與方程的目的是用代數(shù)的形式表示曲線的幾何特征，并通過(guò)代數(shù)運(yùn)算法則處理相關(guān)的等量關(guān)系，進(jìn)而利用代數(shù)法則去求解，從代數(shù)的結(jié)論得出相應(yīng)的幾何性質(zhì).學(xué)會(huì)求曲線的方程是研究幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵，即利用映射原理，將曲線上的點(diǎn)與方程上的解一一對(duì)應(yīng).曲線上的所有點(diǎn)構(gòu)成集合，也就是一個(gè)方程.“數(shù)形結(jié)合”與“由特殊到一般”等是整個(gè)解析幾何的重要數(shù)學(xué)思想.

目前的教學(xué)與學(xué)習(xí)上側(cè)重于機(jī)械的算法訓(xùn)練，忽視了很多幾何的特征.笛卡兒創(chuàng)立的對(duì)幾何簡(jiǎn)約處理的解析幾何，現(xiàn)代學(xué)生并沒(méi)有感受到其科學(xué)價(jià)值與文化地位.一味的機(jī)械計(jì)算，又偏離了高中解析幾何的課標(biāo)指引，同時(shí)也違背了笛卡兒創(chuàng)立的初衷.

本節(jié)通過(guò)笛卡兒思想由來(lái)的滲透，體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法的認(rèn)識(shí)，鞏固求曲線的方程步驟的應(yīng)用，感悟數(shù)學(xué)思想.

三、將笛卡兒思想融入解析幾何課堂的策略

1.挖掘知識(shí)深度

每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的背后都隱藏著獨(dú)有的思想方法與邏輯思維，而這個(gè)知識(shí)的歷史是數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程的記錄，記載了知識(shí)的發(fā)生和經(jīng)過(guò)，記載了數(shù)學(xué)家研究成功與失敗的過(guò)程，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想的傳遞及數(shù)學(xué)思維的形成.

歷史的研究主要是研究人類的思想，從歷史的認(rèn)識(shí)方法論的特征中我們可以了解到，想要研究歷史，并不是單純地了解歷史，而是從歷史的起點(diǎn)出發(fā)，以整體的大觀去理解歷史，研究其歷史思想，并與現(xiàn)實(shí)社會(huì)結(jié)合到一起，在此基礎(chǔ)上“再創(chuàng)造”出新的成果.

教師在備課過(guò)程中，要對(duì)教材進(jìn)行深入的研究，抓住知識(shí)的本質(zhì)，積極挖掘知識(shí)背后的數(shù)學(xué)文化、思想產(chǎn)生過(guò)程.重新整理數(shù)學(xué)歷史材料，提煉出其思想方法，與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合在一起，為課堂教學(xué)做好充分的準(zhǔn)備.

課前可以做以下步驟：

（1）挖掘.可以從歷史中挖掘出數(shù)學(xué)邏輯思維、思想方法的文化內(nèi)涵.

（2）轉(zhuǎn)化.將歷史素材轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)材料，研究解析幾何的教學(xué)策略.

（3）聯(lián)系.將課堂及現(xiàn)實(shí)社會(huì)聯(lián)系起來(lái).

例如，高中解析幾何就是笛卡兒所創(chuàng)立的解析幾何，教師在準(zhǔn)備這個(gè)章節(jié)時(shí)可以從笛卡兒的創(chuàng)立的心境、環(huán)境、思維過(guò)程、思想方法和克服困難等去進(jìn)行課堂各方面的滲透.

2.拓展知識(shí)廣度

知識(shí)的數(shù)學(xué)史材料包含著知識(shí)的思想方法，將數(shù)學(xué)思想融入課堂的途徑可以參考數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的途徑，使得課堂有趣、豐富起來(lái)，讓學(xué)生在“再經(jīng)歷”的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，同時(shí)還能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家刻苦鉆研的精神.

對(duì)于將數(shù)學(xué)史材料滲透到數(shù)學(xué)課堂中，汪曉勤提出了四種方法：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式.附加式與復(fù)制式是直接應(yīng)用，較為簡(jiǎn)單.而順應(yīng)式與重構(gòu)式則是較為高級(jí)的滲透方式.重構(gòu)則是“再創(chuàng)造”知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，讓學(xué)生置身于知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，去感悟思想的形成與方法的建構(gòu)，體會(huì)科學(xué)家在探索過(guò)程中的困難，再感受解決困難時(shí)思想發(fā)生的過(guò)程.

教師可根據(jù)不同的課型，選擇適當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行教學(xué).

例如，以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題開(kāi)啟課堂.有一個(gè)半徑是1米的圓形鐵圈，有一根木棍連著圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)和距離圓外3米的點(diǎn)，有一只老鼠在木棍上的中點(diǎn)，求老鼠移動(dòng)的軌跡.

用一個(gè)實(shí)際題目，設(shè)置困難，幻想自己是笛卡兒，如何去解決這個(gè)困難？

引導(dǎo)學(xué)生思考：老鼠移動(dòng)的軌跡，就是老鼠的各個(gè)腳步匯聚起來(lái)的點(diǎn).將老鼠的各個(gè)腳步看成一些點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合就是一條線.那么怎么去找到這樣的一條線呢？這樣的一個(gè)中點(diǎn)怎么可以和前面的信息搭建起聯(lián)系呢？

教師可以切換回歷史，當(dāng)時(shí)的笛卡兒和大家也有一樣的困擾，這樣的問(wèn)題用純幾何的方法去解決，難度似乎有點(diǎn)大.他為了使問(wèn)題解決得更快捷，為了能夠表示這樣的位置，創(chuàng)造出了“笛卡兒坐標(biāo)系”.他將幾何圖形搬到“笛卡兒坐標(biāo)系”中，將“數(shù)”與“形”完美地結(jié)合在了一起.我們來(lái)看看題目有了怎么樣的變化？

如圖1，動(dòng)點(diǎn)A在圓[x2+y2=1]上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)（3，0）的連線的中點(diǎn)P的軌跡方程是什么？

在這里引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的經(jīng)驗(yàn)去完成題目，進(jìn)行總結(jié)，并展示笛卡兒的思路，進(jìn)行對(duì)比，去感受笛卡兒的解析幾何給我們現(xiàn)代生活帶來(lái)的便利，并學(xué)習(xí)笛卡兒的創(chuàng)新精神.

3.提升知識(shí)高度

在教學(xué)之后，教師可升華課堂知識(shí)，將知識(shí)的傳授提升到思想方法的滲透，將理性課堂提升到人文情懷的境界，將知識(shí)的學(xué)習(xí)提升到傳承數(shù)學(xué)精神的層次.教師要善于發(fā)現(xiàn)與總結(jié)，要將課堂與數(shù)學(xué)材料的人文情懷與數(shù)學(xué)精神結(jié)合到一起，引導(dǎo)學(xué)生從理性思考跨越到感性精神上.

例如，在《求曲線的方程》的課程結(jié)尾，可以以下一段話總結(jié)，提升課堂的高度.

在今天的這一堂課里，我們“再次經(jīng)歷”了當(dāng)年笛卡兒的經(jīng)歷，也遇到了同樣的困難;我們感受到了數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想，感受到了他們的奮斗精神.雖然我們不能完完全全重走他們當(dāng)年的道路，但是思想能夠產(chǎn)生思想，精神能夠影響精神.因此，我們要從他的思想中汲取有價(jià)值的營(yíng)養(yǎng)，融入我們新的思路，我們要站在巨人的肩膀上，再創(chuàng)輝煌！

處于現(xiàn)代社會(huì)的我們不可能完完全全重走數(shù)學(xué)家所經(jīng)過(guò)的路程，但是我們也不能因此冷凍歷史，而應(yīng)該讓歷史鮮活起來(lái)，汲取其中的精華.教師作為教育的領(lǐng)路人，應(yīng)注重在課堂中滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生在感受知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程中，促進(jìn)思維的發(fā)展，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

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（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）