運用“確定性思想”分析中考失誤試題

沈惠娟 黃錦書

[摘? ?要]無科學(xué)性錯誤是命制試題的最基本要求.分析中考試題中典型失誤題，以減少命題失誤，對提高教師的命題能力有一定的促進作用.

[關(guān)鍵詞]確定性思想;中考題;失誤

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0031-03

數(shù)學(xué)中考命題以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)，遵循科學(xué)性、應(yīng)用性、公平性、創(chuàng)新性等原則.科學(xué)性是對試題本身的結(jié)構(gòu)和敘述的合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性和清晰性的要求，其要求試題準(zhǔn)確無誤，圖文呈現(xiàn)簡明易懂、無錯漏、無歧義.離開“科學(xué)性”這個最基本的原則，試題的價值與功能無從談起.因此，在試題的命制過程中，我們要極力避免出現(xiàn)科學(xué)性錯誤.然而，縱觀近年來各地市中考卷，試題命制中的失誤還時有發(fā)生.本文運用“確定性思想”，對命題中出現(xiàn)的失誤進行分析，以提升試題質(zhì)量及教師的命題能力.

一、對“確定性思想”的認(rèn)識

所謂確定性思想，即當(dāng)一個數(shù)學(xué)研究對象確定之后，與它有關(guān)的數(shù)量關(guān)系和空間形式也隨之確定，簡單地說即“確定便可求”.例如，一個三角形三邊長分別為4，5，6，由“SSS定理”和三角形的穩(wěn)定性可知，這個三角形的形狀和大小是確定的，那么這個三角形的各個內(nèi)角也是確定可求的，中線、角平分線、高線也是確定可畫出、可求的，三角形的面積也是確定可求的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)“確定性思想”，解題及命制試題更應(yīng)體現(xiàn)“確定性思想”.

二、運用“確定性思想”對中考失誤試題進行分析

數(shù)學(xué)試題的條件必須是獨立的、最少的，簡單性被公認(rèn)為數(shù)學(xué)美的一個特征.數(shù)學(xué)家阿蒂亞說過：“研究數(shù)學(xué)的目的之一，就是盡可能地用簡潔而基本的詞匯去解釋世界.”數(shù)學(xué)試題中不應(yīng)有重復(fù)的、多余的條件.

1.中考失誤試題呈現(xiàn)

[例1]某市2015年中考題：如圖1，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作[CD⊥OA]交弦于點E，交⊙O于點F，且[CE=CB].（1）求證：BC是⊙O的切線;（2）連接AF，BF，求[∠ABF]的度數(shù);（3）如果[CD=15]，[BE=10]，[sinA=513]，求⊙O的半徑.

問題出現(xiàn)在第（3）小題，運用兩種不同的算法，答案竟然不一樣.

方法一：構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理解答，得到⊙O的半徑為[150457].

方法二：通過構(gòu)造相似三角形，得到⊙O的半徑卻為[130407].

兩種解法的推理過程都無懈可擊，為什么答案會不一樣？

筆者又繼續(xù)演算，若已知條件[BE=10]，[sinA=513]不變，易求得[CE=CB=13]，由[AD=OD=r2]，則[ED=524r]，由[OC2=CB2+OB2=CD2+OD2]，得[132+r2=13+524r2+r22]，解得[r=3120407].

若不用[BE=10]這個條件，條件[CD=15]，[sinA=513]不變，易知[CB=CE=15-524r].同理可得[15-524r2+r2=152+r22]，解得[r=3600457].

同樣，如果不用[sinA=513]這個條件，只用條件[CD=15]和[BE=10]一樣可求出不同的結(jié)果.⊙O的半徑是唯一確定的，但不同的算法得到不同的答案，究竟為什么？為此，筆者對這道題進行研究.

2.對失誤試題的初步分析

為了方便說明，設(shè)已知條件[BE=10]，[sinA=513]不變.如圖2所示，由已知條件易求得[CE=13]，[DE=2]，[AE=5.2]，則[AB=AE+BE=15.2].而又[AD=4.8]，[AO=9.6]，則[AB=2AG=2×9.6×1213]，兩次算得的[AB]的值不同，從而得出題目所給的條件有問題.再進一步分析，設(shè)[DE=5x]，由[AB=AE+BE=2AG]可得到方程[13x+10=2×24x×1213]， 解得[x=130407]，[DE=5x=][650407]≠2，即得出[CD=AE+BE=13+650407≠15]，這和已知條件[CD=15]相矛盾.由此可知，第（3）小題所給的條件中不僅多余而且互相矛盾.

無獨有偶， 2016某市中考題：如圖3，[AB]是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作[CD⊥OA]交弦AB于點E，連接BD，且[DE=DB].

（1）判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若[CD=15]，[BE=10]，[tanA=512]，求⊙O的直徑.

這道中考題只是在問題呈現(xiàn)形式上、設(shè)問層次上對上題稍作一些改編，其他不變，顯然，也是存在錯誤的.

3.運用“確定性思想”進行剖析

怎樣才能避免類似錯誤再次發(fā)生？我們可以用“確定性思想”進行分析說明.這道題是求半徑，反過來逆向推理，若半徑確定，即圓確定.如圖4，作出OA，又[sinA=513]，即[∠OAB]大小確定，假設(shè)AB在OA右側(cè)，則點B也確定.作DE垂直平分OA，垂足為D.因為OA，AB確定，所以點D，E也就確定.按照題意，點C為BE的垂直平分線和射線DE的交點，所以點C也是確定的，即CD的長度是確定的.當(dāng)[BE=10]時，CD恰好等于15嗎？如果等，則題目沒有問題，只是條件多余而已;如果不等，則條件互相矛盾，題目出錯.

三、運用“確定性思想”深度剖析幾種典型失誤題

下面筆者再舉幾個運用“確定性思想”深度剖析的典型中考失誤題，供大家參考.

1.出現(xiàn)條件與條件、條件與結(jié)論互相矛盾，配圖錯誤的典型題

[例2]某市2014中考題.如圖5，AD是[△ABC]中[∠BAC]的角平分線，[DE⊥AB]于點E，[S△ABC=7]，[DE=2]，[AB=4]，則AC長是（）.

A. 3 B. 4 C. 6 D. 5

此題的標(biāo)準(zhǔn)答案是選項A.

[AB=4]，如果[AC=3]，則[S△ABC]的范圍是確定的，根據(jù)“垂線段最短”可知，AB邊上的高[h≤AC]，∴[S△ABC=12AB·h≤12AB·AC]，∴[S△ABC≤6]，即[S△ABC]不可能等于7，所以此題預(yù)設(shè)的結(jié)論與已知條件相矛盾.暫且不考慮[S△ABC=7]，從確定性的角度去分析，[AB=4]，[DE=2=12AB]，如圖6所示，[AB=4]，直線CD切⊙E于點D，則直線CD上任意一點到AB的距離等于2.如果D1是直線CD上任意一點，易知[∠AD1B≤90°]，僅當(dāng)D1與D重合時[∠AD1B=90°].而在試題所給的配圖中[∠ADB]是鈍角.當(dāng)[∠ADB=90°]時，由AD平分[∠BAC]可知[AC=AB]，如圖7所示，當(dāng)[∠ADB<90°]時，易知[∠ADB<∠ADC]，∴[∠DAC+∠ACD=∠ADB<∠ADC=∠DAB+∠ABD]，又∵[∠DAC=∠DAB]，∴[∠ACD<∠ABD]，∴[AC>AB].因此，如果[AB=4]，[DE=2]，則有[AC≥AB]，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知，[S△ABC=S△ABD+S△ADC=12AB+AC×DE≥AB×DE]，即S△ABC≥8，而題目所給的條件中S△ABC=7，這說明了已知條件之間互相矛盾.

這題如果要選項A正確，則須[S△ABC≤6]，

且[DE≤127]，理由如下.

如圖8，[AB=4]，[AC=3]，作AB邊上的高CF，

則[CF≤AC]，

[BDCD=BACA=43]，[EDCF=BDCB=47]，

∴[ED=47CF≤47AC=127].

此題在條件與條件、條件與結(jié)論互相矛盾的情況下，又給出一個錯誤的配圖，導(dǎo)致考生出錯.

2.出現(xiàn)條件多余且互相矛盾的典型題

[例3]某市2018中考題：如圖9，CE是⊙O的直徑，BC切⊙O于點C，連接OB，作[ED∥OB]交⊙O于點D，BD的延長線與CE的延長線交于點A.

（1）求證：AB是⊙O的切線;

（2）若⊙O的半徑為1，[tan∠DEO=2]，[tan∠A=14]，求AE的長.

第（2）小題的標(biāo)準(zhǔn)答案是[42-2].從確定性的角度去分析，⊙O的半徑為1，∴⊙O確定后點O確定，作直徑CE，則CE確定，切線BC也確定.[tan∠BOC=tan∠DEO=2]，∴[∠BOC]確定，∴射線OB確定，射線OB和切線BC的交點B就確定，BC的長也就確定.點B確定之后，分別延長BD，CE交于點A，則點A確定，AE的長也確定，由此可知，求AE的長并不需要到條件[tan∠A=14]，即此題有多余條件;AC的長也確定，此時[tan A=BCAC]恰好等于[14]嗎？如果等，則題目沒有問題，只是條件多余，難度降低而已;如果不等，則條件互相矛盾，題目出錯.下面進行求解驗證.

如圖10所示，由[tan∠BOC=tan∠DEO=2]，可得[BC=2OC=2]，[BD=BC=2]，由[ED∥OB]可得[ADAE=BDOE=2]，設(shè)[AE=x]，則[AD=2x]，根據(jù)[OD2+AD2=AO2]，有[12+2x2=1+x2]，求得[AE=2]并不等于標(biāo)準(zhǔn)答案[42-2].易知[AC=4]，∴[tan A=BCAC=24≠14].這說明第（2）小題所給的已知條件不僅有多余，而且互相矛盾.

[例4]某市 2017中考題：如圖11，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點F.點E在⊙O外，作直線AE，且[∠EAC=∠D].

（1）求證：直線AE是⊙O的切線.

（2）若[∠BAC=30°]，[BC=4]，[cos∠BAD=34]，[CF=103]，求BF的長.

第（2）小題的標(biāo)準(zhǔn)答案是[5219].

解答過程如下：

∵AB是⊙O的直徑，∴[∠ACB=90°]，在[Rt△ACB]中，[∠BAC=30°]，∴[AB=2BC=2×4=8]，由勾股定理得AC=[82-42=43]，[Rt△ADB]中，[cos∠BAD=34=ADAB]，∴[34=AD8]，∴[AD=6]，∴[BD=82-62=27].∵[∠BDC=∠BAC]，[∠DFB=∠AFC]，∴[△DFB∽△AFC]，∴[BFFC=BDAC]，∴[BF103=2743]，∴[BF=5219].

如果換另一種思路，由[△CFB∽△AFD]可得[CFAF=BCAD=46=23]，∴[AF=32CF=5]，∴[BF=AB-AF=8-5=3].這個推理過程沒有錯，但結(jié)果并不等于標(biāo)準(zhǔn)答案，為什么？其實還是題目所給的已知條件多余且互相矛盾.

現(xiàn)從確定性的角度去分析.

由[∠BAC=30°]，[BC=4]易知⊙O的直徑等于8，∴⊙O確定后，作直徑AB，則AB確定，由[∠BAC=30°]或[BC=4]可確定點C（點C在AB右側(cè)）.由[cos∠BAD=34]可知[∠BAD]確定，∴點D確定（點D在AB左側(cè)），連接CD交AB于點F，∴點F也確定，BF，CF的長就確定.由此可知，求BF的長并不需要到條件[CF=103]，況且此時CF恰好等于[103]嗎？如果等，則題目沒有問題，只是條件多余，難度降低而已;如果不等，則條件互相矛盾，題目出錯.下面進行求解驗證.

如圖12所示，易知△DFB [∽]△AFC，[∴BFCF=BDAC=2743=216]，∴[BF=216CF]，由上可知[AF=32CF]，∴[AFBF=3217]，∴[AF=3217BF]，

解方程組[AF=3217BFAF+BF=8]得[BF=621-145]，[CF=36-4215≠103].

由此可知，求BF的長并不需要用到CF的長.這說明第（2）小題所給的已知條件不僅有多余，而且互相矛盾.

四、對命題的幾點啟示

1.在命題時，我們應(yīng)該進行解題回顧和反思，用批判的眼光去質(zhì)疑，運用“確定性思想”去分析試題的結(jié)構(gòu)，用多種思路和方法進行求解和驗證結(jié)果，這樣就可以發(fā)現(xiàn)條件是否多余或是否不相容，從而修正錯誤.

2.我們應(yīng)該掌握作圖的原理，在命題時盡量準(zhǔn)確作圖，必要時可利用“幾何畫板”等工具軟件進行輔助作圖，這樣有助于我們探尋解題思路或發(fā)現(xiàn)存在的問題.

3.命題是一項基本功，我們應(yīng)該加強學(xué)習(xí)和實踐，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)和專業(yè)水平，總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，這樣才能提高我們的命題能力.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 沈文選，楊清桃 .數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟[M].2版.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2018.

[2]? 戴再平.數(shù)學(xué)習(xí)題理論[M].上海：上海教育出版社，2016.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）