考慮寬應(yīng)變率的修正Johnson-Cook模型及蜂窩板動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)模擬

李雙蓓，趙 璇，吳 園，常巖軍

( 1. 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西 南寧，530004；2. 廣西大學(xué)工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧，530004；3.廣西大學(xué)廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧，530004)

金屬蜂窩板是由蒙皮、膠層和蜂窩芯層組成的夾層結(jié)構(gòu)，憑借其比強(qiáng)度高、抗沖擊性能好等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于建筑幕墻、室內(nèi)裝飾、車輛船舶等領(lǐng)域，近年來(lái)，該結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載下的力學(xué)研究已成為相關(guān)領(lǐng)域的熱點(diǎn)[1-2]，尤其數(shù)值仿真技術(shù)的不斷進(jìn)步，不僅突破了傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)研究手段的局限[3]，還能明顯提高分析效率，而仿真結(jié)果的精確程度則直接取決于材料本構(gòu)模型的正確與否。

通常，在沖擊荷載作用下，金屬材料的應(yīng)變率變化范圍較寬，低、中、高3種應(yīng)變率階段均會(huì)出現(xiàn)。Johnson等[4]通過(guò)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，總結(jié)出應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)、應(yīng)變硬化項(xiàng)及溫度項(xiàng)乘積形式的Johnson-Cook經(jīng)驗(yàn)型本構(gòu)模型(JC模型)，該模型因具有物理意義清晰、參數(shù)易標(biāo)定等優(yōu)點(diǎn)而成為分析金屬材料動(dòng)態(tài)響應(yīng)的主流模型，但其缺陷在于不能同時(shí)滿足金屬寬應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系，因此需對(duì)模型進(jìn)行修正[5-6]。在修正JC模型應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)方面，孟利平等[7]使用Cowper-Symonds(CS)應(yīng)變率強(qiáng)化模型[8]替換JC模型中的應(yīng)變率項(xiàng)從而獲得了能夠更好表達(dá)應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)的JC-CS模型；Kang等[9]將JC模型中的1次應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)修正為高階應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)，所得修正模型更適用于描述車身在高速碰撞下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)；Huh等[10]在JC模型中添加2次應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)后，模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)雖仍有一定差距，但二者偏差較之前明顯減小。此外，因?yàn)楦邞?yīng)變率下金屬的應(yīng)變硬化特征會(huì)發(fā)生顯著變化，所以金屬在不同應(yīng)變率階段所遵循的應(yīng)變硬化準(zhǔn)則也不盡相同[5]。在對(duì)JC模型應(yīng)變硬化項(xiàng)進(jìn)行修正時(shí)，Kim等[11]提出的H/V-R模型線性組合了Hollomon模型[12]和Voce準(zhǔn)則[13]，能夠較為準(zhǔn)確地反映鋼材動(dòng)態(tài)行為隨應(yīng)變率提高而變化的現(xiàn)象，但由于該模型具有高度非線性性質(zhì)，加之材料參數(shù)設(shè)置也存在一定局限性，因此難以準(zhǔn)確估計(jì)不同應(yīng)變率條件下的材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，不利于實(shí)際工程應(yīng)用；李營(yíng)等[14]修正后的線性疊加模型以應(yīng)變1次項(xiàng)和2次項(xiàng)的和為應(yīng)變硬化項(xiàng)，研究表明，該模型以加和形式雖然提高了對(duì)金屬行為預(yù)測(cè)的能力，但擬合所得曲線接近于一次函數(shù)，與實(shí)測(cè)值變化的趨勢(shì)差異較大。綜上可知，僅僅通過(guò)修正JC模型中的應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)或應(yīng)變硬化項(xiàng)均不能有效提高模型在寬應(yīng)變率條件下的適用性。有鑒于此，本文擬對(duì)常溫下的JC本構(gòu)模型應(yīng)變硬化項(xiàng)和應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)進(jìn)行修正，提出適用于寬應(yīng)變率條件的H/V-CS本構(gòu)模型并對(duì)模型的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，再通過(guò)顯式VUMAT接口將H/V-CS本構(gòu)模型導(dǎo)入ABAQUS有限元分析軟件中，建立沖擊荷載作用下的蜂窩板結(jié)構(gòu)模型，進(jìn)而基于該模型分析蒙皮厚度、芯層壁厚和芯層高度等因素對(duì)蜂窩板吸能效果的影響，以期為建立更符合實(shí)際的寬應(yīng)變率金屬動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系及蜂窩板在實(shí)際工程中的防護(hù)和優(yōu)化提供參考。

1 寬應(yīng)變率下H/V-CS金屬動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型

1.1 H/V-CS本構(gòu)模型的建立

1.1.1 JC本構(gòu)模型

JC本構(gòu)模型是被廣泛應(yīng)用的一種唯象型動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，將金屬材料的真實(shí)應(yīng)力直觀地表示為應(yīng)變硬化、應(yīng)變率修正項(xiàng)和溫度項(xiàng)的乘積，當(dāng)不考慮溫度效應(yīng)時(shí)，其基本形式為：

(1)

1.1.2 應(yīng)變硬化項(xiàng)修正

大多數(shù)金屬材料在不同應(yīng)變率下所表現(xiàn)出的硬化規(guī)律并不一致，所遵循的準(zhǔn)則往往隨著應(yīng)變率的增大由Ludwik準(zhǔn)則[15]轉(zhuǎn)變?yōu)閂oce準(zhǔn)則，這主要是因?yàn)長(zhǎng)udwik準(zhǔn)則為冪函數(shù)形式，真實(shí)應(yīng)力隨真實(shí)應(yīng)變的增加而不斷增大，而Voce準(zhǔn)則為指數(shù)型，應(yīng)力在大應(yīng)變條件下會(huì)不斷接近飽和狀態(tài)，即應(yīng)力-應(yīng)變曲線會(huì)出現(xiàn)水平漸近線[5]，這與實(shí)際高應(yīng)變率條件下金屬材料真實(shí)應(yīng)力會(huì)隨應(yīng)變的增大而趨于飽和的現(xiàn)象[16]一致，故Voce準(zhǔn)則更適于展現(xiàn)金屬材料在高應(yīng)變率下的本構(gòu)關(guān)系。

Kim等[11]和李營(yíng)等[14]針對(duì)硬化規(guī)律對(duì)JC本構(gòu)模型的應(yīng)變硬化項(xiàng)進(jìn)行改進(jìn)，相應(yīng)得到H/V-R模型和線性疊加模型分別如式(2)和式(3)所示：

(2)

(3)

式(2)～式(3)中，α1、α2、m1、m2、a1、a2、P及q均為材料常數(shù)；σ0為靜態(tài)真實(shí)應(yīng)力；fH表示Hollomon準(zhǔn)則，引入初始屈服強(qiáng)度值后發(fā)展成為L(zhǎng)udwik準(zhǔn)則，fV表示Voce準(zhǔn)則，二者表達(dá)式分別為：

fH=Bεn

(4)

fV=A2-Dexp(-Eε)

(5)

式(5)中，A2為材料常數(shù)；D為金屬?gòu)?qiáng)度系數(shù)；E為硬化指數(shù)(Voce硬化準(zhǔn)則)，可通過(guò)擬合金屬真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系而得到。

為了準(zhǔn)確描述金屬材料在不同應(yīng)變率階段的應(yīng)變硬化性質(zhì)，本文參考H/V-R模型(式(2))及線性疊加模型(式(3))對(duì)應(yīng)變硬化項(xiàng)的處理方式，根據(jù)真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征，將Ludwik準(zhǔn)則與Voce準(zhǔn)則疊加獲得新的應(yīng)變硬化項(xiàng)，表達(dá)式為：

σ=A+Bεn-Dexp(-Eε)

(6)

式中，A為材料常數(shù)。

1.1.3 應(yīng)變率項(xiàng)修正

利用CS模型[8]可獲得材料動(dòng)態(tài)真實(shí)應(yīng)力與應(yīng)變率之間的關(guān)系表達(dá)式為：

(7)

式中，σd為動(dòng)態(tài)真實(shí)應(yīng)力；C和m為材料常數(shù)。

以文獻(xiàn)[14]所報(bào)道的船用低碳鋼、文獻(xiàn)[17]所報(bào)道的921A鋼以及文獻(xiàn)[18]所報(bào)道的EH36鋼為研究對(duì)象，分別利用JC模型應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)和CS應(yīng)變率強(qiáng)化模型獲得上述鋼種的屈服強(qiáng)度-應(yīng)變率關(guān)系擬合曲線，并將擬合值與相應(yīng)文獻(xiàn)所提供的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖1所示。從圖1

中可以看出，利用JC本構(gòu)模型應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)對(duì)船用低碳鋼及921A鋼力學(xué)行為進(jìn)行擬合時(shí)，在中、高應(yīng)變率階段所得數(shù)據(jù)與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)值差異較大，而利用CS模型所得3種鋼的擬合結(jié)果均與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)值吻合度較高，兼顧了材料在低、中、高應(yīng)變率階段的力學(xué)行為變化，滿足寬應(yīng)變率的要求。因此，本文選擇CS模型作為金屬材料本構(gòu)模型中的應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)。

1.1.4 H/V-CS本構(gòu)模型

將修正后的應(yīng)變硬化項(xiàng)與CS模型應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)耦合，獲得適用于寬應(yīng)變率條件的H/V-CS本構(gòu)模型，表達(dá)式為：

(8)

由式(8)可見(jiàn)，該本構(gòu)模型表達(dá)式中的參數(shù)較H/V-R模型(式(2))更少，模型應(yīng)變硬化項(xiàng)考慮了金屬在不同應(yīng)變率范圍內(nèi)的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，包容性較強(qiáng)，擬合方式也較為靈活。同時(shí)，模型選用更能準(zhǔn)確反映應(yīng)變率敏感性的CS模型作為應(yīng)變率強(qiáng)化項(xiàng)，考慮了金屬材料的應(yīng)變率效應(yīng)，使得整個(gè)模型能夠充分體現(xiàn)金屬材料的力學(xué)性能，物理意義清晰，具有通用性。

1.2 H/V-CS本構(gòu)模型參數(shù)的確定

本文基于文獻(xiàn)[5]所報(bào)道的Q420鋼拉伸實(shí)驗(yàn)和文獻(xiàn)[19]所報(bào)道的2024-T3鋁的霍普金森拉桿實(shí)驗(yàn)，對(duì)JC模型及本文所提H/V-CS模型在寬應(yīng)變率條件下的適用性進(jìn)行討論，這2種金屬材料分別廣泛應(yīng)用于建筑及航空領(lǐng)域，應(yīng)變率變化涵蓋低、中、高3個(gè)階段，具有一定的普適性。

首先選用數(shù)值優(yōu)化仿真計(jì)算軟件平臺(tái)First Optimization(1stOpt)中的全局優(yōu)化算法，再編寫(xiě)程序輸入待擬合參數(shù)的模型表達(dá)式以及不同應(yīng)變率下真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，無(wú)需依賴初值，即可得到2種材料的H/V-CS模型參數(shù)如表1所示。

表1 H/V-CS本構(gòu)模型參數(shù)

待獲得H/V-CS模型參數(shù)后，再分別使用JC模型和H/V-CS模型對(duì)Q420鋼及2024-T3鋁在多種應(yīng)變率條件下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(cè)，將所得理論模型預(yù)測(cè)結(jié)果與相應(yīng)文獻(xiàn)所提供的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖2所示。由圖2可知，2種金屬材料在不同應(yīng)變率條件下都表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變率強(qiáng)化效應(yīng)。當(dāng)使用JC模型對(duì)金屬材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，高應(yīng)變率條件下的模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)值差異較大，如圖2(a)中應(yīng)變率分別為133、288 s-1條件下的2條模型預(yù)測(cè)曲線大部分重疊，未表現(xiàn)出應(yīng)變率敏感性，且預(yù)測(cè)值與相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)值存在明顯偏差，這種現(xiàn)象在圖2(b)中(應(yīng)變率為0.01、500、1300 s-1)表現(xiàn)得更為明顯，應(yīng)歸因于JC模型所采用的應(yīng)變硬化準(zhǔn)則和應(yīng)變率強(qiáng)化項(xiàng)更適用于中、低應(yīng)變率條件，對(duì)金屬材料高應(yīng)變率階段的力學(xué)行為變化不夠敏感，難以真實(shí)反映金屬材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，所以在寬應(yīng)變率條件下使用JC模型不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)金屬材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；當(dāng)使用H/V-CS模型對(duì)金屬材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)(圖2(c)～圖2(d))，2種金屬材料在低、中、高應(yīng)變率條件下的模型預(yù)測(cè)結(jié)果均與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)值高度吻合，體現(xiàn)了該模型在寬應(yīng)變率條件下的適用性與準(zhǔn)確性，由此可證明在寬應(yīng)變率條件下，將Voce模型和Ludwik模型組合的應(yīng)變強(qiáng)化模型耦合CS應(yīng)變率強(qiáng)化模型后，所得H/V-CS模型可以更好地表達(dá)金屬材料的應(yīng)變率敏感性，對(duì)金屬材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的預(yù)測(cè)結(jié)果符合相應(yīng)的真實(shí)發(fā)展趨勢(shì)。

(a) 船用低碳鋼 (b) 921A鋼 (c) EH36鋼

(a)Q420鋼，JC本構(gòu)模型 (b)2024-T3鋁，JC本構(gòu)模型

(c)Q420鋼，H/V-CS模型 (d)2024-T3鋁，H/V-CS模型

1.3 H/V-CS本構(gòu)模型VUMAT開(kāi)發(fā)

(9)

(10)

圖3 VUMAT子程序流程圖

2 基于H/V-CS本構(gòu)模型的蜂窩板動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)模擬

2.1 蜂窩板模型的建立與驗(yàn)證

為驗(yàn)證VUMAT子程序的正確性，本文以蜂窩夾層板為研究對(duì)象，參照文獻(xiàn)[2]建立模型，該結(jié)構(gòu)如圖4所示，其中蒙皮厚度Tf為1 mm，蜂窩單元直徑R為6.35 mm，蜂窩芯層高度h為18mm，蜂窩芯層厚度tc為0.07 mm，蒙皮(2024-T3鋁材質(zhì))的H/V-CS模型參數(shù)見(jiàn)表1，其余部件屬性均參照文獻(xiàn)[2]設(shè)定。采用ABAQUS有限元軟件構(gòu)建蜂窩板有限元模型(見(jiàn)圖5)并模擬蜂窩板沖擊試驗(yàn)(沖擊能為81.07 J)，獲得沖擊中心點(diǎn)處沿X、Y、Z方向的應(yīng)變率時(shí)程曲線如圖6所示。由圖6可見(jiàn)，沖擊點(diǎn)處沿不同方向的應(yīng)變率均變化復(fù)雜且無(wú)規(guī)律，應(yīng)變率值覆蓋了低、中、高3個(gè)階段，故采用傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型難以滿足精確計(jì)算的要求，在此基于本文所提H/V-CS寬應(yīng)變率動(dòng)態(tài)本構(gòu)模型，借助ABAQUS軟件對(duì)蜂窩板在不同沖擊能下的沖擊過(guò)程進(jìn)行模擬，將蜂窩板損傷深度模擬計(jì)算值與文獻(xiàn)[2]所提供的相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖7所示。由圖7可見(jiàn)，在不同沖擊能量條件下，由ABAQUS模擬計(jì)算所得蜂窩板損傷深度均與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，最大誤差不超過(guò)5%，從而驗(yàn)證了H/V-CS本構(gòu)模型與有限元仿真模型的準(zhǔn)確性，因此可利用這兩個(gè)模型進(jìn)一步探究蜂窩板結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)蜂窩板在沖擊荷載下吸能效果的影響。

圖4 模型結(jié)構(gòu)

圖5 蜂窩板有限元模型

圖6 應(yīng)變率時(shí)程曲線

圖7 蜂窩板損傷深度

2.2 蜂窩板結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其吸能效果的影響

設(shè)定圓柱體平頭彈底面半徑為10 mm，高為56.7 mm，保持沖擊能量為81.07 J，利用本文所構(gòu)建的H/V-CS本構(gòu)模型與有限元仿真模型研究了蜂窩板遭受平頭彈沖擊時(shí)，蒙皮厚度(0.5、1.0、1.5 mm)、蜂窩芯壁厚(0.035、0.07、0.105 mm)以及蜂窩芯高度(9、18、27 mm)等結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其吸能效果的影響，分析結(jié)果見(jiàn)圖8，相應(yīng)條件下蜂窩板的吸收能量穩(wěn)定值如表2所示。由圖8(a)可見(jiàn)，當(dāng)蒙皮厚度分別為0.5、1.0、1.5 mm時(shí)，相應(yīng)的蜂窩板吸收全部能量的時(shí)長(zhǎng)依次為4.2、3.2、2.8 ms，吸能速率隨蒙皮厚度的增加而增大，因此，增加蒙皮厚度可有效提高蜂窩板吸能效果；由圖8(b)可見(jiàn)，當(dāng)蜂窩芯壁厚分別為0.035、0.07、0.105 mm時(shí)，相應(yīng)的蜂窩板吸收全部能量的時(shí)長(zhǎng)依次為8.7、3.2、2.5 ms，吸能速率隨蜂窩芯層壁厚的增加而增大，并且還需指出的是，較薄的蜂窩芯層將導(dǎo)致蜂窩板剛度嚴(yán)重降低；由圖8(c)可見(jiàn)，當(dāng)蜂窩芯高度分別為9、18、27 mm時(shí)，相應(yīng)的蜂窩板吸收全部能量的時(shí)長(zhǎng)依次為4.0、3.2、2.9 ms，吸能速率隨蜂窩芯高度的增加而增大，蜂窩芯的高度變化對(duì)其吸能效率也有較明顯的影響；從表2中可以看出，蜂窩板吸收能量穩(wěn)定值隨蒙皮厚度或蜂窩芯壁厚的增加而減小，并隨蜂窩芯高度的增加而增大。這表明蜂窩板結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)蜂窩板力學(xué)行為的影響在變化程度和變動(dòng)方向上均有體現(xiàn)，因此實(shí)際工程中在對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化和使用時(shí)，需謹(jǐn)慎考量材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)性能和功能需求之間的關(guān)系。

(b)蜂窩芯壁厚(蒙皮厚度、蜂窩芯高度分別為1.0、18 mm)

(c)蜂窩芯高度(蒙皮厚度、蜂窩芯壁厚分別為1.0、0.07 mm)

表2 吸收能量穩(wěn)定值

3 結(jié)語(yǔ)

在沖擊荷載作用下，金屬材料的應(yīng)變率范圍包含了低、中、高三種階段，而傳統(tǒng)的Johnson-Cook模型不適于體現(xiàn)這種寬應(yīng)變率條件下的金屬材料本構(gòu)關(guān)系，故本文以Ludwik準(zhǔn)則和Voce準(zhǔn)則線性組合作為新應(yīng)變硬化項(xiàng)、CS模型作為新應(yīng)變率效應(yīng)項(xiàng)對(duì)Johnson-Cook本構(gòu)模型進(jìn)行改造，獲得了能適用于寬應(yīng)變率條件的H/V-CS本構(gòu)模型?；诮饘僬鎽?yīng)力-應(yīng)變實(shí)驗(yàn)，采用全局優(yōu)化算法確定了金屬材料的H/V-CS本構(gòu)模型參數(shù)并對(duì)模型的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證，所得模型參數(shù)不依賴于初值，是全局最優(yōu)組合，具有準(zhǔn)確性高、方便易得和應(yīng)用便捷的優(yōu)點(diǎn)，且不受參數(shù)數(shù)量限制。此外，還利用所建H/V-CS本構(gòu)模型并結(jié)合有限元分析研究了蜂窩板結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其吸能效果的影響。結(jié)果表明，改變蜂窩板的蒙皮厚度、芯層厚度和高度均會(huì)在不同程度上影響蜂窩板結(jié)構(gòu)的吸能效果，蜂窩板吸收能量穩(wěn)定值隨蒙皮或芯層厚度的增加而增大，并隨芯層高度的增加而減小，因此在實(shí)際工程中進(jìn)行多方案比較和優(yōu)化分析時(shí)應(yīng)綜合考慮材料使用功能及多種結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響。