把握概念關鍵教學點，發(fā)展數(shù)學抽象思維

孫蘭 陳國良

摘要：概念的關鍵教學點即一個根本或核心的教學點，是把握概念的一個突破口。抓住概念關鍵教學點能起到“奠基（知識）、示范（方法）、引領（能力）、啟迪（思想）”的作用。本文以“三角函數(shù)的概念”為例闡述如何把握教學關鍵點，發(fā)展學生的數(shù)學抽象思維。

關鍵詞：概念教學;關鍵教學點;教學過程，數(shù)學抽象思維

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）07-094

所謂“關鍵教學點”是指一個根本的或核心的教學點，從知識或思想方法上對其他數(shù)學知識的學習有一定統(tǒng)領或較強遷移作用的教學點，它在教學過程中能起到“奠基（知識）、示范（方法）、引領（能力）、啟迪（思想）”的作用。加強“關鍵教學點”的教學，有利于學生更好地掌握基礎知識、基本技能、基本思想，形成基本活動經驗的能力。[1]三角函數(shù)的概念是高中數(shù)學教學的一個核心概念，是學生利用直角三角形表示銳角三角函數(shù)的升級，是對函數(shù)概念的加深。因此銳角三角函數(shù)及函數(shù)的概念是本節(jié)課的關鍵教學點，而如何在學生原有認知的基礎上，借助直角三角形、直角坐標系和單位圓，三位一體共同刻畫出三角函數(shù)的概念是突破這一教學關鍵點的方法。下面，筆者將以“三角函數(shù)的概念”為例闡述如何把握概念教學關鍵點，發(fā)展學生的數(shù)學抽象思維。

一、經歷實物表征過程，發(fā)展感性認知

周期現(xiàn)象一般與周期運動有關，一個常見又簡單的例子便是“圓周上一個點的運動”。

問題1：以摩天輪中心為參照物，如何刻畫坐在摩天輪里面的人的位置？

我們所學習的函數(shù)模型中有沒有能刻畫這種周而復始的變化？

你能否把問題抽象成數(shù)學問題？

設計意圖：該環(huán)節(jié)把抽象的數(shù)學概念以典型、生動、具體的實例呈現(xiàn)給學生，然后在直觀感知和認知經驗的基礎上提煉出問題的本質。讓學生通過生活實例對事物進行表征，從中抽象出數(shù)學的研究對象;通過對問題一般性的思考和分析，初步發(fā)展學生的感性認知;通過用數(shù)學的眼光看世界，以達到培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的思維方式的目標。

二、經歷圖形表征過程，豐富表象認知

問題2：如圖，圓上一點P在以A為起點逆時針旋轉的過程中，如何刻畫點P的位置變化情況？

學生探究討論，產生兩種方案，方案1，可以以O為原點建立直角坐標系，那么點P的位置可以由點P的坐標（x，y）表示，方案2，點P的位置由半徑和∠POA確定。設半徑為r，∠POA為α，則點P的位置可表示為（r，α）。

問題3：既然兩種方法都可以用來表示點P的位置，兩者之間由什么內在聯(lián)系？

設計意圖：讓學生明確所研究實際問題的數(shù)學背景，從兩個不同的視角來表示點P，培養(yǎng)學生有意識地用數(shù)學的語言來表達世界。

問題4：為了簡化上述問題，先設α為銳角，過P做PM垂直x軸，在銳角三角形POM中，角α與三角形的對邊、鄰邊、斜邊有什么關系？

設計意圖：培養(yǎng)學生將復雜的問題簡單化的思維習慣，在已有的銳角三角函數(shù)的知識的基礎上進一步探索，得到角α的正弦值、余弦值和正切值：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx?？梢?，銳角三角函數(shù)是本節(jié)課的一個關鍵教學點，通過在直角三角形中研究銳角的三角函數(shù)值，對銳角三角函數(shù)知識進行回顧，方法進行示范，從而進行思想引領，由淺入深，循序漸進引出任意角的三角函數(shù)。

問題5：對于銳角α，當點P在α的終邊上運動時，α的正弦值、余弦值和正切值會發(fā)生改變嗎？

設計意圖：引導學生利用相似三角形，發(fā)現(xiàn)終邊上點的位置不會改變對應邊的比值，即對三角函數(shù)值沒有影響，在發(fā)現(xiàn)的過程中促進學生邏輯推理和數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

問題6：上述比值與哪個量有關？

設計意圖：α確定了，對應邊之間的比值就確定了，α與對應邊比值之間形成了一種一一對應關系，即對于任意的銳角α，有且只有唯一的yr與之對應，初步以函數(shù)概念的模式對表達式進行闡述。

問題7：既然終邊上一點P的位置不會影響α的三角函數(shù)值，那么能否在終邊上選取適當?shù)狞cP，使表達式簡化？

設計意圖：當點P位于終邊與單位圓的交點，即r=1表達式最簡，自然過渡到單位圓，由此得到，sinα=y，cosα=x，tanα=yx讓學生感受數(shù)學的簡潔美。

問題8：與銳角終邊相同的角，上述表達式是否依然成立？

問題9：α的終邊在二、三、四象限，上述表達式是否依然成立？

設計意圖：抓住銳角三角函數(shù)這一教學關鍵點，從特殊到一般，從對銳角三角函數(shù)的研究，過渡到對終邊相同的角的研究，到對二、三、四象限角的研究，層層深入把角過渡到任意角，幫助學生突破從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的這一教學難點。

三、經歷符號表征過程，形成抽象思維

問題10：探究x，y的值隨α的變化情況，x，y的值是否由α唯一確定？

通過幾何畫板的演示，讓學生觀察x，y的值隨α的變化過程，并發(fā)現(xiàn)x，y的值由α唯一確定。

問題11：α→y是一種什么樣的對應關系？

一般的，任意給定一個角α，它的終邊與單位圓交點P的坐標，無論是橫坐標x，還是縱坐標y，都是唯一確定的。所以，點P的橫坐標x、縱坐標y都是角α的函數(shù)。

設計意圖：α既是一個角，又是一個實數(shù)（弧度制），這樣，當α確定時，有且只有唯一確定的y與之對應。如果在一個數(shù)集當中的任意一個元素，在另一個數(shù)集當中都有唯一確定的元素與之對應，則這就是函數(shù)關系。此時，α的正弦值就與y之間建立了函數(shù)關系，同理，α的余弦值就與x之間建立了函數(shù)關系，α的正切值與yx之間建立了函數(shù)關系。通過學生的動手探索、小組討論，引導學生與其他已有函數(shù)感念進行類比，觀察總結出α→y的對應本質上是函數(shù)的對應，從而歸納、建構出三角函數(shù)的概念。培養(yǎng)學生在關聯(lián)情境中，發(fā)現(xiàn)、提出并解決問題的能力。

設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P（x，y）。

（1）把點P的縱坐標y叫作α的正弦函數(shù)，記作sinα，即y=sinα;

（2）把點P的橫坐標x叫作α的余弦函數(shù)，記作sinα，即x=cosα;

（3）把點P的縱坐標與橫坐標的比值yx叫作α的正切函數(shù)，記作tanα，即yx=tanα（x≠0）。[2]

設計意圖：新課標建議教師從知識、思想方法、素養(yǎng)的角度整體把握課程內容，從關注一節(jié)課、一節(jié)課的教學到更大范圍（如一個單元、一章、一個主題）的教學，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展[3]。就本節(jié)課而言，函數(shù)概念關鍵教學點，任意角的三角函數(shù)是函數(shù)的一個下位概念，因此教學設計上應該將三角函數(shù)納入函數(shù)的定義體系中，用研究一般函數(shù)的方法來研究任意角的三角函數(shù)，從而體現(xiàn)知識、方法和素養(yǎng)的整體性與連貫性[4]。

綜上所述，本節(jié)課的設計從摩天輪上的游客入手，抽象成圓上點的位置;教學過程牢牢抓住研究（r，α）和（x，y）的內在聯(lián)系，抽象出銳角三角形中邊角的關系，進而推廣到任意角的三角函數(shù)的表示方法;通過分析角與坐標的對應關系，抽象出這種對應本身就是一種函數(shù)關系，水到渠成得出三角函數(shù)的概念。這樣的設計讓學生通過自己的獨立思考以及與他人的討論與反思，自己悟出概念;通過一系列符號的表征，用數(shù)學思維分析、解決問題，用數(shù)學的語言表達世界，不斷培養(yǎng)學生的抽象思維能力。

參考文獻：

[1]李曉華，邵瓊.“教學關鍵點”視角下培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的實踐與思考——以“任意角的三角函數(shù)”為例[J].中學數(shù)學研究，2020（09）：14-16.

[2]章建躍，李增滬.普通高中教科書·數(shù)學（必修）：第一冊[M].A版.北京：人民教育出版社，2019.

[3]史寧中，王尚志主編.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀岡.北京：高等教育出版社，2018（05）.

[4]劉宏英.核心素養(yǎng)理念下的概念教學——以“任意角的三角函數(shù)（第一課時）”同課異構為例[J].高中數(shù)學教與學，2020（12）20-21.

本文系江蘇省十三五規(guī)劃課題《指向“數(shù)學抽象”核心素養(yǎng)的核心概念教學的實踐研究》（批準號：XB-b/2018/05）和蘇州市十三五規(guī)劃課題《構建數(shù)學核心概念與思想方法資源庫，優(yōu)化高中數(shù)學教與學的研究》（批準號蘇教科規(guī)驗字第16122377）成果。

（作者單位：江蘇省沙溪高級中學，江蘇 太倉215400）