基于波利亞解題思想的解題教學思考
——以2020年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學第21題為例

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 張雁

解題教學是教師引導學生學習與反思的一個重要途徑,對于學生解題能力的提高具有重要作用.有意義的解題教學可以讓學生在掌握特定題目解法的同時,對數(shù)學問題有更深入的認識,理解數(shù)學解題的策略.而波利亞解題思想為怎樣解題提供了清晰的思路,波利亞的“怎樣解題表”結(jié)合理論與實踐,通過程序化的解題系統(tǒng)與啟發(fā)式的過程分析一步步指引學生進行解題思考,引導學生產(chǎn)生念頭,培養(yǎng)他們的獨立探索能力.波利亞解題思想與解題教學的結(jié)合能夠指導教師教學,教會學生思考,幫助學生培養(yǎng)良好解題習慣,構(gòu)建解題思維,向他們傳授解題學習的技能與方法,使他們從中領(lǐng)會數(shù)學的精神實質(zhì).而數(shù)學高考卷的第21 題作為壓軸題,很好地考察了學生的數(shù)學思維,區(qū)分度強,對學生的數(shù)學素養(yǎng)要求較高,其解題教學能體現(xiàn)高中數(shù)學的重點內(nèi)容,2020年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學第21 題對于學生采取合適的解題方法、正確運用所學知識以及數(shù)學思維能力都有較高的要求,故本文以該題為例,探析波利亞思想在解題教學中的應(yīng)用.該題與波利亞解題思想結(jié)合的教學方式有利于幫助學生鞏固三角函數(shù)的相關(guān)知識點,訓練學生在解題時開展積極活躍且有邏輯的思維活動,提高學生的解題能力.

1 試題呈現(xiàn)及解法

(2020年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學第21 題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.

(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;

(3)設(shè)n ∈N*,證明:sin2xsin22xsin24x...sin22nx≤.

評析:該題第(1)問探究三角函數(shù)的單調(diào)性問題,主要考查復合函數(shù)求導方法、三角函數(shù)運算方法等知識;考察學生數(shù)學運算能力.第(2)問要求學生求函數(shù)的值域,結(jié)合函數(shù)周期性知識,考查學生的分析問題能力、數(shù)學運算的能力.第(3)問求證原函數(shù)表達式的拓展形式相關(guān)的不等式,重點考查學生的邏輯推理能力、數(shù)學運算能力,考查學生的數(shù)學思維.試題的各小問間聯(lián)系密切,層次分明,不斷遞進,達到了試題的考察目的,實現(xiàn)思維方法在不同小問解題過程中的協(xié)調(diào)和統(tǒng)一,體現(xiàn)了“能力立意”的命題原則.

由于該題第(1)問考察知識內(nèi)容較為基礎(chǔ),第(2)問與第(3)問內(nèi)部存在較強邏輯關(guān)系,因此本文重點關(guān)注第(2)問與第(3)問的解法選取.

第(2)問解法:

方法一:利用函數(shù)單調(diào)性與周期性求解最值

由(1)知,f(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,f(0)=f(π)=0,可以求得f(x)在(0,π)的最大值為最小值為而f(x)=sin2xsin 2x=2sin3xcosx是周期為π的周期函數(shù),故.

該法充分利用第(1)問得到的函數(shù)區(qū)間單調(diào)性信息,求解得到函數(shù)在特定區(qū)間上的最值,再通過函數(shù)表達式分析函數(shù)的周期性,將函數(shù)在區(qū)間上的最值推廣到整個定義域中.思路相對清晰,邏輯聯(lián)系強,大部分學生的思維定勢傾向于利用單調(diào)性解決問題,采取此種做法進行解題.

方法二:利用多元均值不等式消去變量

該法將函數(shù)值的范圍轉(zhuǎn)化為其平方值的范圍求解,結(jié)合多元均值不等式巧妙地拆分函數(shù)平方項表達式,以湊出正弦平方項與余弦平方項,消去變量使問題得證.這種解法快速便捷,計算簡單,但要求學生對多元均值不等式有較為深入的理解,難點在于學生缺乏與均值不等式相關(guān)的的解題經(jīng)驗,難以從函數(shù)表達式中抽象出均值不等式對應(yīng)表達,頓悟到4 sin6xcos2x可視作四元乘積.

第(3)問解法:

方法一:結(jié)合函數(shù)最值問題求解

這種解法將不等式左側(cè)進行指數(shù)運算,以拆分為三角函數(shù)和多個函數(shù)值的乘積,結(jié)合第(2)問函數(shù)值域范圍,使不等式得證.此解法充分運用了已知結(jié)論,簡化運算,與第(2)問關(guān)聯(lián)性強,學生容易產(chǎn)生解題聯(lián)想,是大部分學生傾向采取的解法.

方法二:多元均值不等式消去變量

第(3)問需要證明的不等式左側(cè)為題目所給函數(shù)的拓展形式,可利用與第(2)問相同的多元均值不等式拆分函數(shù)平方項表達式,化不等式左側(cè)為多個正余弦平方項之和的積,從而使不等式得證.這種解法在第(3)問中的應(yīng)用是在第(2)問中應(yīng)用的拓展,學生對于該解法在前一問中應(yīng)用的理解對此法在本問中的應(yīng)用具有重要意義.

方法三:數(shù)學歸納法證明

則當n=k時,上式得證.所以

這種方式將原不等式左側(cè)式子進行縮放,得到原函數(shù)的連乘拓展表達式,結(jié)合第(2)問中結(jié)論,利用第一數(shù)學歸納法進行證明,對數(shù)學素養(yǎng)要求較高,是較少學生會采取的解題思路.

針對第(2)問,方法一與第(1)問存在較強關(guān)聯(lián),且利用單調(diào)性求解函數(shù)值域是學生經(jīng)常遇到的問題,在學生腦海中存在思維定勢,學生更容易聯(lián)想到這種方法,他們解題時可能會遇到的問題包括函數(shù)周期性的判斷、函數(shù)極值的求解,這些問題對于大多數(shù)學生而言都是易于解決的;方法二思路較為獨特,對學生掌握多元均值不等式的程度要求高,在考試解題中的運用比較少見,關(guān)鍵點與難點都在于三角函數(shù)與均值不等式聯(lián)系的建立,而這是學生在短時間內(nèi)難以做到的.針對第(3)問,方法一是第(2)問單調(diào)性解法的延續(xù),思維過渡自然,簡單快捷,難點在于如何將多個平方項的乘積轉(zhuǎn)化為與已知函數(shù)相關(guān)聯(lián)的形式;方法二與第(2)問中均值不等式求解方法本質(zhì)相同,在學生掌握第(2)問對應(yīng)方法的前提下比較容易聯(lián)想應(yīng)用;方法三需要學生具備較強的邏輯推理能力與數(shù)學思維,對于大部分學生來說難以尋找到此法突破口.故本文選擇引導學生掌握第(2)問方法一與第(3)問方法一的思路,對此展開與波利亞解題思想結(jié)合的解題教學研究.

2 試題教學方法探析

波利亞的解題程序?qū)⒔忸}過程分為四個部分:弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧,他強調(diào)程序化的解題系統(tǒng)、啟發(fā)式的過程分析、開放型的念頭誘發(fā)、探索性的問題轉(zhuǎn)換.教師在試題教學的過程中,應(yīng)做到不只是讓學生學會了這道題目的解法,更應(yīng)該在教導解法的過程中,讓學生思維更加嚴密,了解迅速找到適合的解題方法的策略,累積解題經(jīng)驗,總結(jié)規(guī)律,提高學生分析問題與解決問題的能力,鍛煉學生的數(shù)學素養(yǎng).本文在波利亞解題模型的基礎(chǔ)上設(shè)計解題教學過程,借助波利亞解題思想,在教導本題的同時培養(yǎng)學生獨立探索能力,提高解題效率[1][2].

2.1 弄清問題

教師解題教學的第一步是要讓學生弄清問題,“問題想得透徹,意味著問題解決了一半”,學生在理解了問題中的各項信息以后才能對問題進行清晰透徹的分析.這項過程可以借助波利亞的解題表進行.波利亞的解題表包括:未知是什么?已知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知,條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

針對本題,教師應(yīng)先引導學生思考上述問題,揭露問題的本質(zhì):

第(1)問第(2)問第(3)問未知是什么?3函數(shù)的單調(diào)性|f(x)|與38 的大小關(guān)系.sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx與3n 4n 的大小關(guān)系已知是什么?一個給定的函數(shù)表達式函數(shù)的表達式函數(shù)在(0,π)上的單調(diào)性sin2 x sin 2x≤33 8條件是什么?一個確定的區(qū)間(0,π)給函數(shù)加一個絕對值n ∈N*滿足條件是否可能?可能,(0,π)是給定函數(shù)的一個正常區(qū)間,函數(shù)在這個區(qū)間上有其單調(diào)性可能,每一個函數(shù)都可以加上絕對值可能,對于任意的n,n ∈N* 時,sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx都是一個確定的式子要確定未知,條件是否充分?或者不充分?或者多余?或者矛盾?當函數(shù)的表達式確定時,其在某個固定區(qū)間的單調(diào)性就是確定的,因此可以求出函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性,故條件充分.|f(x)|的函數(shù)圖像是確定的,其最大值和最小值也是確定的,因此|f(x)|與33 8的大小關(guān)系是可以被確定的,故條件充分.當n 確定時,sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx就是一個確定的函數(shù),由于每一個sin2 2kx(k ∈N* 且k ≤n)都有最大值,所以sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx也存在最大值,因此其與3n 4n 的大小關(guān)系是確定的,故條件充分.

當學生對問題有了清晰的理解之后,他們就會明白,自己能做什么,要做什么,從而對問題的解決有了進一步的規(guī)劃.

2.2 擬定計劃(分析題目)

教師在指導學生擬定計劃時應(yīng)先讓學生結(jié)合所學知識與以往解題經(jīng)驗,對目標問題與過往解決的問題形成聯(lián)結(jié),對實際題目進行明確、清晰的分析,判斷過往方法是否可以直接運用或稍作改變運用在本次題目中.

在求解第(1)問時,學生可能會嘗試利用掌握的函數(shù)圖象相關(guān)知識直接繪制函數(shù)草圖,或利用函數(shù)求導對函數(shù)單調(diào)性進行判斷.教師引導學生擬定此問計劃時應(yīng)喚起學生對判斷單調(diào)性方法的記憶,對多種方法對此題的適用性進行判斷,從而擬定合適的計劃.

你以前見過類似的問題嗎?這個問題讓你聯(lián)想到什么?解決這類問題能夠采用什么方法?你能重新敘述這道題目嗎?能以不同的方式敘述它嗎?第(1)問1.可以畫出函數(shù)的圖像來大致模擬函數(shù)的變化規(guī)律.2.求函數(shù)單調(diào)性的問題遇到過很多,其中也有與1.一般可以直接使用求導的方法.2.有的時候可以先通過二倍角公式等方法將式子變成更簡單的形式,然而再求單調(diào)性.求一個給定的復合三角函數(shù)的單調(diào)性,知道它在(0,π)上哪部分遞增,哪部分遞減.三角函數(shù)相關(guān)的問題,但一般難度不大.

在求解第(2)問時,根據(jù)以往學習判斷函數(shù)值域的方法,學生很可能會結(jié)合第(1)問的函數(shù)單調(diào)性結(jié)果進行分析,在極值處判斷最值.教師可以引導學生思考這道題的另一本質(zhì):求證不等式,分析是否可利用不等式的相關(guān)知識與過往解不等式問題的經(jīng)驗從另一角度制定此題的解法,從多個三角函數(shù)的乘積聯(lián)想到多元均值不等式,結(jié)合正余弦平方和公式解決問題.

你以前見過類似的問題嗎?這個問題讓你聯(lián)想到什么?解決這類問題能夠采用什么方法?你能重新敘述這道題目嗎?能以不同的方式敘述它嗎?問題的形式似乎指引我們從函數(shù)的角度來證明|f(x)|≤31.遇到過不少這種比較函數(shù)與某固定數(shù)值大小關(guān)系的問題,其形式上涉及函數(shù),因此可以從函數(shù)的角度來思考.2.其結(jié)構(gòu)上涉及到不等式,應(yīng)該也可以從不等式的角度來思考.3.第(1)問幫我們求出了函數(shù)的單調(diào)性,所以可以直接從函數(shù)的角度入手.1.一般可以通過求導了解左側(cè)函數(shù)的變化規(guī)律,進而求出|f(x)|的最大值,以此來判斷不等式是否成立.2.證明不等式也可以直接使用不等式的相關(guān)公式,比如可以通過兩邊平方的方式處理左式的絕對值,對得到的4 sin6 x cos2 x聯(lián)想到:a sin2nx cos2m x ≤b 的結(jié)構(gòu),也許可以采用均值不等式來處理.3 8,但是將f(x)=sin2 x sin 2x代入|f(x)|≤33第(2)問8后,其本質(zhì)就是讓我們證明對于任意的x,必有sin2 x sin 2x≤33 8 這個不等式成立.

在求解第(3)問時,從不等式的形式中學生可以形成其與第(2)問的關(guān)聯(lián)認知,但學生對這個關(guān)聯(lián)的具體內(nèi)容往往還不太清晰,教師需要引導學生尋找這個關(guān)聯(lián),抽象出其指數(shù)形式是一個三角函數(shù)與若干個題目所給函數(shù)的乘積,從而擬定解題計劃.

你以前見過類似的問題嗎?這個問題讓你聯(lián)想到什么?解決這類問題能夠采用什么方法?你能重新敘述這道題目嗎?能以不同的方式敘述它嗎?1.第(3)問和第(2)問的形式有點相似,都有sin x sin 2x 這樣的結(jié)構(gòu),只是次數(shù)不同而已.是不是可以借用第(2)問的結(jié)論?2.這種n 項累乘的結(jié)構(gòu)好像并不少見,但是想不起什么固定的題型.3.由于隨著n 的變化,并不能同時滿足每一個

sin2 2kx(k ∈N*且k ≤n)都有sin2 2kx ≤3 4,因此這道題似乎不能單獨去證明sin2 2kx ≤3第(3)問4,而應(yīng)該整體看待這個問題.4.x,2x,4x...后者均與前者呈2 倍關(guān)系,由此聯(lián)想到2 倍角公式.5.333 2)3,數(shù)字3 對應(yīng)f(x)的總次數(shù).8=(好像暫時沒有其他的角度來理解這個問題,只能從原題目本身來認識它:設(shè)n ∈N*,證明:sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx ≤3n 1.n 項累乘的不等式,有的時候可以采用數(shù)學歸納法.2.可以采用放縮法,但暫時不知道如何下手,可能需要配合其他方法.3.x,2x,4x...后者均與前者呈2 倍關(guān)系,或許可以通過2 倍角公式將式子變形,然后求解.4.看起來好像可以用第(2)問中的結(jié)構(gòu)進行累乘得到類似結(jié)構(gòu),然后再想辦法處理.5.如果和第(2)問有關(guān),那么也可以使用第(2)問的不等式進行放縮.4n.而(33 2)2n,數(shù)字2n 次對應(yīng)sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx的總次數(shù).聯(lián)想到第(2)問與第(3)問之間存在關(guān)聯(lián).4)n=(

學生在分析題目的過程中,通過不斷地對問題內(nèi)容和結(jié)構(gòu)進行模式識別,提取腦海中的相關(guān)信息進行認知遷移,進而發(fā)散出多種可能解決問題的路徑.然后學生需要選取某種路徑制定相應(yīng)的解題計劃——這種路徑的選取并非是完全隨機的.比如上表對第(3)問的分析中,多處線索均顯示第(2)問與第(3)問之間可能存在關(guān)聯(lián),因此學生在擬定解題計劃時,可以優(yōu)先考慮從第(2)問的結(jié)果或結(jié)構(gòu)延伸出來的思路.

2.3 實行計劃

學生選定了具體的解題計劃后,教師應(yīng)當引導他們注意“低頭看路和抬頭望天”——在執(zhí)行解題方案的過程中,學生一方面需要腳踏實地,檢查每一個步驟,確保思維的每一次進程都嚴謹正確;另一方面則要隨時監(jiān)控自身的解題情況,在解題過程中對未來的方向做評估和預判.比如這個方法是否可行?是否將所有的線索串聯(lián)了起來?是否能夠順利地進行下去?等等.此外,如果在實行計劃的過程中遭遇困難,是分析困難原因,有針對性地進行調(diào)整,然后繼續(xù)沿著該方案前進,還是退回思維的起點,采用其他解題路徑繼續(xù)思考?前者可能會導致學生繼續(xù)消耗大量時間,也可能能夠幫助學生最終解決問題;后者可能讓學生轉(zhuǎn)回到了正確的思路上,也可能讓學生走上了另一條“死胡同”.由此可見,在實行計劃的過程中,學生并非簡單地依照預設(shè)的思路進行推理計算,還需要運用元認知策略對解題過程中的重要決策進行判斷.

比如上述的第(3)問中,如果學生一開始觀察x,2x,4x...2nx,發(fā)現(xiàn)后者均與前者呈2 倍關(guān)系,由此聯(lián)想到2 倍角公式.于是可以將sin2xsin22xsin24x...sin22nx轉(zhuǎn)化為:4nsin2xsin2xsin22xsin24x...sin22n-1xcos2xcos22xcos24x...cos22n-1x,然后對這個式子進行放縮:由于所以sin2xsin22xsin24x...sin22n-1x即證4nsin2x ≤,這顯然是放縮過頭了.一些學生在這里陷入了苦思,白白耗費了時間;而另一些學生則會在心里進行評估:這種變形似乎除了構(gòu)造出新的cos2x結(jié)構(gòu)以外,并沒有其他什么好處.相反第(2)問中的sin2xsin 2x與第(3)問的sin2xsin22xsin24x...sin22nx存在某種結(jié)構(gòu)上的相似,加上第(2)問中數(shù)字3 對應(yīng)f(x)的總次數(shù),而第(3)問中數(shù)字2n次對應(yīng)sin2xsin22xsin24x...sin22nx的總次數(shù),由此可見第(3)問的解答與第(2)問的結(jié)果存在關(guān)聯(lián).接著這種評估,學生將會放棄2 倍角的方法,轉(zhuǎn)而投入到新的思路中.

在難題解決的過程中,這種對擬定計劃的不斷嘗試和否定將耗費學生大量時間,因此教師也應(yīng)該給予學生足夠的時間來實行計劃,并且重點關(guān)注學生的嘗試與否定過程,據(jù)此結(jié)合上一步對于題目的分析,培養(yǎng)學生對于最簡便方法選取的意識.

2.4 回顧

在完成解題以后,學生通過重新考慮與檢查這個結(jié)果和得出這一結(jié)果的解題過程,能夠鞏固他們的知識和發(fā)展他們解題的能力.

需要注意的是,通過波利亞的解題方式對學生進行解題教學,是旨在通過講解特定題目的解法向?qū)W生傳授普遍的解題思路.掌握特定題目的解題方法不是解題教學的根本目的,只是向?qū)W生傳達解題思想的途徑.教師需要重點關(guān)注教學過程中對學生思維的引導,加強學生對于解題模式的理解,在不斷的解題教學過程中一步步地培養(yǎng)學生獨立探索、思考能力與數(shù)學解題能力.

3 總結(jié)反思

波利亞強調(diào):“解題的成功要靠正確思路的選擇,要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘為了找出哪個方面是正確的方面,哪一側(cè)是好接近的一側(cè),我們從各個方面、各個側(cè)面去試驗.”教師在解題教學過程中需要把握住教學目標,鞏固學生對過往知識的認知,豐富學生的題目認知經(jīng)驗,培養(yǎng)學生的解題能力與解題興趣.教師與教育研究者也應(yīng)立足題目,充分發(fā)揮題目的價值,實現(xiàn)解題之于學生的意義.