探究中考數(shù)學中的動點問題
——角度的存在性問題

廣東省惠州市惠陽區(qū)華南師范大學附屬惠陽學校(516211) 鄭素萍

動點問題中的角度存在性問題一般有以下幾種類型:(1)在平面直角坐標系中,將直線旋轉特殊角度,求旋轉后的直線與坐標軸的交點坐標;(2)兩個相等角的兩端點固定,頂點在定直線上運動,求角度頂點位置;(3)將直線旋轉已知角度,求旋轉后的直線與拋物線的交點坐標.初中階段解決這類問題的方法并不單一,下面闡述解決這類問題比較有效的幾種方法:①構造直角三角形,為三角函數(shù)的應用創(chuàng)造條件;②構造圓,利用圓的性質求角度頂點;③化斜為直,構造兩邊與坐標軸平行的直角三角形;④解析法,聯(lián)立方程,求直線與拋物線的交點坐標;⑤利用圖像特殊性質,如對稱性.

1 類型一:將直線旋轉特殊角度,求旋轉后的直線與坐標軸的交點坐標

例1(2019年上海市徐匯區(qū)中考模擬第24 題改編)在平面直角坐標系中,拋物線與直線分別交于x軸、y軸上的B(6,0)、C(0,-3)兩點,若點F在y軸上,且∠FBC=45°,求點F的坐標.

方法:構造含特殊角的直角三角形.

【意圖分析】本題是代數(shù)幾何綜合題,考察了二次函數(shù)、一次函數(shù)和三角形的有關性質,解答時要注意數(shù)形結合和分類討論思想的運用.

【思路簡析】由題意點F在y軸上,且∠FBC=45°,所以點F可以看做是直線BC繞點B旋轉45°后與y軸的交點.因為旋轉方向沒有規(guī)定,所以要進行分類討論.

圖1

(1)當點F在直線BC上方時,如圖2,因為∠CBF=45°是特殊角,因此可以構造含有特殊角的直角三角形.如圖所示,過點F作FD ⊥BC,交BC于點D,所以ΔCDF∽ΔCOB.∵RtΔOBC中,OC:OB:BC=假設F(0,t),則∵ΔBDF為等腰直角三角形,點F(0,2).

圖2

(2)當點F在直線BC下方時,如圖3,將未知轉化為已知,在情形一的基礎上作出點F在直線BC下方的圖形,如圖所示.由題意,∠FBC+∠CBF+∠CBF′=90°,容易求的ΔOBF∽ΔOF′B,OB2=OF·OF′,∴OF′=18,點F′(0,-18).

圖3

綜上所述點F(0,2)或(0,-18).

【小結】當旋轉角度是特殊角時,可以構造含有特殊角的直角三角形,再利用圖像相似,將已知的等量關系運用到未知等量關系的圖形中.

【拓展】(1)將直線BC繞點B順時針旋轉60°,求旋轉后的直線與y軸的交點坐標.

(2)將直線BC繞點C旋轉45°,求旋轉后的直線與x軸的交點坐標.

解:通過構造含特殊角的直角三角形,再運用相似,得到新構成線段的比例關系,解得交點坐標為和

2 類型二:兩個相等角的兩端點固定,頂點在定直線上運動,求角的頂點位置

例2(2019年蘭州市中考第28 題改編)如圖,二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,問:在拋物線的對稱軸上是否存在點Q使得∠AQC=∠ACO,求點Q的坐標.

【意圖分析】本題同樣是代數(shù)幾何綜合題,考察了二次函數(shù)、一次函數(shù)和三角形的有關性質,解答時要注意數(shù)形結合和分類討論思想的運用.難點是所求動點是角的頂點.

圖4

【思路解析1】本題的關鍵點是動角中有兩個端點是固定的,因此可以構造以其中一個端點為直角頂點,以兩端點連線為邊的直角三角形,進而構造含有該直角三角形的圓,運用同弦所對的圓周角相等,解決問題.由題意點A(-1,0),點B(4,0),點C(0,2),如圖連結BC,∴ΔABC為直角三角形,且∠ABC=∠ACO,以AB直徑構造圓D,如圖5,則點Q是圓D與拋物線對稱軸的交點.所以Q(1.5,2.5)或(1.5,-2.5).

圖5

【思路解析2】本題剔除多余條件,可以將問題簡化為,已知A(-1,0),C(0,2),要求直線x=2.5 上是否存在點Q使得∠AQC=∠ACO.通過觀察圖6,可以發(fā)現(xiàn),已經有一組對應角相等,還有一對公共角,所以ΔACD∽ΔAQC,AC2=AD×AQ.且ΔAOD∽ΔAEQ,假設AD=t,則EQ=2.5,∴點Q(1.5,2.5)或(1.5,-2.5).

圖6

圖7

【拓展】(1)如圖8,在直線x=1 上,求點P使得.

圖8

(2)如圖9,點A(-1,0),C(0,3)在直線x=1 上,求點P使得.

圖9

(3)如圖10,點A(1,2),點C(1,4)在直線x=3 上,求點D使得.

圖10

(4)如圖11,點A(1,2),點B(3,4),在直線x=5 上,求點C,使得.

圖11

【小結】在解決此類問題時,可以按照步驟求解:構造直角三角形?構造含直角三角形的圓?利用圓的性質(同弧所對的圓相等),確定頂點位置.或者是挖掘題目中的相似三角形,運用相似三角形的性質求解.

3 類型三:將直線旋轉已知角度,求旋轉后的直線與拋物線的交點坐標

例3(2019年海南省中考第22 題)如圖,已知拋物線y=x2+6x+5 經過點B(-4,-3),與x軸交于點A(-5,0)和點C(-1,0)(點A在C的左側),點D(-3,-4)為拋物線的頂點.請問:該拋物線上是否存在點P,使得∠PBC=∠BCD？若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.

圖12

【意圖分析】本題是代數(shù)幾何綜合題,考察了二次函數(shù)、一次函數(shù)和三角形的有關性質,解答時要注意數(shù)形結合和分類討論思想的運用,在求解平面直角坐標系中的角度問題時,難點和關鍵點都是對平面直角坐標系中的角度進行轉化.

【思路解析1】三角函數(shù)法

∵B(-4,-3)、C(-1,0)、D(-3,-4),.

①當點P在直線BC上方時,∵∠PBC=∠BCD,∴BP//CD.過點B作BF//x軸,過點P作PF//y軸,BF交F于點F,可得RtΔBPF,同理可構造RtΔCDE,如圖13所示.結合題意可得ΔBPF∽ΔDCE,∴tan ∠PBF=tan ∠CDE,即設P(t,t2+6t+5),則解得t=0.∴P(0,5).

圖13

②當點P在直線BC下方時,構造如圖14所示的RtΔBPM和RtΔBP′N.∵∠CBP=∠CBP′,解得

圖14

【思路解析2】解析法

②當點P在直線BC下方時,如圖15,直線BP′與直線CD相交于點G,點P′是直線BG與拋物線的交點,所以只需求出直線BG的解析式,聯(lián)立直線和拋物線方程,問題就迎刃而解.

圖15

∵BC2+BD2=CD2,∴ΔBCD為直角三角形.∵∠CBP′=∠BCD即∠1=∠2,又∵∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∴∠3=∠4.∴CG=BG=DG,∴點G為線段CD的中點,∴G(-2,-2).又∵B(-4,-3),所以直線BG的解析式為聯(lián)立

【思路解析3】利用直線的對稱性

由題意,直線BP和直線BP′關于直線BC對稱,而直線BC的斜率為1,∴kBP·kBP′=1.因為B(-4,-3),P(0,5),∴kBP=2,設P(t,t2+6t+5),則解得.

【思路解析4】利用角度的特殊性

圖16

【小結】(1)在平面直角坐標系中,將已知直線繞一固定頂點,旋轉已知角度,求解旋轉后的直線與已知拋物線的交點坐標時,可以構造平行于坐標軸的輔助線,將角度轉化為易用坐標表示的形式;(2)角度相等,對應的三家函數(shù)也相等,關注問題的轉化與化歸;(3)注意觀察圖形中的特殊性質,如:直線的對稱性,角度的對稱性等可以大大簡化問題解法.

4 反思

初中階段,角度的存在性問題屬于代數(shù)幾何綜合題,通?？疾炝硕魏瘮?shù)、一次函數(shù)和三角形的有關性質,解答時要求學生熟練運用數(shù)形結合和分類討論思想的運用.在不同的問題情境中,求解角度的難點不同,但關鍵點都是要抓住問題本質,適當簡化問題模型,分析清楚題目中定的主體,動的主體;并適當借助輔助線構造所需的直角三角形,將問題轉化為可借助三角函數(shù)解決的情形,或者構造相似三角形,運用相似三角形的性質進行求解.此類問題,對學生的轉化能力和知識的靈活運用能力的提升有著很大的作用.